Reihen auf Konvergenz prüfen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:51 So 27.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
| Aufgabe | | Prüfe für welche x [mm] \in \IR [/mm] die folgende Reihe divergiert bzw. konvergiert: [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{x^k}{k^4} [/mm] |
Moin,
hier n Ansatz: Quotientenkriterium: [mm] \bruch{x^{n+1}}{(n+1)^4} [/mm] * [mm] \bruch{n^4}{x^n} [/mm] = [mm] \bruch{x n^4}{(n+1)^4} [/mm] = [mm] \bruch{x n^4}{n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1} [/mm] = [mm] \bruch{x n^4}{n^4(1+\bruch{4}{n} + \bruch{6}{n^2} + \bruch{4}{n^3} + \bruch{1}{n^4})} [/mm] = [mm] \bruch{|x|}{1+\bruch{4}{n} + \bruch{6}{n^2} + \bruch{4}{n^3} + \bruch{1}{n^4}}
[/mm]
somit erhalte ich |x| als Lösung, da alles (bisauf die 1] im Nenner gegen 0 konvergiert, hab doch sicher irgendwas falsch gemacht, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 So 27.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Prüfe für welche x [mm]\in \IR[/mm] die folgende Reihe divergiert
> bzw. konvergiert: [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{x^k}{k^4}[/mm]
>
> Moin,
>
> hier n Ansatz: Quotientenkriterium:
> [mm]\bruch{x^{n+1}}{(n+1)^4}[/mm] * [mm]\bruch{n^4}{x^n}[/mm] = [mm]\bruch{x n^4}{(n+1)^4}[/mm]
> = [mm]\bruch{x n^4}{n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1}[/mm] = [mm]\bruch{x n^4}{n^4(1+\bruch{4}{n} + \bruch{6}{n^2} + \bruch{4}{n^3} + \bruch{1}{n^4})}[/mm]
> = [mm]\bruch{|x|}{1+\bruch{4}{n} + \bruch{6}{n^2} + \bruch{4}{n^3} + \bruch{1}{n^4}}[/mm]
>
> somit erhalte ich |x| als Lösung, da alles (bisauf die 1]
> im Nenner gegen 0 konvergiert, hab doch sicher irgendwas
> falsch gemacht, oder?
Nein, bis auf die nicht vorhandenen Betragsstriche zu Anfang.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 So 27.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Achja, danke - d.h. mein x muss kleiner als 1 sein, damit es konvergiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 So 27.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Achja, danke - d.h. mein x muss kleiner als 1 sein, damit
> es konvergiert?
Die Reihe konv. für alle x mit |x|<1. Du mußt noch untersuchen, ob sie für x=1 konv. und ob sie für x=-1 konv.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 So 27.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Wie mache ich das am besten? Wäre für einen Ansatz dankbar, weil ich bin davon ausgegangen, dass sie nun für alle -1 > x > 1 gilt. Die -1 und die 1 ausgeschlossen ...
Da das Quotientenkriterium ja aussagt, dass q < 1 sein soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 So 27.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Für x=1 bekommst Du $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^4} [/mm] $. Ist diese Reihe konvergent ?
Für x=-1 bekommst Du $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{k^4} [/mm] $. Ist diese Reihe konvergent ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 So 27.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Ah, Danke!
Also für 1 divergiert die Reihe.
und für -1 konvergiert sie nach Leibniz ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 So 27.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ah, Danke!
>
> Also für 1 divergiert die Reihe.
Nein.
>
> und für -1 konvergiert sie nach Leibniz ?
Ja
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:35 So 27.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Mh, okay hast recht,
Majorantenkriterium, da die Reihe mit [mm] \bruch{1}{k^2} [/mm] konvergiert muss [mm] \bruch{1}{k^4} [/mm] auch konvergieren.
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