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Forum "Folgen und Reihen" - Reihen mit log und arctan
Reihen mit log und arctan < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Reihen mit log und arctan: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:37 Do 19.07.2012
Autor: rollroll

Aufgabe
Ich möchte die Reihen
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{arctan(n)}{n^2} [/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n*log(n)} [/mm]
auf Konvergenz prüfen.



zu a) geht das mit dem Majorantenkriterium? Also [mm] \bruch{arctan}{n^2} \le \bruch{1}{n^2} [/mm] für fast alle n. --> die Reihe konvergiert
(Ich zweifle aber dass diese Ungleichung gilt...
Eine andere Möglichkeit wäre vielleicht:
Man setzt [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{arctan}{n^2} [/mm] und [mm] b_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm]  und bildet den GW von [mm] a_n/b_n [/mm] für n gegen unendlich. Der arctan(n) für n gegen unendlich geht ja gegen [mm] \pi [/mm] /2. Daraus würde dann ja die Konvergenz der Reihe folgen.

zu b) Hier frage ich mich ob man die Divergenz der Reihe auch ohne das Reihenverdichtungskriterium zeigen kann?

        
Bezug
Reihen mit log und arctan: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:25 Fr 20.07.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Ich möchte die Reihen
>  [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{arctan(n)}{n^2}[/mm]
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n*log(n)}[/mm]
>  auf Konvergenz
> prüfen.
>  
>
> zu a) geht das mit dem Majorantenkriterium? Also
> [mm]\bruch{arctan}{n^2} \le \bruch{1}{n^2}[/mm] für fast alle n.
> --> die Reihe konvergiert
>  (Ich zweifle aber dass diese Ungleichung gilt...

ich zweifle auch an dieser Ungleichung. Aber wie wäre es, wenn Du zeigst, dass die Reihe absolut konvergiert: Immerhin solltest Du doch [mm] $\red{|}\text{arctan}(n)\red{|} \le \pi/2$ [/mm] begründen können... (Beachte die Betragszeichen - zudem schreibst Du immer [mm] $\text{arctan}\,,$ [/mm] meinst da aber sicher [mm] $\arctan(n)$...) [/mm]

>  Eine andere Möglichkeit wäre vielleicht:
>  Man setzt [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{arctan}{n^2}[/mm] und [mm]b_n[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm]  und bildet den GW von [mm]a_n/b_n[/mm] für n gegen
> unendlich. Der arctan(n) für n gegen unendlich geht ja
> gegen [mm]\pi[/mm] /2. Daraus würde dann ja die Konvergenz der
> Reihe folgen.

??? Zumal da dann [mm] $a_n/b_n=\frac{\arctan(n)/n^2}{1/n^2}=\arctan(n)$ [/mm] stünde. Was willst Du hier eigentlich machen? Also diese "Möglichkeit" ist mir vollkommen unklar - da steckt auch keine Struktur dabei, warum Du das überhaupt machen willst...

> zu b) Hier frage ich mich ob man die Divergenz der Reihe
> auch ohne das Reihenverdichtungskriterium zeigen kann?

Warum willst Du das denn ohne Reihenverdichtungskriterium machen? (Cauchyscher Verdichtungssatz!) Aber ich denke, dass das geht - jedenfalls, wenn man ein wenig Integrationstheorie kennt und auch das []Integralkriterium für Reihen.
Ich würde aber den Cauchyschen Verdichtungssatz benutzen. Und natürlich:
Wenn man das Integralkriterium für Reihen kennt und versteht, kann man hier sicher auch eine divergente Minorante "bauen".

P.S.
Wegen [mm] $\log(1)=0$ [/mm] glaube ich, dass die zweite Reihe nicht mit dem unteren Index [mm] $1\,,$ [/mm] sondern [mm] $2\,$ [/mm] startet. Kontrollier' das bitte!

P.P.S.
Mit [mm] $y(x)=\ln(x)$ [/mm] gilt $dy/dx=1/x$ und daher
[mm] $$\int \frac{1}{x \ln(x)}dx=\int \frac{1}{y}dy=\ln(y)+\text{const}=\ln(\ln(x))+\text{const}\,.$$ [/mm]
Wie sieht's mit [mm] $\lim_{r \to \infty} \ln(r)$ [/mm] aus? Was folgt für [mm] $\lim_{x \to \infty}\ln(\ln(x))$? [/mm]

Gruß,
  Marcel

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