Reihenentwicklung, Herleitung < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ohman, ich flehe euch jetzt um Hilfe an, denn mir geht der Arsch gerade ziemlich auf's Glatteis, habe mir was ganz blödes eingebrockt
Ich habe hier ja schon mal eine Anfrage gestellt bezüglich der Umwandlung der Exponentialfunktion in eine Potenzreihe, die wurde mir damals recht gut beantwortet. Für den Hintergrund also bitte einmal hier:
https://matheraum.de/read?i=378646
(Nochmal dickes Danke an den Steppenhahn, Leduart und Co!)
Nun ist es so, setze ich für "x" [mm] $i\varphi$ [/mm] ein, kommt entsprechend:
(Kurze Nebennotiz, Potenzen von i -> +i, -1, -i, +1...+i, -1, -i, +1... usw.)
$ [mm] e^i^\varphi [/mm] $ = $ [mm] 1+\bruch{i\varphi}{1!}-\bruch{\varphi^2}{2!}-\bruch{i\varphi^3}{3!}+\bruch{\varphi^4}{4!}+\bruch{i\varphi^5}{5!}-\bruch{\varphi^6}{6!}-\bruch{i\varphi^7}{7!}+\bruch{\varphi^8}{8!}... [/mm] $
usw.
Da kann ich ja jetzt das i rausziehen und das ganze ein bisschen umstellen, dann sieht das so aus:
$ [mm] e^i^\varphi [/mm] $ = $ [mm] 1-\bruch{\varphi^2}{2!}+\bruch{\varphi^4}{4!}-\bruch{\varphi^6}{6!}+\bruch{\varphi^8}{8!}-... +...-...+i\cdot\left(\bruch{\varphi}{1!}-\bruch{\varphi^3}{3!}+\bruch{\varphi^5}{5!}-\bruch{\varphi^7}{7!} +...-...+...-\right) [/mm] $
(Puh, Mit Formeln zu schreiben ist für einen ungeübten echt anstrengend)
So, jetzt kommt endlich das eigentliche Problem! Der Ausdruck in Klammern soll nun $ [mm] \sin (\varphi) [/mm] $ und der andere vor dem i $ [mm] \cos (\varphi) [/mm] $ sein. Aber wir haben das nie gehabt! Ich habe keinen blassen Schimmer, wie man solche Reihen herleitet! Alles was ich bisher so rausfinden konnte, dass es wohl was mit einem Herrn Taylor zu tun hat? Und man das eine trigonometrische Reihe nennt?
Oh, verdammt ich habe zugesagt darüber ein Referat zu halten, dass muss ich morgen zur Kontrolle fertig haben und übermorgen halten! Und ich sollte dabei auch erklären was Reihen sind, aber ich finde keine verständliche Herleitung. Ich flehe jeden an, der das kann, bitte haltet mich nicht für doof, ich habe tierische Panik und Bauchschmerzen gerade.
Also das eigentliche Referatsthema ist Exponentielle Darstellung komplexer Zahlen zu erklären... vllt. hättet ihr da auch noch gute vorrangehendsvorschläge? Ich hatte mir das so gedacht:
1. Erklärung der trigonometrischen Reihen (Der Knackpunkt, den ich nicht kann)
2. Vorstellung des Binom-Satzes
3. Umwandlung der Exp-Funktion wie oben schon getan, mit Einsetzen
Glaubt ihr das reicht für so ein Referat?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 So 06.04.2008 | | Autor: | Zorba |
Eine Reihe ist einfach eine unendliche Summe.
Eine trigonometrische Reihe ist eine unendliche Summe in der trigonometrische Ausdrücke vorkommen(also cos, sin, tan...)
Was ist der Binom-Satz?
|
|
|
| |
|
Ja, das ist klar, es geht um die Herleitung dieser Sinus&Kosinus-Reihe!
Der Binomische Lehrsatz:
http://de.wikipedia.org/wiki/Binomischer_Lehrsatz
(Brauchte ich um e-funktion zur Reihe umzuleiten, geht aus dem verlinkten Thread hervor)
Ich weiß nicht, wie man solche Reihen selber kreiert ich weiß nur, es hat was mit Taylor usw. zu tun hat, aber ich kenne das nicht, nie gehabt, höre das alles zum ersten mal... mir ist zum heulen zumute
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 So 06.04.2008 | | Autor: | Zorba |
Das machst du mit der Taylorreihe. Dies ist eine Formel, in die du nur einsetzen musst, um dann eine Reihe einer bel. Funktion zu bekommen.
T(x) = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} f^{(n)}(a)\bruch{(x-a)^{n}}{n!}
[/mm]
|
|
|
| |
|
XD
Bitte, du verstehst mich glaube ich nicht, es geht nicht darum spröde was in eine Formel einzusetzen, es geht um die Herleitung derselbigen, ich habe von Taylor noch nie gehört! und verstehe dementsprechend die Formel auch nicht...
Ich weiß nicht mal wo ich ansetzen muss, ich muss nur wissen, wie ich aus $ [mm] \sin [/mm] (x) $ und $ [mm] \cos [/mm] (x) $ zu diesen Ausrücken oben komme...
:'-((
Ich bete, dass das es noch jemand liest, oder du es noch besser erläutern kannst...
Ich verstehe nicht mal genau, die Formel, in die ich einsetzen soll...
Wie gesagt, wir hatten Sinus&Kosinus nie anders dargestellt, außer dem Ding am Einheitskreis... ich weiß nicht, wie man auf diese völlig andere Aufstellung kommt...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 So 06.04.2008 | | Autor: | Zorba |
Also ich glaube nicht, dass jemand von dir verlangen kann, die Taylorformel herzuleiten, aber mit dieser Formel kannst du Reihen herleiten.
Die cos und sin-Reihe kann man glaube ich mit der exponentialfunktion , angewendet auf eine Matrix herleiten, aber ich weiß leider nicht mehr wie das geht.
|
|
|
| |
|
Ich Danke dir für deine Mühe... aber ich verstehe nicht mal die Formel, die du mir an die Hand gegeben hast...
Was bedeutet der Ausdruck [mm] f^n [/mm] oder das a... ... es wird eine laaange Nacht...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:01 So 06.04.2008 | | Autor: | Diddmaster |
http://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe
Hier stehen ja unter "Trigonometrische Funktionen" auch diese Ausdrücke... und zu der Grafik daneben:
"Approximation von sin(x) durch Taylorpolynome Pn vom Grad 1, 3, 5 und 7"
...Nur weiß ich immer noch nicht, wie man denn auf die Idee, den Ansatz kommt, einfach mal so eine Reihe
[mm] x^m/m!+...-...+ x^n/n! [/mm] (geht gerade nur um's Prinzip)
zu basteln und dann ist das so eine Funktion wie Sinus z.B.... (jetzt mal ganz stark vereinfacht)...
:-( Ich komme mir gerade dumm vor, aber ich kann mich auch schwer konzentrieren vor Angst...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:12 So 06.04.2008 | | Autor: | Zorba |
Ich hoffe, dass sich jemand findet, der dir helfen kann, ich kanns im Moment nicht. Aber dumm vorkommen musst du dir wirklich nicht, das ist nicht unbedingt einfach!
Warum diese Summen genau den trig. Funktionen entsprechen ist nicht direkt zu erkennen. Es ist eben so, dass man Funktionen auch durch Reihen darstellen kann.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:32 So 06.04.2008 | | Autor: | Diddmaster |
Wie gesagt, vielen Dank auch für deine Zuversicht...
Ich kann morgen noch einmal Rücksprache mit meinem Lehrer halten...
*seufz* Ich schäme mich trotzdem, denn ich habe 2 Wochen Ferien Zeit gehabt, aber ich habe es halt aufgeschoben und bin selber schuld an dem Dilemma...
Wie findest du denn sonst meine Planung zu dem Referat? *seufz* ich weiß es nicht mehr genau, aber ich meine ich sollte auch erklären, was eine Reihe ist... ich bin mir nicht sicher, was ich da sagen soll, das kann sich sicher jeder vorstellen, aber ich soll bestimmt nicht bloß 10sek. daran sprechen... (z.B. deine Sätze benutzen)...
Genau deswegen glaube ich, ist es so wichtig, dass ich diese Reihen verstehe/nachvollziehen kann, ich weiß nicht, ob ich einfach etwas als gegeben nehmen darf...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:46 So 06.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du ein Polynom hast, und alle seine Ableitungen an der Stelle x=0 kennst kennst du es:
1.Grad klar, x=0 y=b y'(0)=m folgt y=m*x+b oder y=(y(0)*y'(0)*x
2.Grades [mm] y=y(0)+y'(0)*x+y''(0)/2*x^2 [/mm]
3. grades: [mm] y=y(0)+y'(0)*x+y''(0)/2*x^2 +y'''(0)/(2*3)*x^3
[/mm]
die 3 kannst du noch nachrechnen, indem du irgendein Polynom nimmst.
n.ten Grades: [mm] y=y(0)+y'(0)*x+y''(0)/2*x^2 +y'''(0)*x^3+y^{(4)}(0)/(2*3*4)*x^4+.....+y^{(n)}/n!*x^n
[/mm]
D.h. Polynome kann man 100% richtig darstellen, wenn man ihre Ableitungen an einer Stelle alle kennt.
Nun ist Taylor auf die Idee gekommen, dass man dann ja auch andere Funktionen sehr gut kennt, wenn man viele (besser alle) Ableitungen an einer Stelle kennt.
Wenn man nur die Tangente an einer Stelle kennt, ist die fkt in der nähe der Stelle sehr nahe an der dran Zeichne sinx von 0 bis 0,1 vergrößert, und die Tangente y=x und u siehst es. bei sin ist die 2. Abl bei 0 0 also wieder die dritte , die ist -1
und man "nähert den sin in der Nähe von 0 durch days Polynom mit denselben Ableitungen siehe oben 3. Grades.
also [mm] sinx\approx=0+x+0*x^2-1/6*x^3
[/mm]
das macht man so weiter, und kommt auf ein "Taylorpolynom" n.ten Grades (n beliebig gross) das mit immer gröerem n sinx immer besser annähert. dazu findest du Graphiken im Netz.
als sin Reihe lässt man n dann beliebig groß werden, also bis [mm] \infty [/mm] und nennt das Ganze dann die Taylorreihe für sinx. Entsprechend natürlich für cosx!
(Als Mathematiker muss man dann noch zeigen, dass diese unendliche Summe für alle betrachteten x noch endliche Werte hat. Nur dann ist es sinnvoll von einer Reihe als Reihe der fkt zu reden. Bei sin kann man das leicht beweisen. aber das geht wohl sicher über deine Aufgaben raus!
Ich hoffe das ist was klarer geworden.
Zum Einüben, such die fkt 4. grades für die gilt y(0)=1 y'=2,y''=3 y'''=4
y''''=1
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:50 So 06.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
nur kurz mit [mm] f^{n)} [/mm] bezeichnet man die n.te Ableitung von f weil man schlecht mehr als 3''' machen kann!
Schlaf trotzdem gut
leduart
|
|
|
| |
|
Puh, was ich noch alles lernen muss, der Satz war gut verständlich ;)
aber zu deinem vorigem:
>Hallo
>Wenn du ein Polynom hast, und alle seine Ableitungen an der Stelle x=0 kennst kennst du es:
>1.Grad klar, x=0 y=b y'(0)=m folgt y=m*x+b oder y=(y(0)*y'(0)*x
>2.Grades $ [mm] y=y(0)+y'(0)\cdot{}x+y''(0)/2\cdot{}x^2 [/mm] $
>3. grades: $ [mm] y=y(0)+y'(0)\cdot{}x+y''(0)/2\cdot{}x^2 +y'''(0)/(2\cdot{}3)\cdot{}x^3 [/mm] $
>die 3 kannst du noch nachrechnen, indem du irgendein Polynom nimmst.
>n.ten Grades: $ [mm] y=y(0)+y'(0)\cdot{}x+y''(0)/2\cdot{}x^2 >+y'''(0)\cdot{}x^3+y^{(4)}(0)/(2\cdot{}3\cdot{}4)\cdot{}x^4+.....+y^{(n)}/n!\cdot{}x^n [/mm] $
Ich verstehe vllt. was du sagen willst, aber mir entzieht sich, wie du das entwickelst, woher z.b. auf einmal die Brüche kommen... beim ableiten holt man den exponenten doch runter und multipliziert dann... :-( meine Konzentration ist voll für'n Arsch gerade...
Wie gesagt, ich schaue es mir weiterhin an...
Was hälst du denn von meiner Referatsplanung? Meinst du, das ist gut so?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:50 Mo 07.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
noch mal langsam für ein müdes Hirn:
3. Grades $y [mm] =a_3*x^3+a_2*x^2+a_1*x+a_0$ $y(0)=a_0$ $a_0=y(0)$
[/mm]
$y' [mm] =3a_3x^2+2a_2*x+a_1$ [/mm] $y'(0)=a1$ [mm] $a_1=y'(0)$
[/mm]
$y'' [mm] =6a_3x+2a_2$ $y''(0)=2a_2$ $a_2=y''(0)/2$
[/mm]
[mm] $y'''=6a_3$ $y'''(0)=6a_a$ $a_3=y'''(0)/6$
[/mm]
[mm] y^{(4)}=0
[/mm]
Damit y=y(0)+y'(0)*x+......
Du siehst also, die Zahlen im Nenner kommen daher, dass die Faktoren vor den a durchs Ableiten immer gröer werden, dann wenn man die a ausrechnet aus der Ableitung bei 0 aber in den Nenner müssen.
dass bei 4. Grades dann da steht [mm] y^{(4)}=2*3*4*a_4 [/mm] siehst du hoffentlich direkt, und deshalb bei 4 ten Grades dann [mm] a_4=y^{(4)}(0)/4!
[/mm]
Geh schlafen und steh 2 Stunden früher auf. mit nem Kaffee kannst du dann wieder denken!
Gute Nacht, ich bin weg leduart.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:24 Mo 07.04.2008 | | Autor: | Diddmaster |
Vielen dank erstmal für die Mühe Leduart... es sieht recht kompliziert aus (für mich!)... ich versuche mich die Nacht da durchzuwurschteln und es zu verstehen...
Ich benutze zum zeichnen www.arndt-bruenner.de den 2D-Plotter unter den Matheskripts, hoffentlich hilft mir das...
Also die Steigung von Sinus ist bei 0 ja 1... die zweite 0 (hast ja auch schon geschrieben) und die dritte -1 klar... 4. wieder 0 ... Phönix kommt wieder...
cos entsprechend 1. 0 2. -1 3. 0 4. 1
Ich versuche noch den ersten Absatz zu verstehen, wieso ist y = b und das dann y = m*x+b
(also, dass 1.grades ist klar, aber das y doppelt belegt ist bei dir, verwirrt mich)
Wie genau komme ich an den Ausdruck "y=(y(0)*y'(0)*x" (sowas konnte ich noch nie)
also der y-Achsenabschnitt multipliziert mit seiner Steigung multipliziert mit x ?
Ich glaube ich bin schon zu müde... wenn mir nicht mal der erste Grad klar ist
Also ein bisschen ist mir klarer geworden, aber noch nicht alles, besonders der erste Absatz noch nicht, meinst du es hilft, wenn ich einfach mal ein polynom aufschreibe und es ableite, also
[mm] x^2+x+0 [/mm] z.b.?
|
|
|
|
