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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 So 22.04.2007 | | Autor: | Sharik |
| Aufgabe | Prüfe auf Konvergenz und beweise die Antwort
a) [mm] \summe_{m=1}^{\infty} \bruch{1}{m(1+ln m)^2} [/mm] |
Hallo
ich bin mir nicht sicher, wie ich vorgehen soll.
Ich habe versucht mit Hilfe des Wurzelkriteriums die Konvergenz zu zeigen und bekomme dann
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{m}(1+lnm)}
[/mm]
für [mm] \limes_{m\rightarrow\infty}sup \wurzel{\bruch{1}{m(1+ln m)^2}} [/mm] = 0
hmm kann man das so machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 So 22.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sharik!
Du wendest hier das Wurzelkriterium für den Term [mm] $[1+\ln(m)]^{\red{2}}$ [/mm] falsch an. Da "kürzt" sich nämlich die [mm] $\wurzel[\red{n}]{ \ ... \ }$ [/mm] nicht raus.
Ich würde hier eher mit der Abschätzung $m \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \ln(m)$ [/mm] und dem Majorantenkriterium vorgehen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 So 22.04.2007 | | Autor: | Sharik |
Oi da hab ich wohl gepennt. Wär ja auch zu schön gewesen ;)
> Ich würde hier eher mit der Abschätzung [mm]m \ \ge \ \ln(m)[/mm]
> und dem Majorantenkriterium vorgehen.
Diese Abschätzungen machen mir Kopfschmerzen.
Warum kann ich denn so
[mm]m \ \ge \ \ln(m)[/mm] abschätzen. Mir ist wohl klar, dass m schneller als der Logaritmus wächst aber ich hab doch hier [mm] (1+lnm)^2 [/mm] und das wächst doch wiederum schneller als m oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 So 22.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sharik!
Du sollst bei der Abschätzung auch nur den Term [mm] $\ln(m)$ [/mm] abschätzen und ersetzen:
[mm] $\bruch{1}{m*\left[1+\ln(m)\right]^2} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{1}{m*[1+\red{m}]^2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 So 22.04.2007 | | Autor: | Sharik |
> Du sollst bei der Abschätzung auch nur den Term [mm]\ln(m)[/mm]
> abschätzen und ersetzen:
>
> [mm]\bruch{1}{m*\left[1+\ln(m)\right]^2} \ \le \ \bruch{1}{m*[1+\red{m}]^2}[/mm]
Ah o.K. jetzt verstehe ich. Vielen Dank.
Aber darf ich denn noch mal abschätzen und sagen
[mm] \bruch{1}{m(m+1)^2} \le \bruch{1}{m(m+1)} [/mm] und das wäre dann
[mm] \limes_{m\rightarrow\infty} (1-\bruch{1}{M+1}) [/mm] = 1
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Hallo Sharik,
deine Abschätzung ist richtig, sie zeigt dir, dass deine konvergente Majorante [mm] $\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m(m+1)}$ [/mm] gegen $1$ konvergiert, deine Reihe also einen GW [mm] \le [/mm] 1 hat.
Wenn ihr gezeigt habt, dass die Reihen [mm] $\sum\frac{1}{m^s}$ [/mm] für $s>1$ konvergieren, hättest du direkt gegen [mm] $\sum\frac{1}{m^2}$ [/mm] oder [mm] $\sum\frac{1}{m^3}$ [/mm] abschätzen können und dir die Arbeit mit dem Weg über die Partialsummen ersparen können.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 So 22.04.2007 | | Autor: | Sharik |
Hey danke schön.
Wollte mich nun an einer weiteren Aufgabe versuchen und komme wieder nicht voran.
Wie ist das bei [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3k^2-k+1}{k^4+7k^3-9}?
[/mm]
Hier wollte ich auch mit dem Majorantenkriterium arbeiten und bin mir nicht sicher wie ich hier abschätzen darf.
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Hallo Sharik,
> Hey danke schön.
>
> Wollte mich nun an einer weiteren Aufgabe versuchen und
> komme wieder nicht voran.
> Wie ist das bei
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3k^2-k+1}{k^4+7k^3-9}?[/mm]
>
> Hier wollte ich auch mit dem Majorantenkriterium arbeiten
> und bin mir nicht sicher wie ich hier abschätzen darf.
Versuche, gegen eine Reihe der Bauart [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}$ [/mm] abzuschätzen - darauf deuten ja die Potenzen von k im Zähler und Nenner schon hin.
Dazu vergrößere den Zähler und verkleinere den Nenner, um eine Abschätzung nach oben hinzubekommen und eine kgte Majorante zu finden.
Ich schlage vor: [mm] $3k^2-k+1\le 3k^2$ $\forall k\in\IN$ [/mm] , denn [mm] $-k+1\le [/mm] 0$ [mm] $\forall k\in\IN$
[/mm]
weiter [mm] $k^4+7k^3-9\ge k^4$ [/mm] , denn [mm] $7k^3-9>0$ $\forall k\ge2$
[/mm]
Damit hat man für [mm] $k\ge [/mm] 2$ die Abschätzung: [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{3k^2-k+1}{k^4+7k^3-9}\le\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{3k^2}{k^4}=3\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}$
[/mm]
Damit hättest du eine kgte Majorante gefunden
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 So 22.04.2007 | | Autor: | Sharik |
Vielen Dank erstmal für die Hilfe!
> Ich schlage vor: [mm]3k^2-k+1\le 3k^2[/mm] [mm]\forall k\in\IN[/mm] , denn
> [mm]-k+1\le 0[/mm] [mm]\forall k\in\IN[/mm]
>
> weiter [mm]k^4+7k^3-9\ge k^4[/mm] , denn [mm]7k^3-9>0[/mm] [mm]\forall k\ge2[/mm]
>
> Damit hat man für [mm]k\ge 2[/mm] die Abschätzung:
> [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{3k^2-k+1}{k^4+7k^3-9}\le\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{3k^2}{k^4}=3\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}[/mm]
hm, hier ist mir nicht ganz klar, warum der Index der Summe nicht bei k=2 losgeht?
Und ist es richtig das der Grenzwert der Rheihe [mm] \le [/mm] 3 ist ( Wurzelkriterium)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 So 22.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
damit die Reihe konvergiert, reicht es, dass sie ab irgend einem festen k kleiner als ne konvergierende ist, die ersten paar Glieder ergeben ja ne feste Zahl. und der GW ist ja nicht gefragt!, aber wenn du ihn abschätzen willst musst du die ersten Glieder noch zu dem GW der majorante dazuzählen, (und die fängt erst bei 2 an.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 So 22.04.2007 | | Autor: | Sharik |
Super danke schön.
Jetzt hab ich noch eine Frage zu einer weiteren Reihe:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k^3+k(-1)^k+2}{k^4+k^2(-1)^{k+1}+5}
[/mm]
Ich dachte zuerst, dass dies eine alternierende Reihe ist und ich mit dem Leibnitzkriterium die Konvergenz zeigen kann, doch so ist es wohl nicht.
Dann hab ich gedacht, dass ich evtl abschätzen könnte durch eine Minorante und zwar so
[mm] \ge \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k(-1)^k}{k^2(-1)^{k+1}}
[/mm]
da [mm] k^3+2\ge0 [/mm] und [mm] k^4+5\ge0 [/mm] für alle [mm] k\in \IN
[/mm]
= [mm] \bruch{(-1)^k}{k(-1)^{k+1}} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^k}{k(-1)^{k}(-1)}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{k(-1)}
[/mm]
Nun weiss ich nicht ob ich all das darf und ob diese Reihe divergiert da die Reihe [mm] \summe \bruch{1}{k} [/mm] divergiert???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 So 22.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast hier Zähler UND Nenner verkleinert, dann kannst du nicht behaupten du hast den Bruch vergrößert oder verkleinert.
Du musst den Nenner verkleinern und den Zähler vergrössern, wenn du das ganze sicher kleiner machen willst. ich hoff ich hab nix übersehen, aber beim letzten Bsp. hast du das richtig gemacht, guck noch mal nach!
aber selbst wenn das was du gemacht hast richtig wäre bist du bei ner konvergierenden Reihe (Leibnitz ) gelandet, die dir als Minorante nix hilft.
dass die Reihe div. sieht man daran dass für grosse k nur noch [mm] k^3 [/mm] im Zähler und [mm] k^4 [/mm] im nennersteht, es also etwa wie 17k geht, das legt aber nur die vermutung nahe, ist noch kein Beweis.
du kannst was hinter [mm] k^4 [/mm] im Nenner steht ab nem k als kleiner [mm] k^4 [/mm] nehmen, hast dann also [mm] 2k^4 [/mm] im Nenner, im Zähler verkleinerst du, indem du nur die neg.k nimmst, und dann [mm] 0,5k^2>k [/mm] dann kriegst du im Zähler [mm] 0,5k^2 [/mm]
hast also insgesamt 1/4k dann hast du 1/4 mal harm. Reihe fertig.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 Mo 23.04.2007 | | Autor: | Sharik |
Das kam mir ja auch schon merkwürdig vor. Danke für Information.
Mit dem Rest hab ich jedoch einige Probleme.
> du kannst was hinter [mm]k^4[/mm] im Nenner steht ab nem k als
> kleiner [mm]k^4[/mm] nehmen, hast dann also [mm]2k^4[/mm] im Nenner, im
ja und zwar ab [mm] k\ge2, [/mm] aber warum habe ich dann [mm] 2k^4 [/mm] im Nenner
> Zähler verkleinerst du, indem du nur die neg.k nimmst, und
> dann [mm]0,5k^2>k[/mm] dann kriegst du im Zähler [mm]0,5k^2[/mm]
> hast also insgesamt 1/4k dann hast du 1/4 mal harm. Reihe
> fertig.
und wie kann ich nur negative k nehmen, also wie schreibe ich sowas?
und wie kommt man auf 1/4k? Ich hab [mm] 1/8k^2.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:26 Mo 23.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Das kam mir ja auch schon merkwürdig vor. Danke für
> Information.
> Mit dem Rest hab ich jedoch einige Probleme.
> > du kannst was hinter [mm]k^4[/mm] im Nenner steht ab nem k als
> > kleiner [mm]k^4[/mm] nehmen, hast dann also [mm]2k^4[/mm] im Nenner, im
> ja und zwar ab [mm]k\ge2,[/mm] aber warum habe ich dann [mm]2k^4[/mm] im
> Nenner
ich will doch den Nenner vergrößern, das tu ich indem ich statt dem Kram dahinter einfach [mm] k^4, [/mm] nämlich was gößeres addiere.
> > Zähler verkleinerst du, indem du nur die neg.k nimmst, und
> > dann [mm]0,5k^2>k[/mm] dann kriegst du im Zähler [mm]0,5k^2[/mm]
> > hast also insgesamt 1/4k dann hast du 1/4 mal harm. Reihe
[mm] k^3+(-1)^k*k \ge k^3-k [/mm] unk [mm] k<0,5k^2
[/mm]
im ersten Schritt [mm] k^3+(-1)^k*k +2\le k^3-(k-2) [/mm] jetzt [mm] 0,5k^3>k-2 [/mm] deshalb [mm] k^3+(-1)^k*k [/mm] +2> [mm] k^3-0,5k^3
[/mm]
rechne nach so spät mach ich oft Fehler.
Gruss leduart
> > fertig.
> und wie kann ich nur negative k nehmen, also wie schreibe
> ich sowas?
> und wie kommt man auf 1/4k? Ich hab [mm]1/8k^2.[/mm]
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