Reihenkonvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Mi 18.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Man untersuche die Reihen [mm] \summe_{n=1}^\infty a_n [/mm] auf Konvergenz:
(a) [mm] a_n=\bruch{1}{n^2-2n-2}
[/mm]
(b) [mm] a_n=\bruch{1}{(n+1)^3}
[/mm]
(c) [mm] a_n=\bruch{(n+1)^n}{n^{n+2}}
[/mm]
(d) [mm] a_n=[\bruch{1}{n^4}+\bruch{2}{n^4}+\bruch{3}{n^4}+...+\bruch{n}{n^4}] [/mm] |
(a) hier habe ich das QK angewandt:
[mm] |\bruch{\bruch{1}{(n+1)^2-2(n+1)-2}}{\bruch{1}{n^2-2n-2}}| [/mm] = [mm] |\bruch{1}{n^1+2n+1-2n-2-2}*\bruch{n^2-2n-2}{1}| [/mm] = [mm] |\bruch{n^2-2n-2}{n^2-3}| [/mm] = [mm] |\bruch{n^2-3+3-2n-2}{n^2-3}| [/mm] = [mm] |1-\bruch{2n-1}{n^2-3}|
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2n-1}{n^2-3}=0,
[/mm]
da: [mm] n^2-3>2n-1 \Rightarrow n^2-2n-2>0 \forall n\ge [/mm] 3
und 2n-1>0 [mm] \forall n\ge [/mm] 1 und [mm] n^2-3 \forall n\ge [/mm] 2
Damit is [mm] |1-\bruch{2n-1}{n^2-3}|<1 \forall n\ge [/mm] 3
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:06 Mi 18.07.2007 | | Autor: | blascowitz |
entschuldigung das es so lange gedauert hat hatte mich verrechnet
Also das QK ist hier nicht anwendbar weil
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] | =1 und da liefert das QK keine aussage über die Konvergenz. Weil für n gegen unendlich geht der Restbruch gegen 0. Auch das Majorantenkriterium hilft hier nicht weiter(seh ich zumindest nicht).
Das Integralvergleichkriterium auch nicht weil [mm] \bruch{1}{n^2-2n-2} [/mm] zwar monoton fallend ist aber nicht im Intervall [mm] [1,\infty[ \rightarrow R_{+} [/mm] abbildet . Also geht das auch nicht. Ich hab zuerst mal partialbruchzerlegung gemacht und mir dann mal die reihengleider angeschaut. Bis auf das erste glied sind alle gliederabschnitte, also [mm] 1,2,4.....2^{k} [/mm] > 1/2. Ich hätte damit auf Divergenz der Reihe geschlossen ähnlich wie bei der Harmonischen Reihe.
zu b: Klarer Fall fürs Majorantenkriterium
zu c: müsste ich überlegen^^
zu d: Integralvergleichskriterium
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:29 Mi 18.07.2007 | | Autor: | blascowitz |
Noch eine Anmerkung zu d)
Da alle Summen konvergent sind [mm] \bruch{1}{n^4} [/mm] usw sind konvergent. Eine unendliche Summe ist ja nichts weiter als eine FOlge von Partialsummen die Konvergent ist. Die summe konvergenter Folgen ist wieder konvergent. Das geht denke ich auch.
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Hallo Zerwas!
Du kannst bei Aufgabe d.) wie folgt abschätzen:
[mm]a_n \ = \ \bruch{1}{n^4}+\bruch{2}{n^4}+\bruch{3}{n^4}+...+\bruch{n}{n^4} \ \le \ \bruch{n}{n^4}+\bruch{n}{n^4}+\bruch{n}{n^4}+...+\bruch{n}{n^4} \ = \ n*\bruch{n}{n^4} \ = \ \bruch{n^2}{n^4} \ = \ \bruch{1}{n^2}[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Zerwas!
Wende hier den ![[]](/images/popup.gif) binomischen Lehrsatz im Zähler an:
[mm] $(n+1)^n [/mm] \ = \ [mm] 1+\vektor{n\\1}*n+\vektor{n\\2}*n^2+...+n^n$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
PS: Bitte hier keine Doppelpostings innerhalb des MatheRaum's fabrizieren ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:54 Mi 18.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
a) [mm] a_{n}=\bruch{1}{n^{2}-2n-2}<\bruch{1}{n^{2}-2n+1}=\bruch{1}{(n-1)^{2}} [/mm] --> Majoranten-kriterium
b) auch Majoranten-kriterium;
c) [mm] \bruch{(n+1)^{n}}{n^{n+2}}<\bruch{n^{n}}{n^{n+2}}=\bruch {1}{n^{2}}.
[/mm]
d) Post vom Roadrunner.
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:57 Mi 18.07.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo dormant!
> c) [mm]\bruch{(n+1)^{n}}{n^{n+2}}<\bruch{n^{n}}{n^{n+2}}=\bruch {1}{n^{2}}.[/mm]
Du wirst lachen: auf exakt diese "Abschätzung" bin ich auch erst gekommen und reingefallen ... Aber stimmen tut sie deshalb noch lange nicht! 
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:06 Mi 18.07.2007 | | Autor: | dormant |
Jep. Mein Vorschlag zu a) stimmt übrigens aus dem selben Grund auch nicht.
Danke,
dormant
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> Hallo dormant!
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> > c) [mm]\bruch{(n+1)^{n}}{n^{n+2}}<\bruch{n^{n}}{n^{n+2}}=\bruch {1}{n^{2}}.[/mm]
>
> Du wirst lachen: auf exakt diese "Abschätzung" bin ich auch
> erst gekommen und reingefallen ... Aber stimmen tut sie
> deshalb noch lange nicht!
Gut, die Abschätzung stimmt nicht, aber die dahinterliegende Intuition ist doch durchaus richtig. Denn es ist ja
[mm]\frac{(n+1)^n}{n^{n+2}}=\frac{\big(1+\frac{1}{n}\big)^n}{n^2}[/mm]
Wegen [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty} \big(1+\frac{1}{n}\big)^n=\mathrm{e}$ [/mm] gibt es daher eine Konstante $C$ und einen Folgenindex [mm] $n_0$, [/mm] so dass für alle $n> [mm] n_0$ [/mm] gilt:
[mm]\frac{(n+1)^n}{n^{n+2}} \leq \frac{C}{n^2}[/mm]
Da unterhalb [mm] $n_0$ [/mm] ja ohnehin nur endlich viele Folgenindices liegen, kann man sogar $C$ so gross wählen, dass diese Abschätzung für alle $n$ gilt (statt nur für alle [mm] $n>n_0$).
[/mm]
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Hi Yanko,
die Abschätzung bei (c) kommt aber nicht hin,
du verkleinerst ja den Zähler, also wird der Bruch insgesamt kleiner
LG
schachuzipus
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