Reihenkonvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 So 18.03.2012 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz.
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{sin(k)}{(k+1)^2-1} [/mm] und [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{i^k}{\sqrt{k}+1} [/mm] |
Und zwar waren das meine Klausuraufgaben:
Ich hab bei der ersten Reihe argumentiert mit dem Majorantenkriterium:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{sin(k)}{k^2+2k} \le \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^2}
[/mm]
Damit habe ich gesagt, dass das ganze konvergiert und war auch in Ordnung. Nun wollte ich absolute Konvergenz zeigen und jetzt erstmal eine Frage:
Und zwar habe ich nun gelernt, dass man mit dem Majorantenkriterium auch absolute Konvergenz zeigt, wäre das damit schon getan?
Denke ich aber nicht, habe es in der Klausur dann mit dem Quotientenkriterium versucht zu zeigen, mir ist aber nun eingefallen, dass ich auch einfach zeigen könnte, dass der Betrag ebenfalls konvergiert, wäre das eine Möglichkeit?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:55 So 18.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und
> absolute Konvergenz.
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{sin(k)}{(k+1)^2-1}[/mm] und
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{i^k}{\sqrt{k}+1}[/mm]
> Und zwar
> waren das meine Klausuraufgaben:
>
> Ich hab bei der ersten Reihe argumentiert mit dem
> Majorantenkriterium:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{sin(k)}{k^2+2k} \le \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^2}[/mm]
>
> Damit habe ich gesagt, dass das ganze konvergiert und war
> auch in Ordnung.
eigentlich leider nicht. Denn
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty \frac{-1}{k} \le \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}\,,$$
[/mm]
dennoch konvergiert die linksstehende Reihe offensichtlich nicht.
> Nun wollte ich absolute Konvergenz zeigen
> und jetzt erstmal eine Frage:
>
> Und zwar habe ich nun gelernt, dass man mit dem
> Majorantenkriterium auch absolute Konvergenz zeigt, wäre
> das damit schon getan?
Da fehlt eine kleine, aber entscheidende Modifikation:
Für alle [mm] $k\,$ [/mm] gilt
[mm] $$\red{|}\sin(k)/(k^2+k)\red{|} \;\le 1/k^2\,.$$
[/mm]
Damit hättest Du nach dem Majorantenkriterium gezeigt, dass die Reihe sowohl absolut und damit insbesondere auch selbst konvergiert (absolute konvergente Reihen konvergieren - so mal als Info für die Zukunft: Wegen der Vollständigkeit (hier etwa von [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$)!).
[/mm]
> Denke ich aber nicht, habe es in der Klausur dann mit dem
> Quotientenkriterium versucht zu zeigen, mir ist aber nun
> eingefallen, dass ich auch einfach zeigen könnte, dass der
> Betrag ebenfalls konvergiert, wäre das eine Möglichkeit?
Das kommt drauf an, was Du meinst: Wenn Du zeigst, dass [mm] $|\sum a_k|$ [/mm] konvergiert, zeigst Du nichts anderes als, dass [mm] $\sum a_k$ [/mm] konvergiert (Stetigkeit des Betrages).
Wenn Du zeigst, dass [mm] $\sum |a_k|$ [/mm] konvergiert, dann zeigst Du die absolte Konvergenz (genau das ist ja die Konvergenz von [mm] $\sum |a_k|$) [/mm] und insbesondere die Konvergenz von [mm] $\sum a_k\,.$
[/mm]
Aber alleine die Abschätzung
[mm] $$\frac{\sin(k)}{k^2+k} \le \frac{1}{k^2}$$
[/mm]
bringt Dir so erstmal gar nichts...
Das Quotientenkriterium sollte hier übrigens versagen, denke ich, denn da wird "gefühls-/erfahrungsgemäß" der Grenzwert 1 rauskommen... (Es kann natürlich sein, dass der Sinus diese "Erfahrung" ein wenig zurechtrückt!)
P.S.
Die zweite Reihe wird divergieren. Das liegt i.w. zum Beispiel daran, dass [mm] $\sum \frac{1}{\sqrt{k}}$ [/mm] divergiert und wenn man die zweite Reihe in Real- und Imaginärteilfolgen zerlegt (also die Folge der Teilsummen), dann reicht es schon, zu sehen, dass eine der beiden reellen Folgen dann divergiert (meinetwegen sagst Du halt anstatt der Folge der Teilsummen über die Realteile sowas wie Realteilreihe oder sowas).
Edit: Änderung meiner Meinung: Siehe hier!
P.P.S.
Nebenbei, ich erwähne es immer wieder gerne:
Bei manchen Reihen, die vielleicht erstmal kompliziert erscheinen, reicht, mit ein bisschen anderem Grundwissen den Satz 33.6 aus Heuser (ich habe an mehreren Stellen, etwa auch hier mal etwas dazu geschrieben) zu kennen und anzuwenden.
Ich verstehe gar nicht, warum der nicht zentral in jedem Analysis-Skriptum aufgenommen wird - er ist so einfach, der Beweis auch, und er bringt enorm viel!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 So 18.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ich weiß auch nicht, warum dieser Satz nicht genommen wurde, aber ich darf ihn nicht nutzen, wenn er nicht im Skript steht, so sind die Regeln, dennoch danke.
Das mit dem Betrag hatte ich so nicht gemacht, habe aber dennoch Punkte bekommen für meine Ausführung ohne, wurde als "Ok" gewertet. Ich nachhinein ärgere ich mich natürlich, da ich die Def. einfach nicht absolut beherrschte zu dem Zeitpunkt.
Heute würde ich mit dem Betrag argumentieren:
Der nenner der Aufgabe, kann nicht kleiner als 0 werden, da [mm] k^2 [/mm] natürlich mehr ausmacht als 2k, dort könnte ich mir den Betrag sparen. Der Betrag des Sinus, da müsste ich theoretisch unterscheiden, da der Sinus auch negativ werden kann, da er aber nur zwischen 1 und -1 sich befindet, ist er für die Konvergenz selber ziemlich unerheblich, somit gilt, dass:
[mm] |\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{sin(k)}{k^2+2k}| \le \summe_{k=1}^{\infty} |\bruch{sin(k)}{k^2+2k}| [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{|sin(k)|}{|k^2+2k|} \le \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^2}
[/mm]
Wodurch das ganze absolut konvergiert und damit eben auch "normal" konvergiert.
Ich bin mir ziemlich sicher, dass dies zumindest mit unserem Wissensstand die Lösung ist. Ich lasse mich aber gerne eines Besseren belehren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 So 18.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, das ist die richtige Losung für die erste Reihe.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 So 18.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo hubbel,
> Ich weiß auch nicht, warum dieser Satz nicht genommen
> wurde, aber ich darf ihn nicht nutzen, wenn er nicht im
> Skript steht, so sind die Regeln, dennoch danke.
die Regeln sind schon okay. Aber zum einen kommst Du ja irgendwann ins Hauptstudium (oder Master? Was ist das nun?), zum anderen darfst Du Dich ja selbst fortbilden.
Man kann den Satz aus dem Heuser auch in der Klausur schnell formulieren und beweisen, dann müßtest Du ihn eigentlich auch benutzen dürfen - aber das ist natürlich nicht wirklich Sinn der Sache.
Du solltest Dir den Satz - vor allem aber den Beweis - mal genau anschauen. Denn genau das, was man im Beweis macht, sind nur Anwendungen von "Techniken, die Du bereits gelernt hast". Wenn Du das also verstehst, kannst Du entsprechende Reihen auch schnell untersuchen, ohne den Satz direkt anzuwenden.
Bei Dir etwa:
Es ist leicht, einzusehen, dass [mm] $k^2*1/(k^2+k) \to 1\,.$ [/mm] Deswegen gibt es etwa zu [mm] $\epsilon=0.5$ [/mm] ein [mm] $K=K_\epsilon\,,$ [/mm] so dass für alle $k [mm] \ge [/mm] K$
[mm] $$|k^2*1/(k^2+k)-1| \le 0.5\,,$$
[/mm]
also gilt insbesondere für alle $k [mm] \ge [/mm] K$
[mm] $$\frac{1}{k^2+k} \le \frac{1.5}{k^2}\,.$$
[/mm]
Danach schreibt man [mm] $\sum_{k=1}^\infty =\sum_{k=1}^{K-1}+\sum_{k=K}^\infty$ [/mm] und muss noch etwas ganz einfaches über Reihen wissen:
Die Konvergenz einer Reihe hängt nicht von endlich vielen Summanden ab! (Und die Konvergenz von [mm] $\sum 1/k^2$ [/mm] sollte bekannt sein!)
> Das mit dem Betrag hatte ich so nicht gemacht, habe aber
> dennoch Punkte bekommen für meine Ausführung ohne, wurde
> als "Ok" gewertet.
Wenn Du dazugeschrieben hättest, dass der Sinus beschränkt ist (also genauer: $-1 [mm] \le \sin(k) \le [/mm] 1$ für alle [mm] $k\,$), [/mm] hätte ich persönlich das durchgehen lassen - weil das im Prinzip auf eine Abschätzung wie beim Majo-Kr. hingeführt hätte. Andernfalls hättest Du's bei mir bemängelt gekommen. Vielleicht hattest Du einfach einen netten Korrekteur, der Dir unterstellt hat, dass Du Dir dazu einfach auch Gedanken gemacht hast.
> Ich nachhinein ärgere ich mich
> natürlich, da ich die Def. einfach nicht absolut
> beherrschte zu dem Zeitpunkt.
>
> Heute würde ich mit dem Betrag argumentieren:
>
> Der nenner der Aufgabe, kann nicht kleiner als 0 werden, da
> [mm]k^2[/mm] natürlich mehr ausmacht als 2k, dort könnte ich mir
> den Betrag sparen. Der Betrag des Sinus, da müsste ich
> theoretisch unterscheiden, da der Sinus auch negativ werden
> kann, da er aber nur zwischen 1 und -1 sich befindet, ist
> er für die Konvergenz selber ziemlich unerheblich, somit
> gilt, dass:
>
> [mm]|\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{sin(k)}{k^2+2k}| \le \summe_{k=1}^{\infty} |\bruch{sin(k)}{k^2+2k}|[/mm]
> = [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{|sin(k)|}{|k^2+2k|} \le \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^2}[/mm]
>
> Wodurch das ganze absolut konvergiert und damit eben auch
> "normal" konvergiert.
>
> Ich bin mir ziemlich sicher, dass dies zumindest mit
> unserem Wissensstand die Lösung ist. Ich lasse mich aber
> gerne eines Besseren belehren.
Das wäre eine mögliche Lösung. Es gibt sicher noch andere (der Cauchysche Verdichtungssatz würde auch etwas bringen, jedenfalls, um die Konvergenz von [mm] $\sum 1/(k^2+k)$ [/mm] einzusehen (auf [mm] $\sum \sin(k)/(k^2+k)$ [/mm] kann man ihn nicht direkt anwenden!) - aber das kann man auch anders machen - mit Ziehharmonikareihe).
Vermutlich ist es mit Eurem Wissensstand die "Musterlösung" oder eine "erwartete". Mit DER Lösung wäre ich immer vorsichtig 
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 So 18.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Alles klar, damit kann ich leben!
Nun zur zweiten Reihe:
Und zwar würde ich hier mit dem Minorantenkriterium argumentieren:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k} \le \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{i^k}{\sqrt{k}+1}
[/mm]
Nun würde ich sagen [mm] i^k [/mm] hat einen 4er Zyklus:
i, -1 , -i, 1
Sprich für die Konvergenz könnten wir [mm] i^k [/mm] vernachlässigen.
Da nun die harmonische Reihe divergiert, divergiert nach dem Minorantenkriterium auch die größere Reihe.
1. Kann ich das so machen?
2. Brauch ich beim Minorantenkriterium ebenfalls den Betrag?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:39 Mo 19.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Alles klar, damit kann ich leben!
>
> Nun zur zweiten Reihe:
>
> Und zwar würde ich hier mit dem Minorantenkriterium
> argumentieren:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k} \le \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{i^k}{\sqrt{k}+1}[/mm]
autsch. Seit wann kann man komplexe Zahlen mit [mm] $\le$ [/mm] oder [mm] $<\,$ [/mm] vergleichen? [mm] $\IC$ [/mm] ist nicht angeordnet (und nicht anordbar)!!
> Nun würde ich sagen [mm]i^k[/mm] hat einen 4er Zyklus:
>
> i, -1 , -i, 1
>
> Sprich für die Konvergenz könnten wir [mm]i^k[/mm]
> vernachlässigen.
>
> Da nun die harmonische Reihe divergiert, divergiert nach
> dem Minorantenkriterium auch die größere Reihe.
>
> 1. Kann ich das so machen?
Nicht ganz.
> 2. Brauch ich beim Minorantenkriterium ebenfalls den
> Betrag?
Nein, das geht nicht! (Betrachte etwa [mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k}\,,$ [/mm] diese Reihe konvergiert nacht Leibniz, aber nicht absolut.) Nochmal zu dem ganzen:
Du hast schon richtig erkannt, dass [mm] $i^k$ [/mm] "einen 4er-Zyklus" hat.
Nutze das, um
[mm] $$\sum\frac{i^k}{\sqrt{k}}$$
[/mm]
in Real- und Imagonärteil aufzuspalten. (Beachte: Eine Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty z_k$ [/mm] ist zunächst nichts anderes als eine Notation für die Folge [mm] $(s_n)_{n \in \IN}$ [/mm] "ihrer" Teilsummen, d.h. [mm] $s_n:=\sum_{k=1}^n z_k\,.$ [/mm] Für komplexe [mm] $z_k$ [/mm] kann man also leicht einsehen, dass [mm] $s_n=\sum_{k=1}^n \text{Re}(z_n)+i*\sum_{k=1}^n \text{Im}(z_n)\,.$)
[/mm]
Danach beachte, dass für komplexe Folgen [mm] $(w_n)_n$ [/mm] gilt, dass [mm] $(w_n)_n$ [/mm] genau dann konvergiert, wenn sowohl (die reellwertige Folge) [mm] $(\text{Re}(w_n))_n$ [/mm] als auch (die reellwertige Folge) [mm] $(\text{Im}(w_n))_n$ [/mm] konvergieren. (Das wende auf die Folge der Teilsummen an!)
P.S.
Ich vermute, ich hatte nicht genau genug hingeguckt - denn momentan scheint's mir, als wenn die Reihe [mm] $\sum \frac{i^k}{\sqrt{k}}$ [/mm] konvergiert - Anwendung von Leibniz auf die "Real- und Imaginärteilreihe".
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Mo 19.03.2012 | | Autor: | hubbel |
In der Klausur habe ich es mit dem Wurzelkriterium versucht, war aber falsch und uns wurde gesagt, dass die Reihe divergiert und mir fällt nicht ein, wie ich Divergenz hier zeigen kann.
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Hallo,
> In der Klausur habe ich es mit dem Wurzelkriterium
> versucht, war aber falsch und uns wurde gesagt, dass die
> Reihe divergiert und mir fällt nicht ein, wie ich
> Divergenz hier zeigen kann.
Du hast ja eigentlich genau die richtige Überlegung durchgeführt, was das [mm] i^k [/mm] im Zähler bewirkt.
Man könnte nun davon ausgehend die reellen und die imaginären Summanden jeweils getrennt auf Konvergenz/Diverganz überprüfen. Denn im Prinzip läuft die Reihe ja doch irgendwie im Viereck herum, bloß wie, ist die Frage. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Mo 19.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Habe jetzt extra nochmal nachgefragt, das ganze konvergiert, aber nicht absolut.
Habe ein Problem bei der Zerlegung, der Realteil ist doch 0 aber wie bekomme ich beim Imaginärteil das i aus der Summe? Aufgrund dieses 4er-Zykluses müsste es gehen, ich weiß nur nicht wie.
Ich würde es irgendiwe so versuchen:
[mm] i\cdot{}\sum_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{\sqrt{k}+1}-1\cdot{}\sum_{k=3}^{\infty} \bruch{1}{\sqrt{k}+1}-i\cdot{}\sum_{k=4}^{\infty} \bruch{1}{\sqrt{k}+1}+\sum_{k=5}^{\infty} \bruch{1}{\sqrt{k}+1}[/mm]
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Hallo,
> Habe jetzt extra nochmal nachgefragt, das ganze
> konvergiert, aber nicht absolut.
Mathcad 11 hat schlapp gemacht dran, aber das muss nicht unbedingt etwas heißen.
> Habe ein Problem bei der Zerlegung, der Realteil ist doch 0
> aber wie bekomme ich beim Imaginärteil das i aus der
> Summe? Aufgrund dieses 4er-Zykluses müsste es gehen, ich
> weiß nur nicht wie.
Du hast meinen Tipp falsch verstanden: verwende, dass sich bei der Reihe jeweils reelle und imaginäre Summanden abwechseln. Wenn man diese Summanden jeweils zu einer neuen Reihe zusammenfasst, bekommt man zwei alternierende Reihen mit gleichen Summanden aber unterschiedlichen Indizes bzw. nach Indexberichtigung eben zwei verschiedene alternierende Reihen. Diese könnte man mit dem Leibniz-Kriterium untersuchen, wobei ich der Ansicht bin, dass hier sogar die Untersuchung einer der beiden Reihen ausreicht. Und jetzt wo ich das hier schreibe, fällt mir auch auf, dass die Reihe konvergent ist, das ganze ist ziemlich trivial.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Mo 19.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ich verstehe was du meinst:
[mm] \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{\sqrt{k}+1}+\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-i)^k}{\sqrt{k}+1}
[/mm]
Meinst du das so?
Wobei ich mir etwas unsicher bin mit dem k.
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Hallo,
das Prinzip hast du verstanden. Aber dein Gefühl trügt dich nicht, du musst das mit den Indizes wieder reparieren, da ja für alle ungeraden k die Werte imaginär und für die geraden k reell sind.
Tipp: mit 2k-1 bzw. 2k lassen sich ungerade und gerade Zahlen wunderbar darstellen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Mo 19.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Also gut, ich brauche ja:
i, -1, -i, 1
Somit müsste das nun stimmen!
[mm] \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{\sqrt{k}+1}+\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-i)^{2k+1}}{\sqrt{k}+1}
[/mm]
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Hallo,
> Also gut, ich brauche ja:
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> i, -1, -i, 1
>
> Somit müsste das nun stimmen!
>
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{\sqrt{k}+1}+\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-i)^{2k+1}}{\sqrt{k}+1}[/mm]
>
>
nein: von vier Vorkommen der INdexvariablen k hast du jetzt eines repariert. Bleiben noch drei. Und dann bedenke, dass du bei der Anwendung des Leibniz-Kriteriums aus dem imaginären Summanden dann noch einen reellen machen musst, in dem du für [mm] \pm{i} [/mm] eben ersatzweise [mm] \pm{1} [/mm] setzt.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Mo 19.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Bleiben wir erstmal bei der Reparatur:
Stimmt, mir fällt auf, dass der Zähler nun stimmt, aber der Nenner nicht.
Ich bekomme das aber nicht unter einen Hut, hast du einen Tipp? Sollte ich es mit 4 Summen versuchen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:00 Mo 19.03.2012 | | Autor: | fred97 |
Vorschlag:
Berechne in aller Ruhe
[mm] x_k:= Re(\bruch{i^k}{\wurzel{k}+1})
[/mm]
und
[mm] y_k:= Im(\bruch{i^k}{\wurzel{k}+1}).
[/mm]
Dann schaust Du Dir die Reihen [mm] \sum x_k [/mm] und [mm] \sum y_k [/mm] an.
Nur wenn diese beiden Reihen konvergieren, konvergiert [mm] \sum \bruch{i^k}{\wurzel{k}+1}
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Mo 19.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ok, jetzt mal Schritt für Schritt:
Die Summe sieht erstmal so aus:
[mm] \bruch{i}{\sqrt{1}+1}+\bruch{-1}{\sqrt{2}+1}+\bruch{-i}{\sqrt{3}+1}+\bruch{1}{\sqrt{4}+1}+\bruch{i}{\sqrt{5}+1}...
[/mm]
Nun kann man da jeweils 2 alternierende Werte vorkommen, das ganze in 2 Reihen zusammenfassen, erstmal nur auf den Zähler bezogen:
[mm] \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k+\sum_{k=1}^{\infty} (-i)^{2k+1} [/mm]
Ersteres ist der Realteil, zweiteres der Imaginärteil (i ist noch drin).
Mein Problem ist, wenn ich hier den Nenner beifüge, dann habe ich ihn immer doppelt:
[mm] \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{\sqrt{k}+1}+\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-i)^{2k+1}}{\sqrt{k}+1}=\bruch{i}{\sqrt{1}+1}+\bruch{-1}{\sqrt{1}+1}+\bruch{-i}{\sqrt{2}+1}+\bruch{1}{\sqrt{2}+1}
[/mm]
Ich begreif's nicht, zermatere mir schon die ganze Zeit das Hirn damit, das in Realteil und Imaginärteil zu zerlegen, habe erst gedacht, dass ich es hätte, wenn ich in die Wurzel des Realteiles einfach k+1 schreibe, aber das simmt auch nicht.
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Hallo hubbel,
> Ok, jetzt mal Schritt für Schritt:
>
> Die Summe sieht erstmal so aus:
>
> [mm]\bruch{i}{\sqrt{1}+1}+\bruch{-1}{\sqrt{2}+1}+\bruch{-i}{\sqrt{3}+1}+\bruch{1}{\sqrt{4}+1}+\bruch{i}{\sqrt{5}+1}...[/mm]
>
> Nun kann man da jeweils 2 alternierende Werte vorkommen,
> das ganze in 2 Reihen zusammenfassen, erstmal nur auf den
> Zähler bezogen:
>
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k+\sum_{k=1}^{\infty} (-i)^{2k+1}[/mm]
>
> Ersteres ist der Realteil, zweiteres der Imaginärteil (i
> ist noch drin).
>
> Mein Problem ist, wenn ich hier den Nenner beifüge, dann
> habe ich ihn immer doppelt:
>
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{\sqrt{k}+1}+\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-i)^{2k+1}}{\sqrt{k}+1}=\bruch{i}{\sqrt{1}+1}+\bruch{-1}{\sqrt{1}+1}+\bruch{-i}{\sqrt{2}+1}+\bruch{1}{\sqrt{2}+1}[/mm]
>
> Ich begreif's nicht, zermatere mir schon die ganze Zeit das
> Hirn damit, das in Realteil und Imaginärteil zu zerlegen,
> habe erst gedacht, dass ich es hätte, wenn ich in die
> Wurzel des Realteiles einfach k+1 schreibe, aber das simmt
> auch nicht.
Für den Realteil ist der Ausdruck unter der Wurzel gerade,
für den Imaginärteil ist dieser Ausdruck ungerade.
Demnach ergibt sich:
[mm]\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{\sqrt{\blue{2}k}+1}+\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-i)^{2k+1}}{\sqrt{\blue{2}k\blue{-1}}+1}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Mo 19.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ok, ich bin deppert...
Ingesamt kann ich es doch so schreiben:
[mm] \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{\sqrt{2k}+1}+\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-i)^{2k+1}}{\sqrt{2k-1}+1}=\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{\sqrt{2k}+1}-i\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{\sqrt{2k-1}+1}
[/mm]
Somit konvergieren Realteil und Imaginärteil und die Reihe konvergiert!
Stimmt das?
Wie würde ich zeigen, dass es nicht absolut konvergiert? Ich würde einfach den Betrag nutzen bei beiden Reihen, dadurch wird die [mm] (-1)^k [/mm] zu 1.
Und dann würde ich mit dem Minorantenkriterium und der harmonischen Reihe argumentieren und zeigen, dass die harmonische Reihe kleiner als der Betrag von unserer Reihe ist und somit divergiert, wodurch es nicht absolut konvergiert. Wäre das eine Möglichkeit?
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Hallo hubbel,
> Ok, ich bin deppert...
>
> Ingesamt kann ich es doch so schreiben:
>
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{\sqrt{2k}+1}+\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-i)^{2k+1}}{\sqrt{2k-1}+1}=\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{\sqrt{2k}+1}-i\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{\sqrt{2k-1}+1}[/mm]
>
> Somit konvergieren Realteil und Imaginärteil und die Reihe
> konvergiert!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Stimmt das?
Ja, aber dass die letzten beiden Reihen konvergieren, solltest du mit einem Wort kurz begründen
>
> Wie würde ich zeigen, dass es nicht absolut konvergiert?
> Ich würde einfach den Betrag nutzen bei beiden Reihen,
> dadurch wird die [mm](-1)^k[/mm] zu 1.
>
> Und dann würde ich mit dem Minorantenkriterium und der
> harmonischen Reihe argumentieren und zeigen, dass die
> harmonische Reihe kleiner als der Betrag von unserer Reihe
> ist und somit divergiert, wodurch es nicht absolut
> konvergiert. Wäre das eine Möglichkeit?
Ja, wirf doch den Betrag direkt auf die Ausgangsreihe:
[mm]\sum\limits_{k\ge 1}\left|\frac{i^k}{\sqrt{k}+1}\right|=\sum\limits_{k\ge 1}\frac{1}{\sqrt{k}+1}[/mm]
Das kannst du gegen die harmonische Reihe als divergenter Minorante abschätzen und hast Divergenz, mithin keine absol. Konvergenz der Ausgangsreihe
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:39 Mo 19.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Alles klar, danke euch!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Mo 19.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
weil das ganze alles mal so schnell hingeschrieben wurde, aber alles doch ein wenig auf einzelne Fragen "zerstreut" wurde, mal ein komplette Zusammenfassung zur Untersuchung der Reihe [mm] $\sum i^k/(\sqrt{k}+1)\,.$
[/mm]
Dazu zunächst mal zwei Vorbemerkungen:
1.) a) Das Symbol [mm] $\sum_{k=n_0}^\infty z_k$ [/mm] (mit einer reellwertigen bzw. komplexwertigen Folge [mm] $(z_k)_{k=n_0}^\infty$) [/mm] kann stets hingeschrieben werden - ohne Rücksicht auf "irgendeine Art von Konvergenz". Dieses Symbol steht zunächst mal für nichts anderes als die Folge [mm] $(s_n)_{n=n_0}^\infty$ [/mm] der Teilsummen [mm] $s_n$ [/mm] definiert durch
[mm] $$s_n:=\sum_{k=n_0}^n z_k\;\;\;(\forall [/mm] n [mm] \ge n_0)\,.$$
[/mm]
b) Falls nun [mm] $(s_n)_n$ [/mm] konvergiert (in [mm] $\IR$ [/mm] bzw. [mm] $\IC$), [/mm] so kann dem Symbol [mm] $\sum_{k=n_0}^\infty z_k$ [/mm] noch eine zweite Bedeutung zugeordnet werden, man schreibt dann auch
[mm] $$\sum_{n=n_0}^\infty z_n:=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=n_0}^n z_k\,.$$
[/mm]
Welche der Bedeutungen, falls die Folge der Teilsummen konvergiert, jeweils gemeint ist, ergibt sich (oder sollte sich ergeben) aus dem Zusammenhang!
Bemerke: Ohne Rücksicht auf Konvergenz oder Divergenz kann man eine Reihe [mm] $\sum_{k=n_0}^\infty$ [/mm] stets als ("ihre") Folge der Teilsummen [mm] $(s_n)_n$ [/mm] wie oben interpretieren.
Abkürzend schreiben wir im Folgenden nur noch [mm] $\sum:=\sum_{k=n_0}^\infty\,.$
[/mm]
c) Weil eine Reihe [mm] $\sum z_k$ [/mm] (mit einer komplexwertigen Folge [mm] $(z_k)$) [/mm] gemäß obigen Beobachtungen nichts anderes ist als die Folge [mm] $(s_n)$ [/mm] ihrer Teilsummen, und da für jedes $n [mm] \ge n_0$ [/mm] gilt
[mm] $$\sum_{k=n_0}^n z_k=s_n=\text{Re}(s_n)+i*\text{Im}(s_n)=\text{Re}(\sum_{k=n_0}^n z_k)+i*\text{Im}(\sum_{k=n_0}^n z_k)=(\sum_{k=n_0}^n \text{Re}(z_k))+i*(\sum_{k=n_0}^n \text{Im}(z_k))\,,$$
[/mm]
und weil eine komplexwertige Folge genau dann konvergiert, wenn "ihre Real- und Ihre Imaginärteilfolge" beide konvergieren, sehen wir also, dass [mm] $\sum z_k$ [/mm] dann und nur dann konvergiert, wenn [mm] $\sum \text{Re}(z_k)$ [/mm] und [mm] $\sum \text{Im}(z_k)$ [/mm] beide konvergent sind.
2.) Sei [mm] $n_0:=1:\,$ [/mm] Für [mm] $\sum i^k/(\sqrt{k}+1)$ [/mm] gilt nun:
Für jedes $n [mm] \ge [/mm] 1$ gelten:
a)
[mm] $$\sum_{k=1}^n \text{Re}(i^k/(\sqrt{k}+1))=\sum_{k=1}^{[n/2]}\frac{(-1)^{k}}{\sqrt{2k}+1}\,,$$
[/mm]
und
b)
[mm] $$\sum_{k=1}^n \text{Im}(i^k/(\sqrt{k}+1))=\sum_{k=1}^{[(n+1)/2]}\frac{(-1)^{k-1}}{\sqrt{2k-1}+1}\,.$$
[/mm]
(Jeder soll und darf das kontrollieren, und mir bitte ggf. einen Korrekturhinweis posten. Das gilt natürlich auch für andere Bereiche dieser Antwort!!)
Damit kommen wir nun zum Ergebnis:
E1) Es ist nicht schwer, einzusehen, dass für eine Folge [mm] $(w_n)_{n=n_0}^\infty$ [/mm] die Folge [mm] $(g_n):\equiv(w_1,w_1,w_2,w_2,w_3,w_3,\ldots)$ [/mm] genau dann konvergiert, wenn [mm] $(w_n)$ [/mm] konvergiert. (Man beachte, dass die obige "Realteilteilsummenfolge und die Imaginärteilteilsummenfolge" jeweils die Form von [mm] $(g_n)$ [/mm] haben (die Realteilteilsummenfolge jedenfalls, wenn man vom ersten Folgenglied absieht) - sie sind sogar zudem "nur" reellwertig).
E2) Ebenso ist es mit Leibniz nicht schwer, einzusehen, dass [mm] $\sum \frac{(-1)^k}{\sqrt{2k}+1}$ [/mm] und [mm] $\sum \frac{(-1)^k}{\sqrt{2k-1}+1}$ [/mm] beide konvergieren - also genauer gesagt: Jeweils die entsprechende Folge der Teilsummen.
E3) Mittels E1) und E2) erkennt man somit, dass die zu 2a) und 2b) "zugehörigen Reihen" beide konvergieren. Wegen 1c) ist damit die Konvergenz von [mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{i^k}{\sqrt{k}+1}$ [/mm] "bewiesen".
P.S.
Das sind eigentlich im Wesentlichen die ganzen Gedankengänge, die beim Bearbeiten dieser Aufgabe eingehen. Natürlich ist ein geübter/erfahrener Mensch da viel "fauler" - so werden etwa die ganzen Erkenntnisse aus 1.) schon nicht mehr erwähnt, ebenso wenig wie E1).
Daher abschließend einfach die Musterlösung in kurz:
Meist schreibt man einfach
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty i^k/(\sqrt{k}+1)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{\sqrt{2k}+1}+i*\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{\sqrt{2k-1}+1}\,,$$
[/mm]
was sich natürlich nicht mehr ohne weiteres auf die Folge der Teilsummen beziehen kann - aber wenn die Grenzwerte rechterhand existieren, dann auch der Grenzwert linkerhand.
Nun begründet man die Existenz der Grenzwerte rechterhand (wie oben, jeweils mit Leibniz etwa), und schon ist man fertig.
Denn: Erfahrene Mathematiker nehmen da nicht mehr alles so penibel auseinander, sondern begnügen sich eigentlich im Wesentlichen mit den Überlegungen aus der "kurzen Musterlösung", da sie wissen, dass eine Folge genau dann konvergiert, wenn jede ihrer Teilfolgen konvergiert (und damit konvergieren auch alle Teilfolgen gegen ein und denselben Grenzwert). Schaden können solche Überlegungen, wie ich sie oben detailliert geschrieben habe, aber nicht (jedenfalls, wenn mal alle Fehler, die ich evtl. da noch stehen habe, auch beseitigt sind: daher bitte mit Bedacht lesen!!). In der Klausur würden sie aber natürlich einfach zuviel Zeit rauben!
P.P.S.
Man sieht auch, dass die Behandlung komplexer (komplexwertiger) Reihen auch eigentlich i.a. erstmal komplexer ist bzw. erscheinen - natürlich ist das nicht der einzige Grund, warum sie komplex heißen
Reell(wertig)e Reihen sind i.a. einfacher:
Deswegen erspare ich es mir hier auch, nochmal die Untersuchung auf absolute Konvergenz komplett durchzuziehen. Die Erkenntnisse aus 1.) sollte man aber - auch bei der Untersuchung von "nur" reellen Reihen - verstanden haben.
Fazit ist aber: Die Untersuchung komplex(wertig)er Reihen kann man auf die Untersuchung reellwertiger zurückführen. Daher erscheinen zwar komplexwertige Reihen erstmals "komplexer", aber sie sind es i.a. nicht. Man hat nur "ein bisschen mehr Arbeit" mit ihnen, wenn man sie behandelt - weil man halt nicht eine reelle, sondern direkt zwei reelle Reihen zu behandeln hat!!
Gruß,
Marcel
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