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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Do 08.12.2005 | | Autor: | Sinus |
Hallo,
ich hab hier eine Aufgabe, die ich leider nicht lösen kann:
Untersuche die Konvergenz der Reihe:
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{(n!)^{2}}{(2n)!}
[/mm]
Hab es so umgeformt: [mm] \bruch{n!}{(2n)!-n!} [/mm]
Stimmt das überhaupt und wie muss ich weiter vorgehen?
Vielen Dank,
Sinus
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Hallo Sinus!
Wie bist Du denn auf diesen Ausdruck gekommen? Das stimmt leider nicht, da hier gar keine Differenz im Nenner entstehen kann.
Verwende das Quotientenkriterium [mm] $\limsup_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] \ < \ 1$ .
[mm] $\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] \ = \ [mm] \left|\bruch{\bruch{[(n+1)!]^2}{[2(n+1)]!}}{\bruch{(n!)^2}{(2n)!}}\right| [/mm] \ = \ ...$
Beachte dabei, das gilt: $[2*(n+1)]! \ = \ (2n+2)! \ = \ (2n)!*(2n+1)*(2n+2)$
Kommst Du damit etwas weiter?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Do 08.12.2005 | | Autor: | Sinus |
Danke für deine Antwort.
Ich komme so weit:
[mm] ...=|\bruch{((n+1)!)^{2}(2n)!}{(2(n+1))!(n!)^{2}}|
[/mm]
[mm] =|\bruch{((n+1)!)^{2}(2n)!}{(2n+2)!(n!)^{2}}|
[/mm]
[mm] =|\bruch{((n+1)!)^{2}(2n)!}{(2n)!(2n+1)(2n+2)(n!)^{2}}|
[/mm]
[mm] =|\bruch{((n+1)!)^{2}}{(2n+1)(2n+2)(n!)^{2}}|
[/mm]
weiter komme ich leider nicht.
Vielen Dank für die nette Unterstützung
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Hallo sinus!
Wende auch im Zähler nochmal die Definition der Fakultät an:
$(n+1)! \ = \ n!*(n+1)$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Do 08.12.2005 | | Autor: | Sinus |
Danke Roadrunner,
ich bin jetzt soweit gekommen mit Hilfe der Definition:
...=| [mm] \bruch{n^{2}+2n+1}{2(2n^{2}+3n+1)}| [/mm]
Ich denke, dass dies nun gegen Null konvergiert, aber wie wähle ich meine Konstante C???
Vielen vielen Dank nochmal!
Sinus
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Hallo Sinus!
> ...=| [mm]\bruch{n^{2}+2n+1}{2(2n^{2}+3n+1)}|[/mm]
Stimmt, aber wenn Du vor dem Ausmultiplizieren noch gekürzt hättest, wäre es einfacher:
$... \ = \ [mm] \left|\bruch{n+1}{2*(2n+1)}\right| [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left|\bruch{n+1}{2n+1}\right| [/mm] \ < \ ...$
Was gilt auf jeden Fall für den Bruch (Abschätzung)?
> Ich denke, dass dies nun gegen Null konvergiert,
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Dieser Ausdruck konvergiert gegen [mm] $\bruch{1}{4}$ [/mm] !
> aber wie wähle ich meine Konstante C???
Siehe oben!
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Do 08.12.2005 | | Autor: | Sinus |
Hallo Roadrunner,
vielen Dank für deine Unterstützung. Vielleicht kannst du dann noch meinen letzen Schritt überprüfen
Ich erhalte also dann [mm] \bruch{1}{2}| \bruch{n+1}{2n+1}|
[/mm]
Dann wähle ich mein p= [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] so dass gilt: [mm] a_{n}
Sinus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:13 Fr 09.12.2005 | | Autor: | R4ph43l |
> Ich erhalte also dann [mm]\bruch{1}{2}| \bruch{n+1}{2n+1}|[/mm]
>
> Dann wähle ich mein p= [mm]\bruch{1}{2},[/mm] so dass gilt:
> [mm]a_{n}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Absolut richtig! Quotientenkriterium erfüllt, also konvergiert die Reihe.
> Sinus
R4ph43l
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