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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Reihenwert von [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n n}{(2n+2)!} [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
als Summe von Vielfachen geeigneter Werte der Sinus- und Cosinusfunktion. |
Ich habe einen Lösungsansatz aber der führt glaube ich nicht ganz zum Ziel aber vielleicht hat ja jemand eine Idee.
Hier der Ansatz:
$$\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n n}{(2n+2)!}$$
$$=\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1} \bruch{n-1}{(2(n-1)+2)!}$$
$$=\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}(-1)^{-1} \bruch{n-1}{(2n)!}$$
$$=-1\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n} \bruch{n-1}{(2n)!}$$
$$=-1(\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n\bruch{n}{(2n)!}-\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n \bruch{1}{(2n)!})$$
$$=-1(\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n\bruch{n}{(2n)!}-\sum_{n=0}^{\infty}((-1)^n\bruch{1}{(2n)!})-1+\bruch{1}{2})=)!})$$
$$=-1(\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n\bruch{n}{(2n)!}-\sum_{n=0}^{\infty}((-1)^n\bruch{1}{(2n)!})-\bruch{1}{2})$$
$$=\bruch{1}{2}+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\bruch{1}{(2n)!}-\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n\bruch{n}{(2n)!}$$
$$=\bruch{1}{2}+\cos 1 -\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n\bruch{n}{(2n)!}$$
$$=\bruch{1}{2}+\cos 1 -\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+2}\bruch{n+2}{(2(n+2))!}$$
$$=\bruch{1}{2}+\cos 1 -\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n (-1)^2\bruch{n+2}{(2(n+1))!*2*(n+2)}$$
$$=\bruch{1}{2}+\cos 1 -\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \bruch{1}{(2n+2))!*2}$$
$$=\bruch{1}{2}+\cos 1 -\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \bruch{1}{(2n+1))!*2*(2n+2)}$$
$$=\bruch{1}{2}+\cos 1 -\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \bruch{1}{(2n+1))!}\bruch{1}{4n+4}$$
$$=\bruch{1}{2}+\cos 1 -\sin 1 \sum_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{4n+4}$$
Wäre echt super wenn mal jemand drüber schaut ob alle Schritte richtig sind oder wo der Fehler liegt damit man da zu einem "schönerem" Ergebnis kommt.
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:59 So 11.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo mighttower!
Bei einem Blick auf Deine Rechnugn ist mir lediglich ein Fehler aufgefallen.
Es gilt:
$$[2*(n+2)]! \ = \ (2n+4)! \ = \ [mm] (2n+2)!*\red{(2n+3)}*(2n+4)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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