Reihenwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:13 Di 20.07.2010 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Reihenwert:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{3^k}{2^{2k}}-\bruch{(-1)^k}{4^k}\right) [/mm] |
So ich habe mir gedacht es in 2 geometrische Reihen zu zerlegen:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{3^k}{2^{2k}}\right)=\summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{3}{4}\right)^k=\bruch{1}{1-\bruch{3}{4}}-1=3
[/mm]
und:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{(-1)^k}{4^{k}}\right)=\summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{(-1)}{4}\right)^k=\bruch{1}{1+\bruch{1}{4}}-1=-\bruch{1}{5}
[/mm]
also ist der Reihenwert: [mm] 3+\bruch{1}{5}=3\bruch{1}{5}.
[/mm]
Nun 2 Fragen:
1. Darf ich das so machen?
2. Wieso muss ich bei den geometrischen Reihen immer die -1 abziehen? Hängt es vom k=1 ab? Fällt diese bei k=0 weg? Und muss ich dann bei k=2 -2 abziehen?
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Hallo,
> Berechnen Sie den Reihenwert:
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> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{3^k}{2^{2k}}-\bruch{(-1)^k}{4^k}\right)[/mm]
> So ich habe mir gedacht es in 2 geometrische Reihen zu
> zerlegen:
Ok
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{3^k}{2^{2k}}\right)=\summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{3}{4}\right)^k=\bruch{1}{1-\bruch{3}{4}}-1=3[/mm]
>
> und:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{(-1)^k}{4^{k}}\right)=\summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{(-1)}{4}\right)^k=\bruch{1}{1+\bruch{1}{4}}-1=-\bruch{1}{5}[/mm]
>
> also ist der Reihenwert: [mm]3+\bruch{1}{5}=3\bruch{1}{5}.[/mm]
>
> Nun 2 Fragen:
> 1. Darf ich das so machen?
Ja
> 2. Wieso muss ich bei den geometrischen Reihen immer die
> -1 abziehen? Hängt es vom k=1 ab?
Ja. Woher wusstest du denn, dass die $ 1 $ subtrahiert werden muss?
> Fällt diese bei k=0 weg?
Ja
> Und muss ich dann bei k=2 -2 abziehen?
Nein, sondern die Reihenglieder, für die $ k = 0, 2 $
Es gilt $ [mm] z^0 [/mm] = 1 $ für alle $ z [mm] \in \IR [/mm] $
Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:13 Di 20.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Danke sehr.
> Ja. Woher wusstest du denn, dass die [mm]1[/mm] subtrahiert werden
> muss?
Das habe ich von einer ähnlichen Übung übernommen und es als mathematisches Gesetz angesehen, jetzt habe ich es auch verstanden.
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:55 Do 21.07.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
ich habe mir eben deine 1. Frage in dieser Diskussion angesehen. Und den Einwand von ChopSuey fand ich gut:
> Woher wusstest du denn, dass die 1 subtrahiert werden muss?
Deine erste Antwort darauf
> Das habe ich von einer ähnlichen Übung übernommen und es als mathematisches Gesetz angesehen,
lässt nicht 100%ig darauf schließen:
> jetzt habe ich es auch verstanden.
Wenn du es verstanden hast, dann vergiss' meine Antwort einfach (ich versuche gerade nur, mich ein wenig zu beschäftigen, weil ich nicht schlafen kann ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") ), ansonsten hilft es dir hoffentlich.
Du hast also eine Reihe der Form
[mm]\summe_{i=1}^{\infty} q^k[/mm], hier sei jetzt speziell [mm]-1
Du wendest jetzt jetzt die geometrische Reihe an, die besagt, dass
[mm]\summe_{\red{i=0}}^{\infty} q^k=\bruch{1}{1-q}[/mm], für q wie oben
Die geometrische Reihe beginnt aber bei 0 und nicht wie deine gegebene Reihe bei 1. Du musst also [mm]\summe_{\red{i=1}}^{\infty} q^k[/mm] in die Form [mm]\summe_{\red{i=0}}^{\infty} q^k[/mm] überführen. Das kannst du nun z.B. durch Indexverschiebung erreichen:
[mm]\summe_{\red{i=1}}^{\infty} q^k=\summe_{\red{i=0}}^{\infty} q^{k+\red{1}}=q\cdot{\summe_{\red{i=0}}^{\infty} q^k}=q\cdot{\bruch{1}{1-q}}[/mm].
Analog kannst du vorgehen, wenn der i bei 2, also i=2, anfängt.
Oder aber, du machst es so, wie du es aus früheren Aufgaben "abgeguckt" hast:
[mm]\summe_{\red{i=1}}^{\infty} q^k=\summe_{\red{i=1}}^{\infty} q^k+q^0-q^0=(\summe_{\red{i=1}}^{\infty} q^k+q^0)-q^0=\summe_{\red{i=0}}^{\infty} q^k-1=\bruch{1}{1-q}-1[/mm].
Im Falle i=2:
[mm]\summe_{\red{i=2}}^{\infty} q^k=\summe_{\red{i=2}}^{\infty} q^k+q^0+q^1-q^0-q^1=(\summe_{\red{i=2}}^{\infty} q^k+q^0+q^1)-q^0-q^1=\summe_{\red{i=0}}^{\infty} q^k-q^0-q^1=\bruch{1}{1-q}-1-q^1[/mm]
Gruß
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:01 Do 21.07.2011 | | Autor: | lzaman |
Super erklärt. Danke für deine Mühe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:52 Do 21.07.2011 | | Autor: | lzaman |
Hallo und sorry, dass ich den alten Beitrag von mir nochmal raushole.
Bin aber meiner Meinung auf einen Fehler gestoßen.
Der gesuchte Reihenwert ist nämlich :
[mm]\sum_{k=1}^{\infty} \left(\bruch{3}{4}\right)^k - \sum_{k=1}^{\infty} \left(\bruch{1}{4}\right)^k =\left (\bruch{1}{1 {\color{Red}-} \bruch{3}{4}}-1\right)-\left (\bruch{1}{1 {\color{Red}-} \bruch{1}{4}}-1\right)=\bruch{8}{3}[/mm] ???
und nicht [mm]\bruch{16}{5}[/mm]. Bin mir bei den roten Vorzeichen ziemlich unsicher. Daher bitte ich euch, die Lösung zu überprüfen.
Danke.
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Moin,
> Bin aber meiner Meinung auf einen Fehler gestoßen.
>
> Der gesuchte Reihenwert ist nämlich :
>
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \left(\bruch{3}{4}\right)^k - \sum_{k=1}^{\infty} \left(\bruch{1}{4}\right)^k =\left (\bruch{1}{1 {\color{Red}-} \bruch{3}{4}}-1\right)-\left (\bruch{1}{1 {\color{Red}-} \bruch{1}{4}}-1\right)=\bruch{8}{3}[/mm]
> ???
Da ist ein Minus verlorengegangen. Siehe unten.
>
> und nicht [mm]\bruch{16}{5}[/mm]. Bin mir bei den roten Vorzeichen
> ziemlich unsicher. Daher bitte ich euch, die Lösung zu
> überprüfen.
Die Formel der geometrischen Summe lautet für |q|<1:
[mm] \sum_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}
[/mm]
In diesem Fall gilt also:
[mm] \sum_{k=1}^\infty\left(\frac{3}{4}\right)^k-\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{-1}{4}\right)^k=\left(\frac{1}{1-3/4}-1\right)-\left(\frac{1}{1\red{-}(-1/4)}-1\right)=(4-1)-(-1/5)=16/5
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:07 Do 21.07.2011 | | Autor: | lzaman |
und ich habe mit [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{3^k}{2^{2k}}-\bruch{(1)^k}{4^k}\right) [/mm] gerechnet. Dann wäre doch [mm]\bruch{3}{8}[/mm] als Lösung korrekt, oder?
Ich frage wegen den Vorzeichen so detailiert nach...
Vielen Dank.
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Hallo Izaman,
> und ich habe mit
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{3^k}{2^{2k}}-\bruch{(1)^k}{4^k}\right)[/mm]
> gerechnet. Dann wäre doch [mm]\bruch{3}{8}[/mm] als Lösung
> korrekt, oder?
>
> Ich frage wegen den Vorzeichen so detailiert nach...
Also, ich bekomme da [mm] \bruch{8}{3} [/mm] heraus.
Vielleicht rechnest Du mal vor, oder wenigstens nach. 
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:21 Do 21.07.2011 | | Autor: | lzaman |
Vollkommen richtig. War ein Tippfehler von mir. Siehe weiter oben...
Danke euch.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:25 Do 21.07.2011 | | Autor: | kamaleonti |
> und ich habe mit
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{3^k}{2^{2k}}-\bruch{(1)^k}{4^k}\right)[/mm]
> gerechnet. Dann wäre doch [mm]\bruch{3}{8}[/mm] als Lösung
> korrekt, oder?
Ja.
In deinem ersten Aufgabenpost steht allerdings [mm] (-1)^k [/mm] anstelle von [mm] (1)^k. [/mm] Das ist hier sicherlich der Grund für die Verwirrung.
LG
>
> Ich frage wegen den Vorzeichen so detailiert nach...
>
>
> Vielen Dank.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:00 Do 21.07.2011 | | Autor: | lzaman |
Stimmt, das war der Grund für die Verwirrung.
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