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Reihenwert, Methodik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:52 Fr 24.05.2013
Autor: Kartoffelchen

Aufgabe
Zu berechnen ist der Reihenwert der folgenden Reihe:

[mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{n^2(n+1)^}$ [/mm]

Ein weiteres Mal "Hallo!",

es geht erneut um das Berechnen eines Reihenwertes.
Ich hoffe dies durch folgende Umformungen erreichen zu können:

[mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2-n^2+2n+1}{n^2(n+1)^2} [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)^2 -n^2}{n^2(n+1)^2} [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^\infty [/mm] ( [mm] \frac{(n+1)^2}{n^2(n+1)^2} [/mm] - [mm] \frac{n^2}{n^2(n+1)^2}) [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^\infty [/mm] ( [mm] \frac{1}{n^2} [/mm] - [mm] \frac{1}{(n+1)^2})$ [/mm]

[Hier habe ich mir die Reihenglieder angesehen und bin zum Schluss gekommen, dass es sich um eine Teleskopsumme handeln müsste; am Ende bleibt "das erste und das letzte Glied" übrig]

[mm] $\sum_{n=1}^\infty [/mm] ( [mm] \frac{1}{n^2} [/mm] - [mm] \frac{1}{(n+1)^2}) [/mm] =  [mm] \sum_{n=1}^\infty [/mm] ( 1 - [mm] \frac{1}{(n+1)^2})$ [/mm]

Für $n [mm] \to \infty$ [/mm] ergibt sich ein Reihenwert von $1$.

Ich hoffe, das stimmt im Großen und Ganzen. Für jegliche Hinweise, Korrekturen u.ä. bin ich wie immer sehr sehr dankbar :)

Beste Grüße,

K.

        
Bezug
Reihenwert, Methodik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:58 Fr 24.05.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> Zu berechnen ist der Reihenwert der folgenden Reihe:

>

> [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{n^2(n+1)^}[/mm]
> Ein weiteres Mal
> "Hallo!",

>

> es geht erneut um das Berechnen eines Reihenwertes.
> Ich hoffe dies durch folgende Umformungen erreichen zu
> können:

>

> [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2-n^2+2n+1}{n^2(n+1)^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)^2 -n^2}{n^2(n+1)^2} = \sum_{n=1}^\infty ( \frac{(n+1)^2}{n^2(n+1)^2} - \frac{n^2}{n^2(n+1)^2}) = \sum_{n=1}^\infty ( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2})[/mm]

>

> [Hier habe ich mir die Reihenglieder angesehen und bin zum
> Schluss gekommen, dass es sich um eine Teleskopsumme
> handeln müsste; am Ende bleibt "das erste und das letzte
> Glied" übrig]

>

> [mm]\sum_{n=1}^\infty ( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}) = \sum_{n=1}^\infty ( 1 - \frac{1}{(n+1)^2})[/mm]

>

> Für [mm]n \to \infty[/mm] ergibt sich ein Reihenwert von [mm]1[/mm].

>

> Ich hoffe, das stimmt im Großen und Ganzen. Für jegliche
> Hinweise, Korrekturen u.ä. bin ich wie immer sehr sehr
> dankbar :)

Es stimmt alles. Den letzten Schritt könnte man so schreiben:

[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)=1 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1}{n^2*(n+1)}=1 [/mm]


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Reihenwert, Methodik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:07 Fr 24.05.2013
Autor: fred97


> Zu berechnen ist der Reihenwert der folgenden Reihe:
>  
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{n^2(n+1)^}[/mm]
>  Ein weiteres Mal
> "Hallo!",
>  
> es geht erneut um das Berechnen eines Reihenwertes.
>  Ich hoffe dies durch folgende Umformungen erreichen zu
> können:
>  
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2-n^2+2n+1}{n^2(n+1)^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)^2 -n^2}{n^2(n+1)^2} = \sum_{n=1}^\infty ( \frac{(n+1)^2}{n^2(n+1)^2} - \frac{n^2}{n^2(n+1)^2}) = \sum_{n=1}^\infty ( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2})[/mm]
>  
> [Hier habe ich mir die Reihenglieder angesehen und bin zum
> Schluss gekommen, dass es sich um eine Teleskopsumme
> handeln müsste; am Ende bleibt "das erste und das letzte
> Glied" übrig]
>  
> [mm]\sum_{n=1}^\infty ( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}) = \sum_{n=1}^\infty ( 1 - \frac{1}{(n+1)^2})[/mm]
>  
> Für [mm]n \to \infty[/mm] ergibt sich ein Reihenwert von [mm]1[/mm].
>  
> Ich hoffe, das stimmt im Großen und Ganzen.

Ich muß Diophant widersprechen.

Du schreibst:

   [mm]\sum_{n=1}^\infty ( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}) = \sum_{n=1}^\infty ( 1 - \frac{1}{(n+1)^2})[/mm].

Das stimmt natürlich nicht. Richtig ist:

[mm]\sum_{n=1}^\infty ( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}) = \limes_{n\rightarrow\infty} ( 1 - \frac{1}{(n+1)^2})[/mm]

ich würde das ganze so aufschreiben:

Sei [mm] s_n:= \sum_{k=1}^n \frac{2k+1}{k^2(k+1)^2} [/mm]

Dann zeigt man:

     [mm] $s_n= [/mm] 1 - [mm] \frac{1}{(n+1)^2}$. [/mm]

Da [mm] (s_n) [/mm] gegen 1 konvergiert ist die Reihe  $ [mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} [/mm] $ konvergent und hat den Reihenwert 1.

FRED




> Für jegliche
> Hinweise, Korrekturen u.ä. bin ich wie immer sehr sehr
> dankbar :)
>  
> Beste Grüße,
>  
> K.


Bezug
                
Bezug
Reihenwert, Methodik: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:09 Fr 24.05.2013
Autor: Diophant

Hallo FRED,

> Ich muß Diophant widersprechen.

>

> Du schreibst:

>

> [mm]\sum_{n=1}^\infty ( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}) = \sum_{n=1}^\infty ( 1 - \frac{1}{(n+1)^2})[/mm].

>

> Das stimmt natürlich nicht. Richtig ist:

Au ja, das habe ich übersehen. Danke für die Korrektur!

Gruß, Diophant

Bezug
                        
Bezug
Reihenwert, Methodik: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:50 Fr 24.05.2013
Autor: Kartoffelchen

Danke euch beiden für die Korrektur! :-)

Bezug
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