Reihenwert einer Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Fr 05.04.2013 | | Autor: | MarcHe |
| Aufgabe | (3) Unter Verwendung geeigneter (und aus dem Kurs bekannter
Potenzreihenentwicklungen) entscheide man zunächst Konvergenz/
Divergenz der beiden angegebenen Zahlenreihen:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{k+1}*\bruch{1}{2^\bruch{k+1}{2}} [/mm]
Im Falle der Konvergenz bestimme man auch den Reihenwert. |
Wie kann ich den Reihenwert dieser Reihe bestimmen?
Ich hab obige Summenformel schon soweit umgeschrieben:
[mm] \wurzel{\bruch{1}{2}}*\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{k+1}*(\wurzel{\bruch{1}{2}})^k
[/mm]
Und auch schon mal die ersten Glieder aufgeschrieben:
[mm]1 + (-\bruch{1}{2}*\wurzel{\bruch{1}{2}})+(\bruch{1}{3}*\bruch{1}{2})+(-\bruch{1}{4}*\wurzel{\bruch{1}{2}}^3)+...[/mm]
Daran habe ich jetzt erkannt, dass darin die Harmonische Reihe mit alternierenden Vorzeichen und die geometrische Summe drin steckt, aber ich komme jetzt irgendwie nicht weiter. Könnt ihr mir da helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
zwei Vorschläge für dich:
1) Die Aufgabenstellung legt nahe, dass ihr schon einige Funktionen in Reihen entwickelt habt. Schau dir mal die ![[]](/images/popup.gif) Reihe des Logarithmus an.
2) Ein "Weg zu Fuß" (also wenn man die Reihe nicht kennt) geht so: Die Reihe hat grob folgende Struktur:
$f(x) = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}*x^{k+1}$.
[/mm]
Die Idee wäre, die Reihe als Funktion f(x) aufzufassen. Innerhalb des Konvergenzbereichs ist sie differenzierbar und man kann gliedweise ableiten:
$f'(x) = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}x^{k}$
[/mm]
Das ist "nur" noch eine geometrische Reihe, und die kannst du ausrechnen. Du kennst also f'(x), und kannst somit f(x) bestimmen. Zuletzt setzt du wieder für x den gewünschten Wert ein.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Sa 06.04.2013 | | Autor: | MarcHe |
Vielen Dank für deine Antwort. Habe es verstanden. Habe aber noch zwei Fragen:
1. Ich hatte die Reihe ja so schön umgeformt: $ [mm] \wurzel{\bruch{1}{2}}\cdot{}\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{k+1}\cdot{}(\wurzel{\bruch{1}{2}})^k [/mm] $
Dank deiner Hilfe habe ich rausgefunden, dass der Grenzwert der Reihe [mm] log(\wurzel{\bruch{1}{2}}+1)[/mm] ist. Wenn ich den Grenzwert noch mit [mm] \wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] mal nehme stimmt er aber nicht mehr. Wo ist da mein gedanklicher Fehler?
2. Der Weg über die Ableitung ergibt ja: [mm]f'(x) = \bruch{1}{1-x}[/mm] dies intergriert erhalte ich:
$-log(1-x)+b$.
Wie bestimmte ich jetzt in diesem Falle das [mm]b[/mm]?
Vielen Dank schonmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Sa 06.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für deine Antwort. Habe es verstanden. Habe
> aber noch zwei Fragen:
>
> 1. Ich hatte die Reihe ja so schön umgeformt:
> [mm]\wurzel{\bruch{1}{2}}\cdot{}\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{k+1}\cdot{}(\wurzel{\bruch{1}{2}})^k[/mm]
>
> Dank deiner Hilfe habe ich rausgefunden, dass der Grenzwert
> der Reihe [mm]log(\wurzel{\bruch{1}{2}}+1)[/mm] ist. Wenn ich den
> Grenzwert noch mit [mm]\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm] mal nehme stimmt
> er aber nicht mehr. Wo ist da mein gedanklicher Fehler?
>
> 2. Der Weg über die Ableitung ergibt ja: [mm]f'(x) = \bruch{1}{1-x}[/mm]
> dies intergriert erhalte ich:
> [mm]-log(1-x)+b[/mm].
> Wie bestimmte ich jetzt in diesem Falle das [mm]b[/mm]?
Es ist f(0)=0
FRED
>
> Vielen Dank schonmal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Sa 06.04.2013 | | Autor: | MarcHe |
MEinst du damit das: [mm] b = 0[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Sa 06.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> MEinst du damit das: [mm]b = 0[/mm]
ja
fred
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Sa 06.04.2013 | | Autor: | MarcHe |
Kam jetzt auf die Lösung, Danke.
Aber ist denn meine Umformung: $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{k+1}\cdot{}\bruch{1}{2^\bruch{k+1}{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{2}}\cdot{}\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{k+1}\cdot{}(\wurzel{\bruch{1}{2}})^k [/mm] $
Legitim?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Sa 06.04.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marc!
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{k+1}\cdot{}\bruch{1}{2^\bruch{k+1}{2}} = \wurzel{\bruch{1}{2}}\cdot{}\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{k+1}\cdot{}(\wurzel{\bruch{1}{2}})^k[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Das kann man so machen.
Gruß
Loddar
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