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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:31 So 27.08.2006 | | Autor: | Mueritz |
| Aufgabe | | Die Funktion [mm] f(x)=(a+1)*e^{-bx} [/mm] geht durch den Punkt P(1/2) und hat dort die Steigung -2e. Um welche Funktion handelt es sich? |
Guten Morgen,
ich weiß ungefähr wie ich die Aufgabe lösen kann. Doch ich habe in der Rechnung scheinbar einen Fehler drin, denn leider komme ich nicht so recht weiter. Also hier sind meine Ansätze:
Ableitung:
[mm] f'(x)=e^{-bx}*(a-ba+b)
[/mm]
Ansatz:
f(1)=2
f'(1)=-2e
Gleichungssystem:
1) [mm] 2=(a+1)*e^{-b}
[/mm]
2) [mm] -2e=e^{-b}*(a-ba-b)
[/mm]
Auflösen des Gleichungssystems:
aus 1) folgt: [mm] b=-ln\bruch{2}{a+1}, [/mm] bzw.:a= [mm] \bruch{2}{e^{-b}}-1
[/mm]
in 2): [mm] -2e=e^{ln\bruch{2}{a+1}}*(a+ln\bruch{2}{a+1}*a+ln\bruch{2}{a+1}) [/mm]
bzw.: [mm] -2e=e^{-b}*(\bruch{2}{e^{-b}}-1+\bruch{2}{e^{-b}}*b-2b)
[/mm]
ab hier komme ich nicht weiter. Ich weiß, dass ich die letzten Gleichungen entweder nach a oder nach b umstellen muss, doch ich bekomme es nicht hin. ich würde mich über jeden Tipp freuen.
Vielen Dank für die Hilfe schon im vorraus
Müritz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 So 27.08.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo Mueritz,
Dein Ansatz ist schon okay, aber es hat sich ein Fehler in die Ableitung eingeschlichen.
Diese sollte sein:
$$ [mm] f^{'} [/mm] (x) = -b [mm] \cdot [/mm] (a+1) [mm] \cdot \rm{e}^{-bx} [/mm] $$.
Daraus bekomme ich dann die Gleichungen
$$ 2 = (a+1) [mm] \exp{-b} [/mm] $$ und
$$ [mm] -2{\rm{e}} [/mm] = -b [mm] \cdot [/mm] (a+1) [mm] \rm{e}^{-b} [/mm] $$
Teile doch einfach die zweite Gleichung durch die erste, dann kommst Du auf b = e und dann ist a auch nicht mehr schwer auszurechnen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:16 So 27.08.2006 | | Autor: | Mueritz |
Vielen Dank für die schnelle Hilfe!!!
ich habe für die Funktionsgleichung jetzt [mm] f(x)=\bruch{2}{e^{-e}}*e^{-ex} [/mm] heraus.
Gruß Müritz
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