Rekurrenz einer Markov-Kette < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] ($Z_{n})$ [/mm] ist eine zeitlich homogene Markov-Kette auf [mm] $\IN_{0}$. [/mm] Es gilt [mm] $P(Z_{n}=0|Z_{0}=0) \geq \prod \limits_{j=0}^{n-1} A(a_{j}(0))$. [/mm] Somit ist [mm] $(Z_{n})$ [/mm] rekurrent, wenn [mm] $\sum \limits_{n} \prod \limits_{j=0}^{n-1} A(a_{j}(0))$ divergiert.\\
[/mm]
Für die Funktionen $A,a$ gelten folgende [mm] Eigenschaften:\\
[/mm]
1. $A,a : [0,1] [mm] \leftarrow [0,1]$, stetig und monoton wachsend
2. $a'(1)=1, a''(1)=\sigma^{2}$
3. $a(s) > s$ auf $[0,1)$
4. $A'(1)=\alpha$
Ich versuche gerade einen Beweis nachzuvollziehen und bin auf die oben genannte Stelle gestoßen. Ich bin mir nicht sicher ob ich richtig verstehe weshalb die Markov-Kette rekurrent ist, wenn die Reihe divergiert.
Rekurrenz bedeutet ja hier, dass der Zustand 0 mit Wahrscheinlichkeit 1 unendlich oft erreicht wird. In dem die Summe $\sum \limits_{n} P(Z_{n}=0|Z_{0}=0)$ gebildet wird, gucken wir uns also an ob das für unendlich viele Zeitpunkte n mit Wahrscheinlichkeit $>0$ passiert. Wenn dann also die Reihe rechts des Ungleichheitszeichen divergiert, geht auch die Summe links gegen unendlich, womit gezeigt wäre, dass die Kette für unendlich viele Zeitpunkte zum Zustand 0 zurückkehrt.
Macht das so Sinn? In Teil b des Satzes gilt die Ungleichheit nämlich andersrum und dann wird daraus gefolgert, dass die Konvergenz der rechten Summe die Transienz voon $Z_{n}$ zur Folge hat. Müsste ich dafür aber den Grenzwert nicht explizit kennen und wissen, dass dieser $<1$ ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
EDIT: Ich habe die Lösung gefunden, es handelt sich einfach um ein Kriterium für die Rekurrenz/ Divergenz diskreter Markov-Ketten. Konnte die Frage hier leider nicht als beantwortet markieren, hat sich aber erledigt.[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 20.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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