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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Madabaa |
| Aufgabe | Stellen Sie für den Ausdruck
[mm] y_{n}= \integral_{0}^{1}{\bruch{x^n}{x+5} dx}
[/mm]
eine Rekursionsformel auf
(Hinweis: Berechnen Sie dazu den Term [mm] y_{n}+5y_{n-1}. [/mm]
Berechnen Sie mit der Rekursionsformel (beginnend mit [mm] y_{0})
[/mm]
Werte für aufsteigendes n.
Ab welchem Wert von n werden die Ergebnisse so ungenau, dass keine
gültige Stelle mehr verbleibt?
Was ist die Ursache der starken Fehlerfortpflanzung?
Wie kann man diesen Fehlereffekt durch Umstellen
der Formel vermeiden und (z.B.) [mm] y_{30} [/mm] sehr genau berechnen? |
Hallo,
Rekursionsformel :
[mm] y_{n}= \integral_{0}^{1}{\bruch{x^n}{x+5} dx}
[/mm]
[mm] y_{n-1}= \integral_{0}^{1}{\bruch{x^{n-1}}{x+5} dx}
[/mm]
[mm] y_{n}+5y_{n-1}= \integral_{0}^{1}{\bruch{x^n}{x+5}+5\bruch{x^{n-1}}{x+5} dx}
[/mm]
.......
= [mm] y_{n}+5y_{n-1}= \bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow y_{n}+5y_{n-1}= \bruch{1}{n}
[/mm]
Auflösen nach [mm] y_{n}, [/mm] somit die Rekursionsformel:
[mm] y_{n}=\bruch{1}{n}-5y_{n-1}
[/mm]
Startwert [mm] y_{0}= \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x+5} dx}
[/mm]
= ln 6 - ln 5
Ich hoffe das es soweit richtig ist.
Aber bei der Frage wie man diese Formel umstellen soll um den Fehlereffekt zu vermeiden,da bin ich mir unsicher.
Ich habe die Formel nach [mm] y_{n-1} [/mm] umgeformt:
[mm] y_{n-1}=\bruch{1}{5n}-\bruch{y_{n}}{5}
[/mm]
Somit habe ich doch eine Rückwärtsrekursion?
Wie berechne ich hier den Anfangswert?
Gruß
Madabaa
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Mi 13.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Stellen Sie für den Ausdruck
> [mm]y_{n}= \integral_{0}^{1}{\bruch{x^n}{x+5} dx}[/mm]
>
> eine Rekursionsformel auf
> (Hinweis: Berechnen Sie dazu den Term [mm]y_{n}+5y_{n-1}.[/mm]
> Berechnen Sie mit der Rekursionsformel (beginnend mit
> [mm]y_{0})[/mm]
> Werte für aufsteigendes n.
> Ab welchem Wert von n werden die Ergebnisse so ungenau,
> dass keine
> gültige Stelle mehr verbleibt?
> Was ist die Ursache der starken Fehlerfortpflanzung?
> Wie kann man diesen Fehlereffekt durch Umstellen
> der Formel vermeiden und (z.B.) [mm]y_{30}[/mm] sehr genau
> berechnen?
> Hallo,
>
> Rekursionsformel :
>
> [mm]y_{n}= \integral_{0}^{1}{\bruch{x^n}{x+5} dx}[/mm]
> [mm]y_{n-1}= \integral_{0}^{1}{\bruch{x^{n-1}}{x+5} dx}[/mm]
>
> [mm]y_{n}+5y_{n-1}= \integral_{0}^{1}{\bruch{x^n}{x+5}+5\bruch{x^{n-1}}{x+5} dx}[/mm]
>
> .......
> = [mm]y_{n}+5y_{n-1}= \bruch{1}{n}[/mm]
>
> [mm]%5CRightarrow%20%20y_%7Bn%7D%2B5y_%7Bn-1%7D%3D%20%5Cbruch%7B1%7D%7Bn%7D[/mm]
> Auflösen nach
> [mm]y_{n},[/mm] somit die Rekursionsformel:
> [mm]y_{n}=\bruch{1}{n}-5y_{n-1}[/mm]
> Startwert [mm]y_{0}= \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x+5} dx}[/mm]
> =
> ln 6 - ln 5
> Ich hoffe das es soweit richtig ist.
>
> Aber bei der Frage wie man diese Formel umstellen soll um
> den Fehlereffekt zu vermeiden,da bin ich mir unsicher.
>
> Ich habe die Formel nach [mm]y_{n-1}[/mm] umgeformt:
> [mm]y_{n-1}=\bruch{1}{5n}-\bruch{y_{n}}{5}[/mm]
> Somit habe ich doch eine Rückwärtsrekursion?
>
> Wie berechne ich hier den Anfangswert?
>
> Gruß
> Madabaa
Hallo,
den kannst du mit einer Näherung schätzen. Die zu intergrierende Kurve liegt so etwa bei [mm] $\frac{x^n}{5}$ [/mm] bis [mm] $\frac{x^n}{6}$.
[/mm]
Der dabei gemachte Fehler verringert sich von Stufe zu Stufe.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Madabaa |
Hallo abakus,
was meinst du genau mit der zu intergrierenden Kurve?
Was ich nicht verstehe ist was haben die [mm] \frac{x^n}{5} [/mm] und [mm] \frac{x^n}{6} [/mm] jetzt genau zu bedeuten?
Gruß madabaa
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Mi 13.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo abakus,
>
> was meinst du genau mit der zu intergrierenden Kurve?
>
> Was ich nicht verstehe ist was haben die [mm]\frac{x^n}{5}[/mm] und
> [mm]\frac{x^n}{6}[/mm] jetzt genau zu bedeuten?
>
> Gruß madabaa
Dein zu berechnendes Integral beschreibt den Flächeninhalt unter der Kurve [mm]\frac{x^n}{x+5}[/mm] im Intervall von 0 bis 1.
Für einen Startwert benötigst du einen geigneten (und vor allem einfach zu bestimmenden) Näherungswert dieses Flächeninhalts.
Da du dich im Interval von 0 bis 1 bewegst, läuft dein Zähler von [mm]0^n[/mm] bis [mm]1^n[/mm]. Zwischen diesen beiden Werten liegen Welten (relativ betrachtet)!
Der Nenner x+5 wandert dagegen nur von 5 bis 6 und ändert sich damit während dieses Verlaufs um maximal 20% seines Wertes.
Ich empfinde es demzufolge als eine angemessene Näherung, wenn ich den Nenner bei konstant 5 (oder bei konstant 6) belasse und nur den Zähler im Original behalte.
Ein Bruch wie [mm]\frac{x^n}{5}[/mm] lässt sich elementar integrieren und liefert dabei einen leicht verfügbaren und recht guten Näherungswert für das gesuchte Integral.
Gruß Abakus
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