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| Aufgabe | (i) Mit Hilfe der Abschnittsrekursion zeige man, dass es genau eine Familie [mm] x\in\IN_0^{\IN_0} [/mm] mit den folgenden Eigenschaften gibt:
(I) [mm] x_0=0 [/mm] (II) [mm] x_1=1 [/mm] (III) [mm] x_{n+2}= x_n [/mm] + [mm] x_{n+1} [/mm] für jedes [mm] n\in\IN
[/mm]
(ii) Mit vollständiger Induktion beweise man, dass für die gemäß (i) definierte Familie x mit der Abkürzung [mm] w:=\wurzel{5} [/mm] gilt:
[mm] x_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{w} (\bruch{1+w}{2})^n [/mm] - [mm] \bruch{1}{w} (\bruch{1-w}{2})^n [/mm] |
Hallo!
Kann mir jemand mit der Aufgabe weiterhelfen?
Meine Idee:
(i) da hab ich überhaupt keine Ahnung, was ich da machen muss
(ii) Beweis: durch Induktion: für n=k
k=0
0=0= [mm] \bruch{1}{w} [/mm] - [mm] \bruch{1}{w} [/mm] = [mm] \bruch{1}{w} (\bruch{1+w}{2})^0 [/mm] - [mm] \bruch{1}{w} (\bruch{1-w}{2})^0
[/mm]
k=1
1=1= [mm] \bruch{w}{2w} [/mm] + [mm] \bruch{w}{2w} [/mm] = [mm] \bruch{1}{w} (\bruch{1+w}{2})^1 [/mm] - [mm] \bruch{1}{w} (\bruch{1-w}{2})^1
[/mm]
n= k+1
[mm] x_{k+1}= x_{k-1} [/mm] + [mm] x_k
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{w} (\bruch{1+w}{2})^{k-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{w} (\bruch{1-w}{2})^{k-1}+\bruch{1}{w} (\bruch{1+w}{2})^k [/mm] - [mm] \bruch{1}{w} (\bruch{1-w}{2})^k
[/mm]
=
=
=
=
=
= [mm] \bruch{1}{w} (\bruch{1+w}{2})^{k+1} -\bruch{1}{w} (\bruch{1+w}{2})^{k+1} [/mm]
Nur wie komme ich auf das Ergebnis? (also wie sind die Zwischenschritte?) Hat jemand eine Ahnung, wie ich da ran gehen muss?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://matheplanet.com
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 27.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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