Rekursiv definierte Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:14 Mo 01.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Sei $\ [mm] (x_n)_{n \in \IN} [/mm] $ eine Folge reeller Zahlen mit
$\ [mm] x_0 [/mm] = 0 $ und $\ [mm] x_{n+1}=\frac{(x_n)^2}{4} [/mm] + 1 $
Zeigen Sie, dass $\ [mm] (x_n)_{n \in \IN} [/mm] $ konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.
Hinweis. Zeigen Sie zunächst, dass $\ [mm] x_n \in [/mm] [0,2] $ für alle $\ n [mm] \in \IN$ [/mm] |
Hallo,
ich habe irgendwie Schwierigkeiten mit Folgen, die rekursiv definiert sind.
Ich habe Schwierigkeiten zu zeigen, ob sie konvergieren, was ihre Grenzwerte sind, ob sie beschränkt sind oder nicht usw. Also das volle Programm.
Die obige Aufgabe ist eine solche.
Ich weiß, dass der Hinweis ganz gut mit vollst. Induktion über $\ n $ zu machen ist und das daraus folgt, dass die Folge beschränkt ist.
Aber wie zeige ich
a) dass die Folge konvergiert ?
b) was ihr Grenzwert ist ?
Wäre die Folge nicht rekursiv definiert, so hätte ich es ganz einfach das $\ [mm] \varepsilon$-Kriterium [/mm] zur Hand genommen und hätte möglicherweise beide Fragen auf einmal beantworten können.
Aber was hier?
Ich komme mir blöd dabei vor, das zu Fragen, doch gibt es für rekursiv definierte Folgen so etwas wie ein "Rezept"?
Freue mich über Hilfe!
Gruß
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:25 Mo 01.03.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]\ (x_n)_{n \in \IN}[/mm] eine Folge reeller Zahlen mit
>
> [mm]\ x_0 = 0[/mm] und [mm]\ x_{n+1}=\frac{(x_n)^2}{4} + 1[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass [mm]\ (x_n)_{n \in \IN}[/mm] konvergiert und
> bestimmen Sie den Grenzwert.
> Hinweis. Zeigen Sie zunächst, dass [mm]\ x_n \in [0,2][/mm] für
> alle [mm]\ n \in \IN[/mm]
Sei $f : [0, 2] [mm] \to \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto \frac{x^2}{4} [/mm] + 1$. Dann gilt [mm] $x_{n+1} [/mm] = [mm] f(x_n)$.
[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe irgendwie Schwierigkeiten mit Folgen, die rekursiv
> definiert sind.
> Ich habe Schwierigkeiten zu zeigen, ob sie konvergieren,
> was ihre Grenzwerte sind, ob sie beschränkt sind oder
> nicht usw. Also das volle Programm.
>
> Die obige Aufgabe ist eine solche.
>
> Ich weiß, dass der Hinweis ganz gut mit vollst. Induktion
> über [mm]\ n[/mm] zu machen ist und das daraus folgt, dass die
> Folge beschränkt ist.
Genau.
> Aber wie zeige ich
>
> a) dass die Folge konvergiert ?
Solche rekursiven Folgen sind meist monoton oder alternierend (um etwas was gegen den Grenzwert konvergiert).
In diesem Fall kann man schnell zeigen, dass fuer $x [mm] \in [/mm] [0, 2)$ gilt $f(x) > x$, und fuer $x = 2$ gilt $f(x) = x$. Die Folge ist also streng monoton steigend.
Da sie beschraenkt ist, muss sie also konvergieren.
> b) was ihr Grenzwert ist ?
Fuer den Grenzwert [mm] $x_\infty$ [/mm] gilt [mm] $f(x_\infty) [/mm] = [mm] x_\infty$ [/mm] (das siehst du wenn du [mm] $x_\infty [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} x_n$ [/mm] schreibst und dies einsetzt: dann ist [mm] $f(x_\infty) [/mm] = [mm] f(\lim_{n\to\infty} x_n) \overset{\text{stetig}}{=} \lim_{n\to\infty} f(x_n) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} x_{n+1} [/mm] = [mm] x_\infty$).
[/mm]
Also schau mal, fuer welche $x [mm] \in [/mm] [0, 2]$ gilt $f(x) = x$. Du wirst sehen, es gibt nur eine Moeglichkeit. Damit muss diese der Grenzwert sein.
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:58 Mo 01.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Morgen Felix,
> Moin!
>
> > Sei [mm]\ (x_n)_{n \in \IN}[/mm] eine Folge reeller Zahlen mit
> >
> > [mm]\ x_0 = 0[/mm] und [mm]\ x_{n+1}=\frac{(x_n)^2}{4} + 1[/mm]
> >
> > Zeigen Sie, dass [mm]\ (x_n)_{n \in \IN}[/mm] konvergiert und
> > bestimmen Sie den Grenzwert.
> > Hinweis. Zeigen Sie zunächst, dass [mm]\ x_n \in [0,2][/mm] für
> > alle [mm]\ n \in \IN[/mm]
>
> Sei [mm]f : [0, 2] \to \IR[/mm], [mm]x \mapsto \frac{x^2}{4} + 1[/mm]. Dann
> gilt [mm]x_{n+1} = f(x_n)[/mm].
Das verstehe ich (noch) nicht so ganz.
Man schreibt die Folge als die von dir definierte Funktion, das leuchtet erstmal ein.
Aber wieso ist das Bild $\ [mm] f(x_n) [/mm] = [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{x^2}{4} [/mm] + 1 $ ?
Das würde ja bedeuten, dass
$\ f: [mm] \begin{cases} [0, 2] \to \IR \\ x_n \mapsto x_{n+1} \end{cases}$
[/mm]
doch ich erkenne leider nicht, wie man auf die Funktionsvorschrift kommt bzw. wie man das "rausliest" aus der oben definierten Folge.
Dadurch, dass ich die Folge als $\ f(x) $ behandle, geht doch irgendwie die Eindeutigkeit der Folge, die durch die Glieder $\ [mm] a_n [/mm] $ und $\ [mm] a_{n+1}$ [/mm] enstehen, verloren, oder nicht? Ich hoffe ich habe mich nicht zu ungeschickt ausgedrueckt 
>
> > Hallo,
> >
> > ich habe irgendwie Schwierigkeiten mit Folgen, die rekursiv
> > definiert sind.
> > Ich habe Schwierigkeiten zu zeigen, ob sie
> konvergieren,
> > was ihre Grenzwerte sind, ob sie beschränkt sind oder
> > nicht usw. Also das volle Programm.
> >
> > Die obige Aufgabe ist eine solche.
> >
> > Ich weiß, dass der Hinweis ganz gut mit vollst. Induktion
> > über [mm]\ n[/mm] zu machen ist und das daraus folgt, dass die
> > Folge beschränkt ist.
>
> Genau.
>
> > Aber wie zeige ich
> >
> > a) dass die Folge konvergiert ?
>
> Solche rekursiven Folgen sind meist monoton oder
> alternierend (um etwas was gegen den Grenzwert
> konvergiert).
Ok.
>
> In diesem Fall kann man schnell zeigen, dass fuer [mm]x \in [0, 2)[/mm]
> gilt [mm]f(x) > x[/mm], und fuer [mm]x = 2[/mm] gilt [mm]f(x) = x[/mm]. Die Folge ist
> also streng monoton steigend.
>
> Da sie beschraenkt ist, muss sie also konvergieren.
>
> > b) was ihr Grenzwert ist ?
>
> Fuer den Grenzwert [mm]x_\infty[/mm] gilt [mm]f(x_\infty) = x_\infty[/mm]
> (das siehst du wenn du [mm]x_\infty = \lim_{n\to\infty} x_n[/mm]
> schreibst und dies einsetzt: dann ist [mm]f(x_\infty) = f(\lim_{n\to\infty} x_n) \overset{\text{stetig}}{=} \lim_{n\to\infty} f(x_n) = \lim_{n\to\infty} x_{n+1} = x_\infty[/mm]).
>
> Also schau mal, fuer welche [mm]x \in [0, 2][/mm] gilt [mm]f(x) = x[/mm]. Du
> wirst sehen, es gibt nur eine Moeglichkeit. Damit muss
> diese der Grenzwert sein.
Das habe ich dann soweit alles verstanden ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Vielen Dank für deine zügige und hilfreiche Antwort!
>
> LG Felix
>
Viele Grüße
ChopSuey
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Sei [mm]\ (x_n)_{n \in \IN}[/mm] eine Folge reeller Zahlen mit
[mm]\ x_0 = 0[/mm] und [mm]\ x_{n+1}=\frac{(x_n)^2}{4} + 1[/mm]
Sei [mm]f : [0, 2] \to \IR[/mm], [mm]x \mapsto \frac{x^2}{4} + 1[/mm]. Dann
gilt [mm]x_{n+1} = f(x_n)[/mm].
>
> Das verstehe ich (noch) nicht so ganz.
> Man schreibt die Folge als die von dir definierte
> Funktion, das leuchtet erstmal ein.
>
> Aber wieso ist das Bild [mm]\ f(x_n) = x_{n+1} = \frac{x^2}{4} + 1[/mm]
> ?
Da du die Funktion auch rekursiv definierst. Du willst nämlich alles so vorbereiten, sodass erst recht
$ [mm] f(x_\infty) [/mm] = [mm] f(\lim_{n\to\infty} x_n) \overset{\text{stetig}}{=} \lim_{n\to\infty} f(x_n) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} x_{n+1} [/mm] = [mm] x_\infty [/mm] $
gilt.
Hier nutzt man aus, dass bei rekursiven Folgen der Grenzwert der einzelnen Teilfolgen gleich ist. Was man eigentlich immer bei rekursiven Folgen betrachtet.
Vielleicht wird es so ohne die Funktion deutliche, wenn [mm] $\lim_{n\to\infty} x_{n+1} [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} x_{n}$, [/mm] also wenn ein Grenzwert a einer Folge [mm] x_n [/mm] existiert, dann konvergiert jede Teilfolge gegen a. Die eine Teilfolge heißt [mm] x_n, [/mm] die andere [mm] x_{n+1}
[/mm]
Jetzt hättest du alles gegeben. Setze die Folge ein. Nimm dir einen Grenzwert und nutzt die Eindeutigkeit es Grenzwertes aus.
Es sollte eine quadratische Gleichung mit einer Lösung rauskommen.
[edit] Da es hier ja egal ist ob eine Frage reserviert ist oder nicht, kann ich auch noch den Rest posten. Es ist ja nicht immer gut, wenn man alles gleich da stehen hat.:
[mm] $\lim_{n\to\infty} \frac{x_{n}^2}{4} [/mm] + 1 = [mm] \lim_{n\to\infty} x_{n}
[/mm]
Wenn jetzt [mm] $\lim_{n\to\infty} x_{n+1} [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} x_{n}=a$ [/mm] ist, da der Grenzwert exisiert, dann musst du nur noch
$a = [mm] \frac{a^2}{4} [/mm] + 1$ lösen.
Also bei rekursiven Folgen ist der Grenzwert der einzelnen Teilfolgen gleich.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:50 Mo 01.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Rezept:
Berechne einige Folgenglieder: [mm] x_0 [/mm] =0< 1 [mm] =x_1 [/mm] < 5/4 = [mm] x_2.
[/mm]
Da legt die Vermutung nahe: [mm] (x_n) [/mm] ist wachsend.
Beweis dieser Vermutung: mach das mal mit Induktion
Wenn eine wachsende [mm] (x_n) [/mm] Folge konvergiert , so ist ihr GW = sup { [mm] x_n [/mm] : n [mm] \in \IN [/mm] }
Wir tun jetzt mal so, als wüssten wir schon, dass [mm] (x_n) [/mm] konv. Sei a ihr Limes.
Aus $ \ [mm] x_{n+1}=\frac{(x_n)^2}{4} [/mm] + 1 $ folgt mit n [mm] \to \infty: [/mm] $ \ [mm] a=\frac{a^2}{4} [/mm] + 1 $, also a =2
Weitere Vermutung: [mm] (x_n) [/mm] ist durch 2 nach oben beschränkt.
Auch das beweist Du nun induktiv.
Alles obige hast Du auf Schmierzettel geschrieben. Für eine fertige Lösung machst Du folgendes:
1. Zeige [mm] (x_n) [/mm] ist monoton wachsend.
2. Zeige [mm] (x_n) [/mm] ist durch 2 nach oben beschränkt
3. [mm] (x_n) [/mm] konv. gegen 2.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:09 Mo 01.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
vielen Dank an alle für die Antworten!
Werde ein paar weitere solcher Aufgaben versuchen zu Lösen.
Grüße
ChopSuey
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Mo 01.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
jetzt habe ich noch ein paar Fragen.
> Rezept:
>
> Berechne einige Folgenglieder: [mm]x_0[/mm] =0< 1 [mm]=x_1[/mm] < 5/4 = [mm]x_2.[/mm]
>
> Da legt die Vermutung nahe: [mm](x_n)[/mm] ist wachsend.
>
> Beweis dieser Vermutung: mach das mal mit Induktion
Wenn $\ [mm] x_n [/mm] $ monoton wachsend ist, gilt : $\ [mm] x_n \le x_{n+1} \gdw x_n [/mm] - [mm] x_{n+1} \le [/mm] 0 $ für alle $\ n [mm] \in \IN [/mm] $
Induktionsanfang: $\ n = 0 $
$\ [mm] x_0 [/mm] = 0 $
$\ 0 [mm] \le \frac{0}{4} [/mm] + 1 = 1 $ wahr für $\ n = 0 $
Sei $\ [mm] x_n [/mm] - [mm] x_{n+1} \le [/mm] 0 $ für ein belieb. $\ n [mm] \in \IN [/mm] $
Induktionsschritt: $\ n [mm] \to [/mm] n+1 $
z.z.g: $\ [mm] x_{n+1} [/mm] - [mm] x_{n+2} \le [/mm] 0 $
$\ [mm] \frac{(x_n)^2}{4} [/mm] +1 [mm] \le \frac{(x_{n+1})^2}{4} [/mm] +1 [mm] \gdw (x_n) \le (x_{n+1}) [/mm] $
wahr nach Induktionsvoraussetzung.
also ist $\ [mm] (x_n)_{n \in \IN} [/mm] $ monoton wachsend.
>
>
> Wenn eine wachsende [mm](x_n)[/mm] Folge konvergiert , so ist ihr GW
> $\ = sup [mm] \{ x_n : n \in \IN \} [/mm] $
>
> Wir tun jetzt mal so, als wüssten wir schon, dass [mm](x_n)[/mm]
> konv. Sei a ihr Limes.
>
> Aus [mm]\ x_{n+1}=\frac{(x_n)^2}{4} + 1[/mm] folgt mit n [mm]\to \infty:[/mm]
> [mm]\ a=\frac{a^2}{4} + 1 [/mm], also a =2
>
> Weitere Vermutung: [mm](x_n)[/mm] ist durch 2 nach oben
> beschränkt.
>
> Auch das beweist Du nun induktiv.
Zu zeigen gilt, dass $\ [mm] x_n \le [/mm] 2 $ für alle $\ n [mm] \in \IN [/mm] $
IA: $\ n = 0 $
$\ [mm] a_0 [/mm] = 0 [mm] \le [/mm] 2 $ wahr für $\ n = 0 $
Sei $\ [mm] x_n \le [/mm] 2 $ für belieb. $\ n [mm] \in \IN [/mm] $
IS: $\ n [mm] \to [/mm] n+1 $
z.z.g., dass $\ [mm] x_{n+1} \le [/mm] 2 $
$\ [mm] \frac{(x_n)^2}{4}+1 \le \frac{(2)^2}{4}+1 [/mm] = 2 [mm] \gdw x_n \le [/mm] 2 $, was nach IV wahr ist.
Da die Folge $\ [mm] x_n [/mm] $ a) monoton steigt und b) durch 2 nach oben beschränkt ist, konvergiert $\ [mm] x_n [/mm] $. Seh ich das richtig?
>
> Alles obige hast Du auf Schmierzettel geschrieben. Für
> eine fertige Lösung machst Du folgendes:
>
> 1. Zeige [mm](x_n)[/mm] ist monoton wachsend.
>
> 2. Zeige [mm](x_n)[/mm] ist durch 2 nach oben beschränkt
>
> 3. [mm](x_n)[/mm] konv. gegen 2.
Nach Felix' Antwort zu urteilen, lässt sich das zeigen, in dem man zeigt dass $\ 2 $ ein Fixpunkt von $\ f(x) = [mm] x_{n+1} [/mm] $ ist, oder?
> FRED
Danke
Gruß
ChopSuey
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:51 Di 02.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> jetzt habe ich noch ein paar Fragen.
>
> > Rezept:
> >
> > Berechne einige Folgenglieder: [mm]x_0[/mm] =0< 1 [mm]=x_1[/mm] < 5/4 = [mm]x_2.[/mm]
> >
> > Da legt die Vermutung nahe: [mm](x_n)[/mm] ist wachsend.
> >
> > Beweis dieser Vermutung: mach das mal mit Induktion
>
> Wenn [mm]\ x_n[/mm] monoton wachsend ist, gilt : [mm]\ x_n \le x_{n+1} \gdw x_n - x_{n+1} \le 0[/mm]
> für alle [mm]\ n \in \IN[/mm]
>
> Induktionsanfang: [mm]\ n = 0[/mm]
>
> [mm]\ x_0 = 0[/mm]
>
> [mm]\ 0 \le \frac{0}{4} + 1 = 1[/mm] wahr für [mm]\ n = 0[/mm]
>
> Sei [mm]\ x_n - x_{n+1} \le 0[/mm] für ein belieb. [mm]\ n \in \IN[/mm]
>
> Induktionsschritt: [mm]\ n \to n+1[/mm]
>
> z.z.g: [mm]\ x_{n+1} - x_{n+2} \le 0[/mm]
>
> [mm]\ \frac{(x_n)^2}{4} +1 \le \frac{(x_{n+1})^2}{4} +1 \gdw (x_n) \le (x_{n+1})[/mm]
>
> wahr nach Induktionsvoraussetzung.
>
> also ist [mm]\ (x_n)_{n \in \IN}[/mm] monoton wachsend.
>
> >
> >
> > Wenn eine wachsende [mm](x_n)[/mm] Folge konvergiert , so ist ihr GW
> > [mm]\ = sup \{ x_n : n \in \IN \}[/mm]
> >
> > Wir tun jetzt mal so, als wüssten wir schon, dass [mm](x_n)[/mm]
> > konv. Sei a ihr Limes.
> >
> > Aus [mm]\ x_{n+1}=\frac{(x_n)^2}{4} + 1[/mm] folgt mit n [mm]\to \infty:[/mm]
> > [mm]\ a=\frac{a^2}{4} + 1 [/mm], also a =2
> >
> > Weitere Vermutung: [mm](x_n)[/mm] ist durch 2 nach oben
> > beschränkt.
> >
> > Auch das beweist Du nun induktiv.
>
> Zu zeigen gilt, dass [mm]\ x_n \le 2[/mm] für alle [mm]\ n \in \IN[/mm]
>
> IA: [mm]\ n = 0[/mm]
>
> [mm]\ a_0 = 0 \le 2[/mm] wahr für [mm]\ n = 0[/mm]
>
> Sei [mm]\ x_n \le 2[/mm] für belieb. [mm]\ n \in \IN[/mm]
>
> IS: [mm]\ n \to n+1[/mm]
>
> z.z.g., dass [mm]\ x_{n+1} \le 2[/mm]
>
> [mm]\ \frac{(x_n)^2}{4}+1 \le \frac{(2)^2}{4}+1 = 2 \gdw x_n \le 2 [/mm],
> was nach IV wahr ist.
>
> Da die Folge [mm]\ x_n[/mm] a) monoton steigt und b) durch 2 nach
> oben beschränkt ist, konvergiert [mm]\ x_n [/mm]. Seh ich das
> richtig?
Ja
>
> >
> > Alles obige hast Du auf Schmierzettel geschrieben. Für
> > eine fertige Lösung machst Du folgendes:
> >
> > 1. Zeige [mm](x_n)[/mm] ist monoton wachsend.
> >
> > 2. Zeige [mm](x_n)[/mm] ist durch 2 nach oben beschränkt
> >
> > 3. [mm](x_n)[/mm] konv. gegen 2.
>
> Nach Felix' Antwort zu urteilen, lässt sich das zeigen, in
> dem man zeigt dass [mm]\ 2[/mm] ein Fixpunkt von [mm]\ f(x) = x_{n+1}[/mm]
> ist, oder?
So wie Felix f definiert hat gilt: a ist GW der Folge [mm] \gdw [/mm] f(a) =a
FRED
>
>
> > FRED
>
>
> Danke
> Gruß
> ChopSuey
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:00 Di 02.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Fred,
danke für die Antwort.
Noch eine letzte Frage:
Die Beweise durch vollst. Induktion jeweils waren richtig? Ich war mir damit nicht ganz sicher, würde mich aber freuen, wenn das soweit in Ordnung war/ist.
Gruß
ChopSuey
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:01 Di 02.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> danke für die Antwort.
>
> Noch eine letzte Frage:
> Die Beweise durch vollst. Induktion jeweils waren richtig?
> Ich war mir damit nicht ganz sicher, würde mich aber
> freuen, wenn das soweit in Ordnung war/ist.
Alles war in Ordnung
FRED
>
> Gruß
> ChopSuey
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:04 Di 02.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
herzlichen Dank!
Viele Grüße
ChopSuey
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