Rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:31 Sa 12.02.2011 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | Die Folge [mm] $(a_n)_n_\in_\IN_0$ [/mm] sei rekursiv definiert durch:
[mm] $a_0\in [/mm] [0,2]$ [mm] $a_n_+_1=\bruch{4(1+a_n)}{4+a_n}$
[/mm]
(a) Zeigen sie (zb. durch Induktion) die Ungleichung [mm] $0\le a_n \le [/mm] 2$
(b) Zeigen sie [mm] $a_n\le a_n_+_1$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN_0$
[/mm]
(c) Zeigen sie, dass die Folge konvergiert und bestimmen sie ihren Grenzwert. |
Hier mein Lösungen:
Zu a)
Beweis durch Induktion:
Zu zeigen: [mm] $a_n\ge [/mm] 0$
-------
NR:
[mm] $a_n_+_1\ge [/mm] 0$
[mm] $\gdw\bruch{4(1+a_n)}{4+a_n}\ge [/mm] 0$
[mm] $\gdw 4(1+a_n)\ge [/mm] 0$
[mm] $\gdw 1+a_n\ge [/mm] 0$
[mm] $\gdw a_n\ge [/mm] -1$
-------
Es gilt nach Definition: [mm] $0\le a_0\le2$
[/mm]
I-Anfang (n=1):$ [mm] a_n\ge 0\gdw a_0\ge [/mm] -1$ offensichtlich wahr.
I-Annahme: [mm] $a_n\ge [/mm] 0$ gilt für ein [mm] $n\in \IN_0$
[/mm]
I-Schluss: [mm] $a_n_+_1\ge [/mm] 0 [mm] \gdw a_n\ge [/mm] -1$
Nach IV erfüllt.
Damit gilt [mm] $a_n\ge [/mm] 0$ für alle [mm] $n\in \IN_0$
[/mm]
Der Induktionsbeweis ist hier vielleicht bisschen zu viel Arbeit, man hätte auch einfach argumentieren können, dass nur positive Elemente addiert/dividiert und damit muss der Term größer 0 sein.
Aber will ein bisschen den Ind.Beweis üben, deshalb mein versuch über Induktion.
2. Teil:
Zu zeigen: [mm] $a_n\le [/mm] 2$
-------
NR:
[mm] $a_n_+_1\le [/mm] 2$
[mm] $\gdw \bruch{4(1+a_n)}{4+a_n}\le [/mm] 2$
[mm] $\gdw 4+4a_n\le 8+2a_n$
[/mm]
[mm] $\gdw 2a_n\le [/mm] 4$
[mm] $\gdw a_n\le [/mm] 2$
-------
I-Anfang (n=1): [mm] $a_n\le 2\gdw a_0\le [/mm] 2$ Ist erfüllt.
I-Annahme: [mm] $a_n\le [/mm] 2$ gilt für ein [mm] $n\in\IN_0$
[/mm]
I-Schluss: [mm] $a_n_+_1\le [/mm] 2 [mm] \gdw a_n\le [/mm] 2$ Nach IV erfüllt.
Damit gilt [mm] $a_n\le [/mm] 2$ für alle [mm] $n\in\IN_0$
[/mm]
Zu b)
Zu zeigen: [mm] $a_n\le a_n_+_1$
[/mm]
-------
NR:
[mm] $a_n\le a_n_+_1$
[/mm]
[mm] $\gdw a_n_+_1 [/mm] - [mm] a_n \ge [/mm] 0$
[mm] $\gdw \bruch{4(1+a_n)}{4+a_n} -a_n \ge [/mm] 0$
[mm] $\gdw \bruch{4(1+a_n)}{4+a_n}-\bruch{a_n(4+a_n)}{4+a_n}\ge [/mm] 04
[mm] $\gdw \bruch{4+4a_n-4a_n-a_n^2}{4+a_n}\ge [/mm] 0$
[mm] $\gdw 4-a_n^2\ge [/mm] 0$
[mm] $\gdw a_n^2\le [/mm] 4$ (Hier eine Äqu.Umformung, da aus a folgt [mm] $a_n\ge [/mm] 0$)
[mm] $\gdw a_n\le [/mm] 2$
-------
I-Anfang: [mm] $a_0\le a_n \gdw a_0\le [/mm] 2$ Wahr
I-Annahme: [mm] $a_n\le a_n+1$ [/mm] gilt für ein [mm] $n\in\IN_0$
[/mm]
I-Schluss: [mm] $a_n_+_1\le a_n_+_1 \gdw a_n_+_1\le [/mm] 2$ Nach Teil a bereits bewiesen.
Somit gilt: [mm] $a_n\le a_n_+_1$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN_0$
[/mm]
War hier der Ind.Beweis richtig? Habe ja nicht meine IV benutzt.. hätte ich schon nach der NR sagen können, dass die Aussage gilt, weil in a) ja schon gezeigt wurde, dass [mm] $a_n\le [/mm] 2$ ?
zu c)
Da man gezeigt hat, dass die Folge monoton steigend und nach oben beschränkt ist, folgt aus dem Monotoniekriterium, dass sie auch konvergiert.
Es gilt:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n+1$
[/mm]
Also: $Hier mein Lösungen:
Zu a)
Beweis durch Induktion:
Zu zeigen: [mm] $a_n\ge [/mm] 0$
-------
NR:
[mm] $a_n_+_1\ge [/mm] 0$
[mm] $\gdw\bruch{4(1+a_n)}{4+a_n}\ge [/mm] 0$
[mm] $\gdw 4(1+a_n)\ge [/mm] 0$
[mm] $\gdw 1+a_n\ge [/mm] 0$
[mm] $\gdw a_n\ge [/mm] -1$
-------
Es gilt nach Definition: [mm] $0\le a_0\le2$
[/mm]
I-Anfang:$ [mm] a_n\ge 0\gdw a_0\ge [/mm] -1$ offensichtlich wahr.
I-Annahme: [mm] $a_n\ge [/mm] 0$ gilt für ein [mm] $n\in \IN_0$
[/mm]
I-Schluss: [mm] $a_n_+_1\ge [/mm] 0 [mm] \gdw a_n\ge [/mm] -1$
Nach IV erfüllt.
Damit gilt [mm] $a_n\ge [/mm] 0$ für alle [mm] $n\in \IN_0$
[/mm]
Der Induktionsbeweis ist hier vielleicht bisschen zu viel Arbeit, man hätte auch einfach argumentieren können, dass nur positive Elemente addiert/dividiert und damit muss der Term größer 0 sein.
Aber will ein bisschen den Ind.Beweis üben, deshalb mein versuch über Induktion.
2. Teil:
Zu zeigen: [mm] $a_n\le [/mm] 2$
-------
NR:
[mm] $a_n_+_1\le [/mm] 2$
[mm] $\gdw \bruch{4(1+a_n)}{4+a_n}\le [/mm] 2$
[mm] $\gdw 4+4a_n\le 8+2a_n$
[/mm]
[mm] $\gdw 2a_n\le [/mm] 4$
[mm] $\gdw a_n\le [/mm] 2$
-------
I-Anfang: [mm] $a_n\le 2\gdw a_0\le [/mm] 2$ Ist erfüllt.
I-Annahme: [mm] $a_n\le [/mm] 2$ gilt für ein [mm] $n\in\IN_0$
[/mm]
I-Schluss: [mm] $a_n_+_1\le [/mm] 2 [mm] \gdw a_n\le [/mm] 2$ Nach IV erfüllt.
Damit gilt [mm] $a_n\le [/mm] 2$ für alle [mm] $n\in\IN_0$
[/mm]
Zu b)
Zu zeigen: [mm] $a_n\le a_n_+_1$
[/mm]
-------
NR:
[mm] $a_n\le a_n_+_1$
[/mm]
[mm] $\gdw a_n_+_1 [/mm] - [mm] a_n \ge [/mm] 0$
[mm] $\gdw \bruch{4(1+a_n)}{4+a_n} -a_n \ge [/mm] 0$
[mm] $\gdw \bruch{4(1+a_n)}{4+a_n}-\bruch{a_n(4+a_n)}{4+a_n}\ge [/mm] 04
[mm] $\gdw \bruch{4+4a_n-4a_n-a_n^2}{4+a_n}\ge [/mm] 0$
[mm] $\gdw 4-a_n^2\ge [/mm] 0$
[mm] $\gdw a_n^2\le [/mm] 4$ (Hier eine Äqu.Umformung, da aus a folgt [mm] $a_n\ge [/mm] 0$)
[mm] $\gdw a_n\le [/mm] 2$
-------
I-Anfang: [mm] $a_0\le a_n \gdw a_0\le [/mm] 2$ Wahr
I-Annahme: [mm] $a_n\le a_n+1$ [/mm] gilt für ein [mm] $n\in\IN_0$
[/mm]
I-Schluss: [mm] $a_n_+_1\le a_n_+_1 \gdw a_n_+_1\le [/mm] 2$ Nach Teil a bereits bewiesen.
Somit gilt: [mm] $a_n\le a_n_+_1$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN_0$
[/mm]
War hier der Ind.Beweis richtig? Habe ja nicht meine IV benutzt.. hätte ich schon nach der NR sagen können, dass die Aussage gilt, weil in a) ja schon gezeigt wurde, dass [mm] $a_n\le [/mm] 2$ ?
zu c)
Da man gezeigt hat, dass die Folge monoton steigend und nach oben beschränkt ist, folgt aus dem Monotoniekriterium, dass sie auch konvergiert.
Es gilt:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n_+_1$ [/mm]
Also: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=$\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{4(1+a_n)}{4+a_n}$
[/mm]
Sei [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n:=x$
[/mm]
So gilt:
[mm] $x=\bruch{4+4x}{4+x}$
[/mm]
[mm] $\gdw 4x+x^2=4+4x$
[/mm]
[mm] $\gdw x^2=4$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] x=2$
Somit ist der Grenzwert von [mm] $(a_n)_{n\in\IN_0}$ [/mm] gleich 2.
Ich hoffe das war jetzt nicht zu viel...
Vielen Dank schonmal für eure Mühe!!!!
Gruß
|
|
| |
|
Hallo ndart,
zunächst einmal ein Hinweis, poste doch das nächste Mal nicht so viel in einem Thread - das ermuntert nicht gerade, alles durchzusehen. beginne z. B. mit einer Teilaufgabe.
> Die Folge [mm](a_n)_n_\in_\IN_0[/mm] sei rekursiv definiert durch:
>
> [mm]a_0\in [0,2][/mm] [mm]a_n_+_1=\bruch{4(1+a_n)}{4+a_n}[/mm]
>
> (a) Zeigen sie (zb. durch Induktion) die Ungleichung [mm]0\le a_n \le 2[/mm]
>
> (b) Zeigen sie [mm]a_n\le a_n_+_1[/mm] für alle [mm]n \in \IN_0[/mm]
>
> (c) Zeigen sie, dass die Folge konvergiert und bestimmen
> sie ihren Grenzwert.
> Hier mein Lösungen:
>
> Zu a)
>
> Beweis durch Induktion:
>
> Zu zeigen: [mm]a_n\ge 0[/mm]
> -------
> NR:
> [mm]a_n_+_1\ge 0[/mm]
>
> [mm]\gdw\bruch{4(1+a_n)}{4+a_n}\ge 0[/mm]
>
> [mm]\gdw 4(1+a_n)\ge 0[/mm]
Nur wahr, wenn [mm] a_n>-4, [/mm] das gilt aber wegen [mm] a_n\geq [/mm] 0 nach IV in deinem Induktionsschritt.
> [mm]\gdw 1+a_n\ge 0[/mm]
> [mm]\gdw a_n\ge -1[/mm]
>
> -------
>
> Es gilt nach Definition: [mm]0\le a_0\le2[/mm]
>
> I-Anfang (n=1):[mm] a_n\ge 0\gdw a_0\ge -1[/mm] offensichtlich
> wahr.
Was ist das denn für eine Äquivalenz?
> I-Annahme: [mm]a_n\ge 0[/mm] gilt für ein [mm]n\in \IN_0[/mm]
> I-Schluss:
> [mm]a_n_+_1\ge 0 \gdw a_n\ge -1[/mm]
dto.
> Nach IV erfüllt.
>
> Damit gilt [mm]a_n\ge 0[/mm] für alle [mm]n\in \IN_0[/mm]
>
> Der Induktionsbeweis ist hier vielleicht bisschen zu viel
> Arbeit, man hätte auch einfach argumentieren können, dass
> nur positive Elemente addiert/dividiert und damit muss der
> Term größer 0 sein.
Richtig
> Aber will ein bisschen den Ind.Beweis üben, deshalb mein
> versuch über Induktion.
>
> 2. Teil:
>
> Zu zeigen: [mm]a_n\le 2[/mm]
> -------
> NR:
>
> [mm]a_n_+_1\le 2[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{4(1+a_n)}{4+a_n}\le 2[/mm]
> [mm]\gdw 4+4a_n\le 8+2a_n[/mm]
>
> [mm]\gdw 2a_n\le 4[/mm]
> [mm]\gdw a_n\le 2[/mm]
> -------
> I-Anfang (n=1): [mm]a_0\le 2[/mm] Ist erfüllt.
IA für n=0!
> I-Annahme: [mm]a_n\le 2[/mm] gilt für ein [mm]n\in\IN_0[/mm]
> I-Schluss: [mm]a_n_+_1\le 2 \gdw a_n\le 2[/mm] Nach IV erfüllt.
(siehe deine NR)
>
> Damit gilt [mm]a_n\le 2[/mm] für alle [mm]n\in\IN_0[/mm]
Ok!
>
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Sa 12.02.2011 | | Autor: | nhard |
> Hallo ndart,
Vielen Dank für deine ausführliche/n Antwort/en, trotz des langen Posts!
> zunächst einmal ein Hinweis, poste doch das nächste Mal
> nicht so viel in einem Thread - das ermuntert nicht gerade,
> alles durchzusehen. beginne z. B. mit einer Teilaufgabe.
Okay, werde ich berücksichtigen ;)
> NR:
> > [mm]a_n_+_1\ge 0[/mm]
> >
> > [mm]\gdw\bruch{4(1+a_n)}{4+a_n}\ge 0[/mm]
> >
> > [mm]\gdw 4(1+a_n)\ge 0[/mm]
> Nur wahr, wenn [mm]a_n>-4,[/mm] das gilt aber
> wegen [mm]a_n\geq[/mm] 0 nach IV in deinem Induktionsschritt.
> > [mm]\gdw 1+a_n\ge 0[/mm]
> > [mm]\gdw a_n\ge -1[/mm]
>
> >
> > -------
> >
> > Es gilt nach Definition: [mm]0\le a_0\le2[/mm]
> >
> > I-Anfang (n=1):[mm] a_n\ge 0\gdw a_0\ge -1[/mm] offensichtlich
> > wahr.
> Was ist das denn für eine Äquivalenz?
Hm, ich hatte mir gedacht:
Ich zeige in der NR, dass [mm] $a_n_+_1\ge [/mm] 0 [mm] \gdw a_n\ge [/mm] -1$
(Hätte die NR aber erst nach meiner I-Annahme machen dürfen, damit meine 2. Äqu.Umformung wahr ist?)
Dann sage ich im I-Anfang:
[mm] $a_n\ge 0\gdw a_0\ge [/mm] -1$
Für diese Äqu. habe ich meine NR benutzt. Aber das hätte ich gar nicht tun dürfen? Oder es hätte heißen müssen [mm] $a_1\ge [/mm] 0 [mm] \gdw a_0\ge [/mm] -1$?
Kann ich auch einfach sagen:
I-Anfang (n=0): [mm] $a_0\ge [/mm] 0$ Wahr, da [mm] $a_0\in [/mm] [0,1]$
I-Annahme: Für ein [mm] $n\in\IN_0$ [/mm] gilt: [mm] $a_n\ge [/mm] 0$
(Jetzt könnte ich meine NR einfügen?)
> >
> I-Schluss:
> > [mm]a_n_+_1\ge 0 \gdw a_n\ge -1[/mm]
> dto.
Hier wollte ich dann (wieder) meine NR benutzen:
[mm] $a_n_+_1\ge [/mm] 0 [mm] \gdw a_n\ge [/mm] -1$ und jetzt meine IV einsetzen, nach der [mm] $-1\ge 0\ge a_n$ [/mm] ist.
Kann man das so nicht machen?
> > Nach IV erfüllt.
> >
> > Damit gilt [mm]a_n\ge 0[/mm] für alle [mm]n\in \IN_0[/mm]
> >
> >
> > 2. Teil:
> >
> > Zu zeigen: [mm]a_n\le 2[/mm]
> > -------
> > NR:
> >
> > [mm]a_n_+_1\le 2[/mm]
> > [mm]\gdw \bruch{4(1+a_n)}{4+a_n}\le 2[/mm]
> >
> [mm]\gdw 4+4a_n\le 8+2a_n[/mm]
> >
> > [mm]\gdw 2a_n\le 4[/mm]
> > [mm]\gdw a_n\le 2[/mm]
> > -------
> > I-Anfang (n=1): [mm]a_0\le 2[/mm] Ist erfüllt.
> IA für n=0!
Stimmt natürlich...
> > I-Annahme: [mm]a_n\le 2[/mm] gilt für ein [mm]n\in\IN_0[/mm]
> > I-Schluss: [mm]a_n_+_1\le 2 \gdw a_n\le 2[/mm] Nach IV
> erfüllt.
> (siehe deine NR)
Was genau meinst du damit? Jetzt erst die NR einsetzen?
Wollte hier nach dem gleichen Schema wie im ersten Teil verfahren.
> >
> > Damit gilt [mm]a_n\le 2[/mm] für alle [mm]n\in\IN_0[/mm]
> Ok!
> >
> Gruß
Nochmals Danke!!
nhard
|
|
|
| |
|
Hallo ndart,
>
> Hm, ich hatte mir gedacht:
> Ich zeige in der NR, dass [mm]a_n_+_1\ge 0 \gdw a_n\ge -1[/mm]
> (Hätte die NR aber erst nach meiner I-Annahme machen
> dürfen, damit meine 2. Äqu.Umformung wahr ist?)
> Dann sage ich im I-Anfang:
>
> [mm]a_n\ge 0\gdw a_0\ge -1[/mm]
> Für diese Äqu. habe ich meine NR
> benutzt. Aber das hätte ich gar nicht tun dürfen? Oder es
> hätte heißen müssen [mm]a_1\ge 0 \gdw a_0\ge -1[/mm]?
>
Das kannst du schon, aber du könntest deinen Induktionsbeweis besser strukturieren, wenn du tatsächlich mit dem IA beginnst. Dafür ist das einfachere Argument die Definition in der Aufgabenstellung: [mm] a_0\in[0,2]. [/mm]
> Kann ich auch einfach sagen:
>
> I-Anfang (n=0): [mm]a_0\ge 0[/mm] Wahr, da [mm]a_0\in [0,1][/mm]
> I-Annahme:
> Für ein [mm]n\in\IN_0[/mm] gilt: [mm]a_n\ge 0[/mm]
>
> (Jetzt könnte ich meine NR einfügen?)
Im Induktionsschritt
>
> > >
> > I-Schluss:
> > > [mm]a_n_+_1\ge 0 \gdw a_n\ge -1[/mm]
z.z. ist [mm] a_n\geq0 \Rightarrow a_{n+1}\geq [/mm] 0
> Hier wollte ich dann (wieder) meine NR benutzen:
Richtig, deine Nebenrechnung würde ich direkt im Induktionsschritt platzieren.
[mm] [\ldots]
[/mm]
> Was genau meinst du damit? Jetzt erst die NR einsetzen?
> Wollte hier nach dem gleichen Schema wie im ersten Teil
> verfahren.
Ja, die Nebenrechnung kannst du am besten erst im Induktionsschritt ausführen. Dann kann man den Beweis auch von oben nach unten lesen.
Gruß
|
|
|
| |
|
> Zu b)
>
> Zu zeigen: [mm]a_n\le a_n_+_1[/mm]
> -------
> NR:
>
> [mm]a_n\le a_n_+_1[/mm]
> [mm]\gdw a_n_+_1 - a_n \ge 0[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{4(1+a_n)}{4+a_n} -a_n \ge 0[/mm]
>
> [mm]$\gdw \bruch{4(1+a_n)}{4+a_n}-\bruch{a_n(4+a_n)}{4+a_n}\ge[/mm]
> 04
>
> [mm]\gdw \bruch{4+4a_n-4a_n-a_n^2}{4+a_n}\ge 0[/mm]
> [mm]\gdw 4-a_n^2\ge 0[/mm]
>
> [mm]\gdw a_n^2\le 4[/mm] (Hier eine Äqu.Umformung, da aus a folgt
> [mm]a_n\ge 0[/mm])
> [mm]\gdw a_n\le 2[/mm]
> -------
Ok. Ich würde es noch etwas strukturierter aufschreiben. Beginne mit [mm] 0\leq a_n\leq 2\Rightarrow\ldots [/mm] (also quasi von der Voraussetzung auf die Bhptg. schlussfolgern)
>
An dieser Stelle ist eine Induktion nicht nötig, denn für alle [mm] n\geq [/mm] 1 gilt ja die Rekursionsformel, die du oben verwendest hast
> I-Anfang: [mm]a_0\le a_n \gdw a_0\le 2[/mm] Wahr
> I-Annahme: [mm]a_n\le a_n+1[/mm] gilt für ein [mm]n\in\IN_0[/mm]
> I-Schluss: [mm]a_n_+_1\le a_n_+_1 \gdw a_n_+_1\le 2[/mm] Nach Teil
> a bereits bewiesen.
>
> Somit gilt: [mm]a_n\le a_n_+_1[/mm] für alle [mm]n\in\IN_0[/mm]
>
> War hier der Ind.Beweis richtig? Habe ja nicht meine IV
> benutzt.. hätte ich schon nach der NR sagen können, dass
> die Aussage gilt, weil in a) ja schon gezeigt wurde, dass
> [mm]a_n\le 2[/mm] ?
>Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 So 13.02.2011 | | Autor: | nhard |
Hallo, ich hoffe es wird jetzt nicht zu unübersichtlich aber würde gerne nochmal versuchen alles "strukturiert" aufzuschreiben, damit ich sehe ob ich es wirklich verstanden habe:
a) Zu zeigen: [mm] $a_n\ge [/mm] 0$
Induktionsbeweis:
I-Anfang: n=0 [mm] $a_0\ge [/mm] 0$ (nach Aufgabenstellung wahr)
I-Annahme: Für ein [mm] $n\in\IN_0$ [/mm] gilt [mm] $a_n\ge [/mm] 0$
I-Schluss:
[mm] $a_n_+_1\ge [/mm] 0$
[mm] $\gdw \bruch{4(1+a_n)}{4+a_n}\ge [/mm] 0$
[mm] $\gdw 4(1+a_n)\ge [/mm] 0$(Wenn [mm] $a_n\ge [/mm] -3$, durch IV erfüllt)
[mm] $\gdw 1+a_n\ge [/mm] 0$
[mm] $\gdw a_n\ge [/mm] -1$ (Durch IV gegeben)
Somit gilt [mm] $a_n\ge [/mm] 0$ für alle [mm] $n\in\IN_0$
[/mm]
-------------------
zu zeigen: [mm] $a_n\le [/mm] 2$
I-Anfang: n=0 [mm] $a_0\le [/mm] 2 (nach Aufgabenstellung wahr)
I-Annahme: [mm] $a_n\le [/mm] 2$ für ein [mm] $n\in\IN_0$
[/mm]
I-Schluss:
[mm] $a_n_+_1\le [/mm] 2$
[mm] $\gdw 4+4a_n\le 8+2a_n$
[/mm]
[mm] $\gdw a_n\le [/mm] 2$ (Nach IV wahr)
Somit gilt: [mm] $a_n\le [/mm] 2$ für alle [mm] $n\in\IN_0$
[/mm]
-------------------
b) Zu zeigen [mm] $a_n\le a_n_+_1$, [/mm] es gilt [mm] $a_n\ge [/mm] 0$
[mm] $0\le a_n\le [/mm] 2$ (Nach a) erfüllt)
[mm] $\gdw (a_n)^2\le [/mm] 4$
[mm] $\gdw 4a_n+(a_n)^2\le4+4a_n$
[/mm]
[mm] $\gdw a_n\le\bruch{4(1+a_n)}{4+a_n}$
[/mm]
[mm] $\gdw a_n\le a_n_+_1$
[/mm]
Somit gilt die Behauptung.
-------------------
War das jetzt so besser?
Hoffe irgendjemand hatt noch den nerv sich das anzugucken :-P
Vielen Dank dafür!!!!
Grüße nhard
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 So 13.02.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo, ich hoffe es wird jetzt nicht zu unübersichtlich
> aber würde gerne nochmal versuchen alles "strukturiert"
> aufzuschreiben, damit ich sehe ob ich es wirklich
> verstanden habe:
>
> a) Zu zeigen: [mm]a_n\ge 0[/mm]
>
> Induktionsbeweis:
>
> I-Anfang: n=0 [mm]a_0\ge 0[/mm] (nach Aufgabenstellung wahr)
> I-Annahme: Für ein [mm]n\in\IN_0[/mm] gilt [mm]a_n\ge 0[/mm]
> I-Schluss:
> [mm]a_n_+_1\ge 0[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{4(1+a_n)}{4+a_n}\ge 0[/mm]
>
> [mm]\gdw 4(1+a_n)\ge 0[/mm](Wenn [mm]a_n\ge -3[/mm], durch IV erfüllt)
> [mm]\gdw 1+a_n\ge 0[/mm]
> [mm]\gdw a_n\ge -1[/mm] (Durch IV gegeben)
>
> Somit gilt [mm]a_n\ge 0[/mm] für alle [mm]n\in\IN_0[/mm]
> -------------------
> zu zeigen: [mm]a_n\le 2[/mm]
>
> I-Anfang: n=0 [mm]$a_0\le[/mm] 2 (nach Aufgabenstellung wahr)
> I-Annahme: [mm]a_n\le 2[/mm] für ein [mm]n\in\IN_0[/mm]
> I-Schluss:
> [mm]a_n_+_1\le 2[/mm]
> [mm]\gdw 4+4a_n\le 8+2a_n[/mm]
>
> [mm]\gdw a_n\le 2[/mm] (Nach IV wahr)
> Somit gilt: [mm]a_n\le 2[/mm] für alle [mm]n\in\IN_0[/mm]
> -------------------
> b) Zu zeigen [mm]a_n\le a_n_+_1[/mm], es gilt [mm]a_n\ge 0[/mm]
>
> [mm]0\le a_n\le 2[/mm] (Nach a) erfüllt)
> [mm]\gdw (a_n)^2\le 4[/mm]
> [mm]\gdw 4a_n+(a_n)^2\le4+4a_n[/mm]
>
> [mm]\gdw a_n\le\bruch{4(1+a_n)}{4+a_n}[/mm]
>
> [mm]\gdw a_n\le a_n_+_1[/mm]
>
> Somit gilt die Behauptung.
> -------------------
>
> War das jetzt so besser?
> Hoffe irgendjemand hatt noch den nerv sich das anzugucken
> :-P
> Vielen Dank dafür!!!!
> Grüße nhard
Hallo,
die Aufgabe b) ist in Ordnung. Hättest du mit b) angefangen, hättest du dir den Induktionsbeweis von a) sparen konnen.
Aus b) folgt:
Die Folge [mm] (a_n) [/mm] ist monoton wachsend. Da bereits das Anfangsglied [mm] a_0 [/mm] nicht negativ ist, kann deshalb auch keines der nachfolgenden Glieder negativ werden.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 So 13.02.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo abakus,
> Hättest du mit b) angefangen, hättest du dir den Induktionsbeweis von a)
> sparen konnen.
> Aus b) folgt:
> Die Folge [mm](a_n)[/mm] ist monoton wachsend. Da bereits das
> Anfangsglied [mm]a_0[/mm] nicht negativ ist, kann deshalb auch
> keines der nachfolgenden Glieder negativ werden.
Das stimmt schon.
ndart verwendet für seinen Beweis für b) aber Teilaufgabe a)  . Und wenn er dann den Beweis dafür weglässt, dann liegt ein Ringbeweis vor, für den es keinen Einstieg gibt.
Also ist es schon richtig, dass ndart erst das, was er in b) verwendet, vorher beweist.
Gruß
|
|
|
| |
|
Nicht als Lösungshinweis gedacht. Nur als interessante Beobachtung.
Mit [mm]a_0 = t[/mm] gilt
[mm]a_n = 2 \cdot \frac{\left( 3^n + 1 \right) t + 2 \left( 3^n - 1 \right)}{\left( 3^n - 1 \right) t + 2 \left( 3^n + 1 \right)}[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:00 Sa 12.02.2011 | | Autor: | kamaleonti |
> Mit [mm]a_0 = t[/mm] gilt
>
> [mm]a_n = 2 \cdot \frac{\left( 3^n + 1 \right) t + 2 \left( 3^n - 1 \right)}{\left( 3^n - 1 \right) t + 2 \left( 3^n + 1 \right)}[/mm]
Dass das gilt, lässt sich sicherlich nachrechnen. Mich würde ganz knapp interessieren, wie du darauf kommst?
Gruß
|
|
|
| |
|
Die ersten paar Glieder mit einem CAS berechnen und das Muster ablesen. Probieren geht über Studieren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:09 Sa 12.02.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Ok, danke :D
hatte auf was besonderes gehofft
Gruß
|
|
|
| |
|
> zu c)
>
> Da man gezeigt hat, dass die Folge monoton steigend und
> nach oben beschränkt ist, folgt aus dem
> Monotoniekriterium, dass sie auch konvergiert.
Gut.
>
> Es gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n_+_1[/mm]
> Also:
> [mm]$\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=$\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{4(1+a_n)}{4+a_n}$[/mm]
> Sei [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n:=x[/mm]
> So gilt:
> [mm]x=\bruch{4+4x}{4+x}[/mm]
> [mm]\gdw 4x+x^2=4+4x[/mm]
> [mm]\gdw x^2=4[/mm]
> [mm]\gdw x=2[/mm]
> Somit ist der
> Grenzwert von [mm](a_n)_{n\in\IN_0}[/mm] gleich 2.
Da [mm] x\neq-4
[/mm]
Sonst ok
Gruß
|
|
|
|
