Rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 Sa 16.04.2011 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] ist rekursiv definiert durch:
[mm] a_{1} [/mm] := 1, [mm] a_{n+1} [/mm] := [mm] \bruch{a_{n}}{2+a_{n}}
[/mm]
Ich will die Folge auf Grenzwert untersuchen. |
Könnt Ihr mal schauen, ob ich alles korrekt gelöst hab?
1) Beschränktheit nachweisen.
[mm] a_{1}=1 [/mm] , [mm] a_{2}=\bruch{1}{3}, a_{3}=\bruch{3}{21}
[/mm]
Vermutung: Folge konvergiert gegen 0, Obere Schranke: 1 untere Schranke: 0.
Induktionsanfang:
n=1 => [mm] a_{1}=1
[/mm]
Induktionsvorraussetzung:
0 [mm] \le a_{n} \le [/mm] 1
Induktionsschritt:
n -> n+1
0 [mm] \le a_{n+1} \le [/mm] 1
0 [mm] \le \bruch{a_{n}}{2+a_{n}} \le [/mm] 1
Abschätzen:
0 [mm] \le \bruch{1}{2+0} \le [/mm] 1
0 [mm] \le \bruch{1}{2} [/mm] => untere Schranke ist 0
[mm] \bruch{1}{2+0} \le [/mm] 1 => obere Schranke ist 1
=> Die Folge ist beschränkt.
Monotonie:
Monoton fallend:
[mm] a_{n} \ge a_{n+1}
[/mm]
[mm] \bruch{a_{n}}{a_{n+1}} \ge [/mm] 1
[mm] \bruch{a_{n}}{\bruch{a_{n}}{2+a_{n}}} \ge [/mm] 1
[mm] \bruch{a_{n}(2+a_{n})}{a_{n}} \ge [/mm] 1
[mm] 2+a_{n} \ge [/mm] 1 => [mm] a_{n} [/mm] monoton fallend.
Grenzwert:
a = [mm] \bruch{a}{2+a}
[/mm]
a(2+a) = a
[mm] a^{2}+a [/mm] =0
a(a+1) =0
=> [mm] a_{1}=0 [/mm] , [mm] a_{2} [/mm] = -1
Durch die vorherige Untersuchung ist [mm] a_{n} \ge [/mm] 0 => Grenzwert: 0
Am Rande: Kenn Jemand diese Aufgabensammlung?
http://www.wittwer.de/index.php?ANZ=B%FCcher&SHW=Neuerscheinungen&GET=Wissenschaft%20Technik&TID=525&TSK=view
Oder kennt vielleich Jemand eine Aufgabensammlung, wo die Aufgaben gut erklärt werden?
Mfg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Sa 16.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
alles richtig nur solltest du [mm] a_n>a_{n+1} [/mm] statt [mm] \ge
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Sa 16.04.2011 | | Autor: | zoj |
Juhu :)
Wie sieht es mit den Übungsaufgaben aus?
Hast du dir evtl. auch mal eine Sammlung von Aufgaben gekauft?
Ich bräuchte ein Buch mit ausführlichen Lösungen,
vielleicht kannst du mir ein empfehlen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Sa 16.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
hier im forum gibts dazu ganz viele threads, die du mit der suchfunktion (oben rechts) finden kannst.ich hab eben in Hochschule analysis viele seiten unter dem Stichwort rekursive folgen gefunden. du kannst ja erst nur die Aufgabe lesen, selbst probieren und dann erst den thread mit den Hilfen.
ein buch speziell dazu kenn ich nicht, drum las ich deine frage offen.
hilfreich sind auch alte Übungsaufgaben zur Analysis 1 im Netz da gibts oft auch die Lösungen.
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:06 Sa 16.04.2011 | | Autor: | zoj |
OK, danke!
|
|
|
|
