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| Aufgabe | Geben Sie für die rekursiv gegebene Folge
[mm] a_{n}=a_{n-1}+9*10^{-n} [/mm] ; [mm] a_{0}=0 [/mm] ; [mm] n\ge1
[/mm]
eine (rekursionsfreie) Formel für die Werte [mm] a_{n}, n\ge0 [/mm]
Konvergiert diese Folge? Bestimmen
Sie gegebenenfalls den Grenzwert. |
So nun weiss ich hier leider keinen Ansatz, daher habe ich werte von 1-4 für n eingestzettz und erhalte folgendes:
[mm] a_{0}(1)= a_{0} [/mm] +0,9 = 0,9
[mm] a_{0}(2)= a_{1}+ [/mm] 0,09
[mm] a_{0}(3)= a_{2}+0,009
[/mm]
[mm] a_{0}(4)= a_{3}+0,0009
[/mm]
Jetzt bin ich mit meinem Latein am Ende, wie bestimme ich jetzt den Grenzwert und wie schreibe ich die Folge um, ich vermute die Folge konvergiert gegen = kann es aber nich bergründen brauche Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Di 27.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
> Geben Sie für die rekursiv gegebene Folge
>
> [mm]a_{n}=a_{n-1}+9*10^{-n}[/mm] ; [mm]a_{0}=0[/mm] ;
> [mm]n\ge1[/mm]
>
> eine (rekursionsfreie) Formel für die Werte [mm]a_{n}, n\ge0[/mm]
>
> Konvergiert diese Folge? Bestimmen
> Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
> So nun weiss ich hier leider keinen Ansatz, daher habe ich
> werte von 1-4 für n eingestzettz und erhalte folgendes:
>
> [mm]a_{0}(1)= a_{0}[/mm] +0,9 = 0,9
> [mm]a_{0}(2)= a_{1}+[/mm] 0,09
> [mm]a_{0}(3)= a_{2}+0,009[/mm]
> [mm]a_{0}(4)= a_{3}+0,0009[/mm]
Du solltest auch [mm] a_{n-1} [/mm] jeweils einsetzen.
Also:
[mm] a_{1}=0+0,9=0,9
[/mm]
[mm] a_{2}=0,9+0,09=0,99
[/mm]
[mm] a_{3}=0,99+0,009=0,999
[/mm]
>
>
> Jetzt bin ich mit meinem Latein am Ende, wie bestimme ich
> jetzt den Grenzwert und wie schreibe ich die Folge um, ich
> vermute die Folge konvergiert gegen = kann es aber nich
> bergründen brauche Hilfe!
Der Grenzwert ist doch jetzt quasi offensichtlich, welche Möglichkeiten, eine Folgenkonvergenz gegen einen (Vermuteten) Grenzwert zu zeigen, kennst du denn bisher?
Für die expilzite Folge mal folgendes:
[mm] a_{1}=0+0,9=0,9=1-0,1=1-10^{-1}
[/mm]
[mm] a_{2}=0,9+0,09=0,99=1-0,01=1-10^{-2}
[/mm]
[mm] a_{3}=0,99+0,009=0,999=1-0,001=1-10^{-3}
[/mm]
Jetzt bist du erstmal wieder dran.
Marius
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Ich hänge schon hoer, warum muss ich denn Du solltest auch [mm] a_{n-1} [/mm] $ jeweils einsetzen.
und woher weiss ich dann den Wert?
Die Folge Konvergertiert dann gegen 1.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Di 27.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Ich hänge schon hoer, warum muss ich denn Du solltest auch
> [mm]a_{n-1}[/mm] $ jeweils einsetzen.
> und woher weiss ich dann den Wert?
Aus der vorigen Rechung.
>
> Die Folge Konvergertiert dann gegen 1.
Ja, zeige das noch.
Marius
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Ok, dass habe ich jetzt verstanden, wie zeige ich das am besten, reicht es nicht aus das durch testeinsetzungen zu ziegen?
Etwa so irgendwie?
[mm] |a_{n-1}+9\cdot{}10^{-n} -1|\le\varepsilon
[/mm]
[mm] a_{n-1}+9\cdot{}10^{-n} +1\le\varepsilon[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Di 27.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ok, dass habe ich jetzt verstanden, wie zeige ich das am
> besten, reicht es nicht aus das durch testeinsetzungen zu
> ziegen?
>
>
> Etwa so irgendwie?
>
>
> [mm]|a_{n-1}+9\cdot{}10^{-n} -1|\le\varepsilon[/mm]
>
> [mm]a_{n-1}+9\cdot{}10^{-n} +1\le\varepsilon[/mm]
"irgendwie" schon, aber da brauchst du ja [mm] a_{n-1}
[/mm]
also warum nicht gleich [mm] a_n [/mm] einseten, nachdem du weisst wie es explizit heisst? dann kannst du doch [mm] n(\epsilon) [/mm] bestimmen
Gruss leduart
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das versthe ich jetzt nicht so ganz:
[mm] a_{n} +1\le\varepsilon
[/mm]
und wonach soll ich jetzt auflösen, bin damit nicht wirklich vertraut, kann mir jemand mal einfach (für dumme) :-D das weitere vorgehen schildern?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Di 27.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. schreib [mm] a_n [/mm] konkret auf! [mm] a_n=.....
[/mm]
dann [mm] |a_n-1| [/mm] dann überlege, wie groß muss n sein wenn [mm] \epsilon=10^{-17} [/mm] ist damit [mm] |a_n-1|<10^{-17} [/mm] .
Dann allgemeiner einfach wann ist [mm] |a_n-1|<\epsilon? [/mm] für ein beliebiges [mm] \epsilon
[/mm]
wie kommst du von [mm] |a_n-1|<\epsilon [/mm] auf [mm] a_n+1<\epsilon? [/mm] das ist sicher falsch! denn [mm] a_n+1\approx [/mm] 2!
Gruss leduart
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ich komme auf +1 weil es im Betrag steht, aber das scheint ja falsch zu sein :(
ok.
also
[mm] a_{n-1}+9\cdot{}10^{-n}\le\varepsilon
[/mm]
so nun muss ich doch nach n auflösen oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Di 27.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Warum springst du immer wieder auf die rekursive Folge zurück?
Bekannt ist:
[mm] a_{n}=1-10^{-n}
[/mm]
Der (vermutete) Grenzwert ist 1.
Zeige nun, dass es zu jedem [mm] n\in\IN [/mm] ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt, so dass:
[mm] |1-a_{n}|<\varepsilon
[/mm]
Marius
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Ok, und hier taucht mein Prob auf :(
[mm] |1-a_{n}|<\varepsilon [/mm]
Betrag auflösen:
[mm] 1-a_{n}<\varepsilon [/mm]
[mm] a_{n}<-\varepsilon [/mm] +1
und nun was sagt mir das?
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Hallo,
es ist doch [mm]|a_n-1|=\left|1-10^{-n}-1\right|=10^{-n}=\frac{1}{10^n}[/mm]
Und das soll [mm]<\varepsilon[/mm] sein (für dein bel. vorgegebenes (und dann festes) [mm]\varepsilon>0[/mm]).
Die Ungleichung [mm]\frac{1}{10^n}<\varepsilon[/mm] kannst du doch wohl locker nach [mm]n[/mm] auflösen, um das gesuchte [mm]n(\varepsilon)[/mm] abzugreifen ... ?!
Gruß
schachuzipus
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Ich Glaube ich bin heute nur noch dumm...
also:
[mm] \frac{1}{10^n}<\varepsilon
[/mm]
[mm] 1<\varepsilon*10^n
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\varepsilon}<10^n
[/mm]
[mm] ln\bruch{1}{\varepsilon}
Ich weiss es ist beschähmend aber ich komme nicht weiter ;( bin total verwierrt mittlerweile, kann mir einer das Ding nach n auflösen ich schaffs gerade echt nicht weiss der Geier warum :(
Und wenn ich n dann habe was kann ich dann sagen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Di 27.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
Du hast, korrekterweise:
$ [mm] \bruch{1}{\varepsilon}<10^n [/mm] $
Nun bietet sich der [mm] \lg [/mm] an, also der dekadische Logarithmus, denn [mm] \lg=\log_{10}
[/mm]
$ [mm] \bruch{1}{\varepsilon}<10^n [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow n>\lg\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)$
[/mm]
Damit hast du gezeigt, dass es zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] n\in\IN [/mm] gibt, ab dem alle Folgenwerte in der [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] um den Grenzwert 1 liegen.
Schau dir dazu unbedingt nochmal die Grundlagen der Folgen an, diese sind auf ![[]](/images/popup.gif) mathesite.de gut erklärt.
Marius
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nochmal eine Saudumme Frage :( woher weiss ich, dass [mm] a_{n}=1-10^{-n} [/mm] ist?
Ausgangslage:
[mm] a_{n}=a_{n-1}+9*10^{-n}
[/mm]
Und der Grenzwert ist 1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:55 Mi 28.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
> nochmal eine Saudumme Frage :( woher weiss ich, dass
> [mm]a_{n}=1-10^{-n}[/mm] ist?
Durch scharfes Hinschauen nach dem Ausrechnen der ersten Folgenglieder.
>
> Ausgangslage:
>
> [mm]a_{n}=a_{n-1}+9*10^{-n}[/mm]
>
> Und der Grenzwert ist 1
Ja, das hatten wir ja schon.
Marius
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Vielen lieben Dank an alle die mir geholfen haben!!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Di 27.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Geben Sie für die rekursiv gegebene Folge
>
> [mm]a_{n}=a_{n-1}+9*10^{-n}[/mm] ; [mm]a_{0}=0[/mm] ;
> [mm]n\ge1[/mm]
>
> eine (rekursionsfreie) Formel für die Werte [mm]a_{n}, n\ge0[/mm]
>
> Konvergiert diese Folge? Bestimmen
> Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
> So nun weiss ich hier leider keinen Ansatz, daher habe ich
> werte von 1-4 für n eingestzettz und erhalte folgendes:
>
> [mm]a_{0}(1)= a_{0}[/mm] +0,9 = 0,9
> [mm]a_{0}(2)= a_{1}+[/mm] 0,09
> [mm]a_{0}(3)= a_{2}+0,009[/mm]
> [mm]a_{0}(4)= a_{3}+0,0009[/mm]
Notation!!
[mm] $$a(1)=a_{0}+0,9 [/mm] = 0,9$$
oder
[mm] $$a_1=a_{0}+0,9 [/mm] = 0,9$$
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etc.
NICHT [mm] $a_{\red{0}}(k)$ [/mm] schreiben!
> Jetzt bin ich mit meinem Latein am Ende, wie bestimme ich
> jetzt den Grenzwert und wie schreibe ich die Folge um, ich
> vermute die Folge konvergiert gegen =
Gegen =? Meintest Du 0? Das ist falsch!
> kann es aber nich
> bergründen brauche Hilfe!
Du kannst z.B. (induktiv) zeigen:
[mm] $$a_n=9*\sum_{k=1}^n 10^{-k}\,,$$
[/mm]
der Rest folgt dann mit der geometrischen Reihe (oder mit der geom. Summenformel).
Aber ein anderer Weg wurde ja auch schon vorgeschlagen.
Ansonsten:
Mit
[mm] $$a_0=0,$$
[/mm]
[mm] $$a_1=0,9$$
[/mm]
[mm] $$a_2=0,99$$
[/mm]
[mm] $$a_3=0,999$$
[/mm]
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läge doch die Vermutung nahe
[mm] $$\lim_{n \to \infty}a_n=0,\overline{9}\,.$$
[/mm]
Und wie kann man [mm] $0,\overline{9}$ [/mm] noch schreiben? Das wäre dann die Vermutung für den Grenzwert. Wie man dann zeigen kann, dass das auch tatsächlich der Grenzwert ist, kannst Du dann der anderen Antwort entnehmen.
Gruß,
Marcel
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