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Rekursive Folge - Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:47 Do 01.11.2007
Autor: abi2007LK

Hallo,

auf unserem Übungsblatt ist folgende Aufgabe zu finden:

Berechnen Sie die ersten fünf Glieder der rekursiv definierten Folge. Finden und beweisen Sie dann eine explizite Darstellung für diese.

Folge:

[mm] a_{1}=2,\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; a_{n+1}=\frac{1}{3}\sum_{j=1}^{n}{a_{j}} [/mm]

Gut - die ersten fünf Glieder sind:

2/3, 8/9, 32/27, 128/81 und 512/249

Die explizite Darstellung, die ich gefunden habe:

[mm] \frac{4^{n}}{\frac{2}{3^{n}}} [/mm]

Nun soll ich das beweisen. Mein Ziel ist:

[mm] \frac{2\; \cdot \; \left( \frac{4}{3} \right)^{n}}{3} [/mm]

Also:

[mm] \frac{1}{3}\sum_{j=1}^{n+1}{a_{j}}=\; \frac{1}{3}\sum_{j=1}^{n}{a_{j}}+a_{n+1}\; [/mm]

Nun kann ich ja den ersten Summanden der rechten Seite ersetzen durch [mm] a_{n+1} [/mm] - dies ergibt:

[mm] a_{n+1}+a_{n+1}\; =\; 2\left( a_{n+1} \right)\; =\; 2\left( \frac{4^{n}}{\frac{2}{3^{n}}} \right)\; =\; \left( \frac{4}{3} \right)^{n} [/mm]

Nicht ganz, das, was ich zeigen wollte. Hilfe. :(

        
Bezug
Rekursive Folge - Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:57 Do 01.11.2007
Autor: Memorius

Hallo!

Sieht so aus als hätten wir die selben Aufgaben zu bewältigen. ;)

Deine Folge ist nicht so ganz richtig.

Schau mal hier:

https://matheraum.de/read?t=314366&v=t#i314875

Da wurde diese Aufgabe bereits vorgerechnet.

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