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Rekursive Folgen - Verständnis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:11 Sa 24.11.2007
Autor: acquainted

Aufgabe
Untersuchen Sie die durch:

[mm]x_0 = \bruch{3}{2}, \qquad x_{n+1} = \bruch{3}{4-x_n} \qquad n\ge 0[/mm]

rekursiv definierte Folge auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert

Hallo,

ich habe große Probleme die Beschränktheit mittels Induktion zu beweisen da ich keine Ahnung habe
welche Werte ich wo einsetzen muss. Kann mir bitte jemand zeigen (Am besten Schritt für Schritt)
was ich als Induktionsbasis, Induktionsvorraussetzung, Induktionsbehauptung und Induktionschritt einsetzen muss und vorallem warum?

Eine Folge ist konvergent wenn sie monoton und beschränkt ist. Also muss ich beides zeigen.

Beschränktheit:

Ich rechne die ersten Folgeglieder aus:

[mm]x_1 = \bruch{6}{5} \qquad x_2= \bruch{15}{14}[/mm]

Meine Annahme ist also das die Folge streng monoton fallend ist?

Die Beschränktheit zeige ich generell indem ich [mm] 0 \le x_n \le 1[/mm] zeige?

Wie geht es nun weiter?

Schonmal Danke & mfg

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Rekursive Folgen - Verständnis: Beschränktheit
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:49 So 25.11.2007
Autor: Loddar

Hallo acqainted!



> Ich rechne die ersten Folgeglieder aus:
>  
> [mm]x_1 = \bruch{6}{5} \qquad x_2= \bruch{15}{14}[/mm]

[ok]

  
> Meine Annahme ist also das die Folge streng monoton fallend ist?

[ok]

  
> Die Beschränktheit zeige ich generell indem ich [mm]0 \le x_n \le 1[/mm]
> zeige?

[notok] Das wäre ja bereits für die Folgenglieder [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] widerlegt.

In diesem Falle kannst Du z.B. zeigen: $1 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] x_n [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{3}{2}$ [/mm] .

Oder Du macht es dir einfacher, indem Du zeigst $0 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] x_n [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 2$ .

Für [mm] $x_0$ [/mm] ist das erfüllt. Also jeweils der Induktionsbeginn erbracht.

Nun jeweils eine Induktion durchführen, in welcher zu zeigen ist: [mm] $x_{n+1} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ :

[mm] $$x_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{4-\red{x_n}} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \bruch{3}{4-\red{1}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{3} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 1$$

Nun ähnlich zeigen, dass gilt: [mm] $x_{n+1} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{3}{2}$ [/mm] .


Gruß
Loddar

Bezug
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