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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Nyx |
| Aufgabe 1 | | R = [mm] $\{$(a,b) | a−b ist durch 2 teilbar$\}$ [/mm] ist eine Äquivalenzrelation. |
| Aufgabe 2 | | R = [mm] $\{$(a,b) | a teilt b oder b teilt a$\}$ [/mm] ist transitiv. |
| Aufgabe 3 | | R = [mm] $\{$(a,b) | a teilt b$\}$ [/mm] ist symmetrisch. |
| Aufgabe 4 | | R = [mm] $\{$(a,b) | a $\ge$ 5 und b $\ge$ 5$\}$ [/mm] ist reflexiv. |
Hallo Leute,
hab nen relativ großes Problem....
ich bekomme das mit den Relationen einfach nicht hin....weiß nicht einmal wie ich die Aufgaben am besten angehen kann geschweige denn wie ich dies dann auflöse....
ist noch alles ziemlich neu für mich mit den Relationen...und bevor ich da schon den Anschluss verliere, hab ich jetzt diese Übungsaufgaben bei den man bestimmen muss ob die Aussage wahr oder falsch ist..
Danke schonmal im Vorraus...
mfg Nyx
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Nyx,
> R = [mm]\{[/mm](a,b) | a−b ist durch 2 teilbar[mm]\}[/mm] ist eine
> Äquivalenzrelation.
> R = [mm]\{[/mm](a,b) | a teilt b oder b teilt a[mm]\}[/mm] ist transitiv.
> R = [mm]\{[/mm](a,b) | a teilt b[mm]\}[/mm] ist symmetrisch.
> R = [mm]\{[/mm](a,b) | a [mm]\ge[/mm] 5 und b [mm]\ge[/mm] 5[mm]\}[/mm] ist reflexiv.
> Hallo Leute,
>
> hab nen relativ großes Problem....
> ich bekomme das mit den Relationen einfach nicht
> hin....weiß nicht einmal wie ich die Aufgaben am besten
> angehen kann geschweige denn wie ich dies dann auflöse....
>
> ist noch alles ziemlich neu für mich mit den
> Relationen...und bevor ich da schon den Anschluss verliere,
> hab ich jetzt diese Übungsaufgaben bei den man bestimmen
> muss ob die Aussage wahr oder falsch ist..
Gehen wir's mal für die erste an: (Ich setze mal stillschweigend voraus, dass die Relationen über [mm] $\IZ$ [/mm] betrachtet werden?!)
Was bedeutet "Äquivalenzrelation"?
Dass die Relation $R$ (1) reflexiv, (2) symmetrisch und (3) transitiv ist.
Das gilt es einfach stur nachzurechnen:
Wie die Elemente in R aussehen, ist ja durch die Definition von R beschrieben, es stehen zwei Elemente in Relation zueinander (also $aRb$ oder auch [mm] $(a,b)\in [/mm] R$) genau dann, wenn [mm] $2\mid [/mm] (a-b)$
(1) Ist für alle [mm] $a\in\IZ$ [/mm] denn [mm] $(a,a)\in [/mm] R$? Ist a-a durch 2 teilbar? Offenbar ja, denn a-a=0 und [mm] $2\mid [/mm] 0$
(2) Ist für beliebiges [mm] $(a,b)\in [/mm] R$ auch [mm] $(b,a)\in [/mm] R$?
Sei also [mm] $(a,b)\in [/mm] R [mm] \gdw 2\mid [/mm] (a-b)$
Gilt dann auch [mm] $2\mid [/mm] (b-a)$? Ist also [mm] $(b,a)\in [/mm] R$?
(3) Transitivität: Folgt aus [mm] $(a,b)\in R\wedge(b,c)\in [/mm] R$, dass auch [mm] $(a,c)\in [/mm] R$?
Mit [mm] $(a,b)\in R\wedge(b,c)\in [/mm] R$ gilt [mm] $2\mid (a-b)\wedge 2\mid [/mm] (b-c)$
Benutze die Definition der Teilbarkeit, um den Rest zu beweisen: [mm] $2\mid (a-b)\Rightarrow \exists k\in\IZ:2\cdot{}k=a-b [/mm] ...$
Um die Relationen 1-3 zu verarzten, musst du also eigentlich nur ein paar Überlegungen zur Teilbarkeit ganzer Zahlen anstellen, insbesondere die dritte ist doch schnell abgehakt ...
Obige Überlegung (insbesondere zur ersten) gilt erstmal nur, wenn die Relation(en) über [mm] $\IZ$ [/mm] betrachtet wird, also [mm] $R\subset\IZ\times\IZ$
[/mm]
Auch bei der letzten Relation hängt es natürlich von der Menge ab, über der die Relation betrachtet wird, das hast du leider nirgends dazu geschrieben.
Über [mm] $\IZ$ [/mm] ist die letzte Relation sicher nicht reflexiv, denke dir ein Gegenbsp. aus ...
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> Danke schonmal im Vorraus...
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> mfg Nyx
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Nyx |
Danke für die schnelle Antwort...is soweit ja alles schlüssig für mich außer $ [mm] 2\mid [/mm] (a-b) $.....wie kommst du darauf??
das ist das einzige was ich jetzt nicht verstehe...
mfg Nyx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:47 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für die schnelle Antwort...is soweit ja alles
> schlüssig für mich außer [mm]2\mid (a-b) [/mm].....wie kommst du
> darauf??
na, $2 [mm] \mid [/mm] (a-b)$ ist nur eine andere Schreibweise dafür, dass [mm] $\black{a}-b$ [/mm] durch [mm] $\black{2}$ [/mm] teilbar ist.
$2 [mm] \mid [/mm] (a-b)$ heißt doch nichts anderes, als dass die [mm] $\black{2}$ [/mm] ein Teiler von [mm] $\black{a}-b$ [/mm] ist. Oder man sagt für $2 [mm] \mid [/mm] (a-b)$ auch:
[mm] $\bullet$ "($\black{a}-b$) [/mm] ist ein Vielfaches der [mm] $\black{2}$"
[/mm]
[mm] $\bullet$ "($\black{a}-b$) [/mm] ist durch [mm] $\black{2}$ [/mm] teilbar"
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(Allgemein: siehe ![[]](/images/popup.gif) Wiki, formale Definition der Teilbarkeit).
Gruß,
Marcel
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