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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 So 30.10.2011 | | Autor: | quasimo |
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> Ist die folgende Relation auf [mm]\IR,[/mm]
> aRb <=> [mm]a^4 \le b^4[/mm]
> eine Ordnungsrelation?
> Ordnungsrelation hat doch folgende eigenschaften:
> 1Reflexiv
> 2transitiv
> 3antisymetrisch
>
> 1) a R a
> [mm]a^4 \le a^4[/mm]
> stimmt ja da [mm]a^4[/mm] = [mm]a^4[/mm]
>
> 3)
> a Rb
> bR a so ist a=b
>
> [mm]a^4 \le b^4[/mm]
> [mm]b^4 \le a^4[/mm]
> Wie soll ich das zeigen? dass a
> =b
Wenn du es nicht zeigen kannst, könnte das auch daran liegen, dass die Aussage gar nicht allgemein gilt. Setze für a und b probewise ein paar Zahlen ein und mache dir klar, was die Bedingung bedeutet.
Wenn R nicht antisymmetrisch ist, brauchst du ein Gegenbeispiel (d.h. a und b mit [mm] a\ne [/mm] b und aRb sowie bRa), um zu zeigen, dass die gegebene Relation keine Ordnungsrelation ist.
>
> 2)
> a R b
> b R c
> a R c
>
> [mm]a^4 \le b^4[/mm]
> [mm]b^4 \le c^4[/mm]
> [mm]a^4\le c^4[/mm]
>
> da [mm]a^4 \le b^4 \le c^4[/mm]
> so folgt [mm]a^4\le c^4[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 So 30.10.2011 | | Autor: | quasimo |
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Hallo quasimo,
> Ich verstehe schpn was damit gemeint ist, aber meiner Frage
> ist, wie ich das korrekt mathematisch beweisen soll.
>
> [mm]a^4 \le b^4[/mm]
> [mm]b^4 \le a^4[/mm]
>
> wenn a= 1 und b =2
> 1 [mm]\le[/mm] 16
> 16 [mm]\le[/mm] 1 falsche aussage
>
> wenn a=b=2
> 16 [mm]\le[/mm] 16
> 16 [mm]\le[/mm] 16
>
> Aber wie zeige ich dass mathematisch korrekt?
> Für reflexiv und transitiv stimmen meiner Erklärungen?
Du musst [mm]a,b\in\IR[/mm] finden mit [mm]a^4\le b^4[/mm] und [mm]b^4\le a^4[/mm], wo aber nicht gilt [mm]a=b[/mm]
Schaue nochmal auf deinen 2.Versuch und ändere mal [mm]b[/mm] minimal ab.
Es ist [mm](-x)^4=x^4[/mm] ...
Ah, jetzt habe ich zuviel gesagt ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 So 30.10.2011 | | Autor: | quasimo |
a= -1
b = 1
so gilt:
1 [mm] \le [/mm] 1
[mm] 1\le [/mm] 1
aber a [mm] \not= [/mm] b
1)also ist es nicht antisymmetrisch?
2) Ist es dann keine Ordnungsrelation???
ABER ich hab aber im Internet gefunden
Die Vergleichsrelationen ≤ und ≥ sind ¨uber N,Z,Q und R reflexiv, transitv und antisymmetrisch.
3)Stimmen die Erklärungen zu reflexiv und transitiv?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 So 30.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast es ungeschickt auf geschreiben, da sollte stehen [mm] (-1)^4\le 1^4 [/mm] usw.
Dein Aber versteh ich nicht , da geht es doch nicht um [mm] a^4, b^4
[/mm]
deine 2 anderen Teile sind richtig, aber unwichtig, da ja eine eigenschaft nicht stimmt!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 So 30.10.2011 | | Autor: | quasimo |
>du hast es ungeschickt auf geschreiben, da sollte stehen $ [mm] (-1)^4\le 1^4 [/mm] $ usw.
aber in grund genommen heißt das
1 [mm] \le [/mm] 1 was ja stimm in beide Richtungen obwohl [mm] a\not=b
[/mm]
Aber überall (im Internet, iin meinen Arbeitsbuch) steht: "Das bskannteste Beispiel für eine Ordnungsrelation ist die Beziehng [mm] \le [/mm] auf den reellen Zahlen."
Aber in unserem Beispiel handelt es sich doch um keine Ordnungsrelation oder?
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Hallo nochmal,
> >du hast es ungeschickt auf geschreiben, da sollte stehen
> [mm](-1)^4\le 1^4[/mm] usw.
> aber in grund genommen heißt das
> 1 [mm]\le[/mm] 1 was ja stimm in beide Richtungen obwohl [mm]a\not=b[/mm]
>
> Aber überall (im Internet, iin meinen Arbeitsbuch) steht:
> "Das bskannteste Beispiel für eine Ordnungsrelation ist
> die Beziehng [mm]\le[/mm] auf den reellen Zahlen."
Ja, hier hast du aber nicht [mm] $a\sim b\gdw a\le [/mm] b$, sondern [mm] $a\sim b\gdw a^4\le b^4$
[/mm]
>
> Aber in unserem Beispiel handelt es sich doch um keine
> Ordnungsrelation oder?
Ja, das ist keine Ordnungsrelation, es gilt die Antisymmetrie ja hier nicht!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 So 30.10.2011 | | Autor: | quasimo |
Achso, dann ist es keine Ordnungsrelation
wäre nRm <=> [mm] n^3 \le m^3
[/mm]
so wäre es aber eine Ordnungsrelation auf die [mm] \IR?
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Achso, dann ist es keine Ordnungsrelation ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> wäre nRm <=> [mm]n^3 \le m^3[/mm]
> so wäre es aber eine
> Ordnungsrelation auf die [mm]\IR?[/mm]
Ja!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 So 30.10.2011 | | Autor: | quasimo |
Noch eine Frage ;)
n R M <=> [mm] n^3 \le m^3
[/mm]
wäre eine Ordnungsrelation auf [mm] \IR
[/mm]
aber auch auf [mm] \IZ [/mm] oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 So 30.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo quasimo,
> n R M <=> [mm]n^3 \le m^3[/mm]
> wäre eine Ordnungsrelation auf
> [mm]\IR[/mm]
> aber auch auf [mm]\IZ[/mm] oder?
Ja.
Übrigens gilt [mm] $n^3\le m^3\gdw n\le [/mm] m$. Es handelt sich also bei deiner Ordnungsrelation um die gewöhnliche Ordnungsrelation auf [mm] $\IR$ [/mm] bzw. [mm] $\IZ$!
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 So 30.10.2011 | | Autor: | quasimo |
Und wie zeige ich das, deine aussage gilt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 So 30.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Und wie zeige ich das, deine aussage gilt?
Die Funktion [mm] $f\colon\IR\to\IR, f(x)=x^3$ [/mm] ist streng monoton wachsend. Daher gilt [mm] $n\le m\gdw f(n)\le f(m)\gdw n^3\le m^3$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 So 30.10.2011 | | Autor: | quasimo |
warum folgst aus dem [mm] n^3 \le m^3 [/mm] ?
der Graph ist str monoton wachsend. Aber dann ist doch die Definition
[mm] x_1 [/mm] < [mm] x_2 [/mm] so ist [mm] f(x_1) [/mm] < f [mm] (x_2)
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 So 30.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
> warum folgst aus dem [mm]n^3 \le m^3[/mm] ?
>
> der Graph ist str monoton wachsend. Aber dann ist doch die
> Definition
> [mm]x_1[/mm] < [mm]x_2[/mm] so ist [mm]f(x_1)[/mm] < f [mm](x_2)[/mm]
Es gilt folgende Bemerkung: Sei [mm] $f\colon\IR\to\IR$ [/mm] streng monoton wachsend. Dann gilt für alle [mm] $x_1,x_2\in\IR$:
[/mm]
[mm] $x_1\le x_2\gdw f(x_1)\le f(x_2)$.
[/mm]
Beweis: Hinrichtung: Sei [mm] $x_1\le x_2$. [/mm] Falls [mm] $x_1
Rückrichtung: Sei [mm] $f(x_1)\le f(x_2)$. [/mm] Angenommen [mm] $x_1\le x_2$ [/mm] gilt nicht. Dann gilt [mm] $x_1>x_2$ [/mm] und damit wegen der strengen Monotonie von f [mm] $f(x_1)>f(x_2)$. [/mm] Dies widerspricht jedoch [mm] $f(x_1)\le f(x_2)$.
[/mm]
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