Relation auf metrischen Raum < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:57 So 29.11.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
| Aufgabe | (A,d) ist ein metrischer Raum.
Führen Sie eine Äquivalenzrelation auf den Raum B aller Cauchyfolgen in A ein:
[mm] $(x_n') \sim (x_n'') \Leftrightarrow \lim(x_n', x_n'') [/mm] = 0$ |
Ich wollte mal fragen ob mein erster Ansatz hier richtig ist:
Zu zeigen: Reflexiv, Symmytrisch, Transitiv. [mm] \newline
[/mm]
Reflexiv:
[mm] ''$\Rightarrow$'' [/mm] Sei [mm] $\lim x_n' [/mm] = a$ und [mm] $\lim x_n'' [/mm] = b$ und
gilt $a=b$ (konvergieren gegen den selben Grenzwert), so ist auch
$0 = d(a,b) = [mm] \lim d(x_n', x_n'')$ \newline
[/mm]
[mm] ''$\Leftarrow$'' [/mm] Sei wieder [mm] $\lim x_n' [/mm] = a$ und [mm] $\lim x_n'' [/mm] = b$ und
gilt $d(a,b) = 0$ so ist auch $a = b$, also [mm] $\lim x_n' [/mm] = [mm] \lim x_n''$.
[/mm]
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> (A,d) ist ein metrischer Raum.
> Führen Sie eine Äquivalenzrelation auf den Raum B aller
> Cauchyfolgen in A ein:
> [mm](x_n') \sim (x_n'') \Leftrightarrow \limd(x_n', x_n'') = 0[/mm]
>
> Ich wollte mal fragen ob mein erster Ansatz hier richtig
> ist:
>
> Zu zeigen: Reflexiv, Symmytrisch, Transitiv.
Hallo,
ja, das muß man für "Äquivalenzrelation" zeigen.
> [mm]\newline[/mm]
> Reflexiv:
>
> ''[mm]\Rightarrow[/mm]''
> Sei [mm]\lim x_n' = a[/mm] und [mm]\lim x_n'' = b[/mm]
Nein, so geht das nicht - und ich würde es besser finden, wenn Du, statt daß ich Dir gleich den Grund sage, selbst ein Weilchen mithilfe Deiner Unterlagen und Kenntnisse darüber nachdenkst, warum Du nicht mit "Sei [mm] a:=\lim x_n' [/mm] " starten kannst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 So 29.11.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
Huch die Aufgabe ist falsch:
[mm] $(x_n') \sim (x_n'') [/mm] = [mm] \lim d(x_n', x_n'') [/mm] = 0$
Da sich [mm] x_n' [/mm] und [mm] x_n'' [/mm] in einem Raum aller Cauchyfolgen befinden dachte ich lim [mm] x_n' [/mm] würde existieren als a. Einzige Problem wäre natürlich wenn a selbst nicht im Raum X liegt.
Ist es das?
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> Huch die Aufgabe ist falsch:
> [mm](x_n') \sim (x_n'') = \lim d(x_n', x_n'') = 0[/mm]
Hallo,
ja, in meiner Antwort hatte ich das bereits stillschweigend korrigiert.
>
> Da sich [mm]x_n'[/mm] und [mm]x_n''[/mm] in einem Raum aller Cauchyfolgen
> befinden dachte ich lim [mm]x_n'[/mm] würde existieren als a.
> Einzige Problem wäre natürlich wenn a selbst nicht im
> Raum X liegt.
>
> Ist es das?
Ja. In beliebigen metrischen Räumen konvergieren Cauchyfolgen i.a. nicht.
Die Konvergenz von Cauchyfolgen ist ja eine Spezialität vollständiger metrischer Räume. (Unbedingt merken für den Tag, an welchem Du Dich mal einer Befragung in Analysis 1 unterziehen mußt...)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 So 29.11.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
Ok. Eine kleine Sache noch: Insofern muss ich mir einen komplett anderen Ansatz ausdenken oder reicht zu sagen, dass die Reflexivität (z.B.) für [mm] $\lim x_n' [/mm] = a [mm] \in [/mm] Y$ gilt?
Quasi schon Voraussetzen, dass der Limes in Y liegt. Oder ist das genau die falsche Richtung, weil ich damit Y zu einem vollständigen Raum mache, was nicht mehr die Voraussetzung wäre?
Oder Unterscheiden zwischen [mm] $\lim x_n \in [/mm] X$ und [mm] $\lim x_n \in \overline{X}$ [/mm] (Komplement)?
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> Ok. Eine kleine Sache noch: Insofern muss ich mir einen
> komplett anderen Ansatz ausdenken
Hallo,
ja, komplett anders. Da Cauchyfolgen i.a. nicht konvergieren, kannst Du nicht mit der Konvergenz der Folgen arbeiten.
Mal so als Tip: metrische Räume sind mit einer Metrik versehen. Vielleicht findest Du in diesem Dunstkreis Eigenschaften, die Dir weiterhelfen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 So 29.11.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
Ja gut, die finde ich ziemlich stumpf darauf anzuwenden.
für Metrik:
$d(x,y) = 0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] x = y$
also
[mm] $d(x_n', x_n'') [/mm] = 0 [mm] \Leftrightarrow x_n' [/mm] = [mm] x_n''$ [/mm] somit wäre [mm] $x_n' \sim x_n'$ [/mm] bzw. [mm] $(x_n', x_n') \in [/mm] R$
(nur mal die Reflexivität)
Das wars?
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> Ja gut, die finde ich ziemlich stumpf darauf anzuwenden.
Hallo,
ob stumpf oder nicht. auf jeden Fall wird's damit richtig...
>
> für Metrik:
> [mm]d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y[/mm]
> also
> [mm]d(x_n', x_n'') = 0 \Leftrightarrow x_n' = x_n''[/mm] somit
> wäre [mm]x_n' \sim x_n'[/mm] bzw. [mm](x_n', x_n') \in R[/mm]
>
> (nur mal die Reflexivität)
>
> Das wars?
Von der Idee her ja - am Aufschrieb wäre zu arbeiten.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:57 Mo 30.11.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
Wieder mal vielen Dank!
Mit deiner Art jemanden zur Lösung hin zu führen komme ich am besten klar, verglichen mit anderen in diesem Forum.
Bleib so!
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