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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 02:56 Mo 12.12.2011 | | Autor: | mathestuden |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Relationen auf der Menge der natürlichen Zahlen auf ihre Eigenschaften:
a)[mm]R_1=\{(a,b) : |a-b|<2\}[/mm]
b)[mm]R_2=\{(a,b) : 2| |a-b|\}[/mm]
c)[mm]R_3=\{(a,b) : 2 teilt nicht |a-b|\}[/mm] |
Hallo Leute,
zur Aufgabe wollte ich nur wissen, ob das was ich gerechnet habe formal OK ist.
Für Relationen gelten folgene Axiome:
Reflexivität, Irreflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie, Asymmetrie, Transitivität und Linearität.
zu a)
Aus der Vorraussetzung gilt: [mm]a,b \in \{0,1\}[/mm]
[mm]|a-a|<2 \gdw 0<2[/mm] ist also reflexiv und kann damit nicht mehr irreflexiv sein.
[mm]|a-b|<2 \gdw |b-a|<2[/mm] gilt auf Grund der Eigenschaften des Betrages. [mm]R_1[/mm] ist also auch symmetrisch. Damit kann Antsymmetrie, Asymmetrie und Linearität ausgeschlossen werden.
[mm]R_1[/mm] ist nicht transitiv, weil es kein weiterführendes Element gibt (s. o.).
zu b)
[mm]2| |a-a| \gdw 2| 0[/mm] ist wahr und damit reflexiv.
[mm]2| |a-b| \gdw 2| |-b+a| = 2| |b-a|[/mm] also symmetrisch.
Sei nun [mm]a=2n\wedge b=2m \wedge c=2o: 2| |2n-2m| \gdw 2| |2(n-m)| \wedge 2| |2m-2o|\gdw 2| |2(m-o)| => 2| |2n-2o|\gdw 2| |2(n-o)
[/mm] also transitiv
zu c)
c) ist analog zu b) bis auf die Transitivität.
[mm]a=2n+1\wedge b=2m+1 \wedge c=2o+1: 2 teilt nicht |2n+1-2m-1| \gdw 2 teil nicht |2(n-m)| [/mm] Hier ist bereits ein Widerspruch. m-n muss wieder eine natürliche Zahl sein. Somit gilt 2(m-n) ist gerade und 2 teilt 2(m-n).
Vielen Dank schon für euer Feedback
Christoph
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Ich nenne mich nun meister_quitte^^ (früher mathestuden). Die obige Frage bleibt aktuell.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:54 Mo 12.12.2011 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Untersuchen Sie die folgenden Relationen auf der Menge der
> natürlichen Zahlen auf ihre Eigenschaften:
>
> a)[mm]R_1=\{(a,b) : |a-b|<2\}[/mm]
> b)[mm]R_2=\{(a,b) : 2| |a-b|\}[/mm]
>
> c)[mm]R_3=\{(a,b) : 2 teilt nicht |a-b|\}[/mm]
> zur Aufgabe wollte ich nur wissen, ob das was ich gerechnet
> habe formal OK ist.
>
> Für Relationen gelten folgene Axiome:
>
> Reflexivität, Irreflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie,
> Asymmetrie, Transitivität und Linearität.
Das sind keine Axiome, sondern Eigenschaften, die einer Relation zukommen können oder auch nicht.
> zu a)
>
> Aus der Vorraussetzung gilt: [mm]a,b \in \{0,1\}[/mm]
richtig: Voraussetzung mit einem r
Und warum sollte das gelten? Bei mir gehört die 0 nicht zu den natürlichen Zahlen, das ist noch das kleinere Problem, aber a und b können doch durchaus noch andere Werte annehmen.
> [mm]|a-a|<2 \gdw 0<2[/mm] ist also reflexiv und kann damit nicht
> mehr irreflexiv sein.
>
> [mm]|a-b|<2 \gdw |b-a|<2[/mm] gilt auf Grund der Eigenschaften des
> Betrages. [mm]R_1[/mm] ist also auch symmetrisch. Damit kann
> Antsymmetrie, Asymmetrie und Linearität ausgeschlossen
> werden.
>
> [mm]R_1[/mm] ist nicht transitiv, weil es kein weiterführendes
> Element gibt (s. o.).
Daß etwas nicht allgemein gilt, zeigt man durch ein Gegenbeispiel.
> zu b)
>
> [mm]2| |a-a| \gdw 2| 0[/mm] ist wahr und damit reflexiv.
>
> [mm]2| |a-b| \gdw 2| |-b+a| = 2| |b-a|[/mm] also symmetrisch.
>
> Sei nun [mm]a=2n\wedge b=2m \wedge c=2o: 2| |2n-2m| \gdw 2| |2(n-m)| \wedge 2| |2m-2o|\gdw 2| |2(m-o)| => 2| |2n-2o|\gdw 2| |2(n-o)
[/mm]
> also transitiv
Das ist nur die halbe Wahrheit, a und b müssen nicht unbedingt gerade sein.
> zu c)
>
> c) ist analog zu b) bis auf die Transitivität.
Das glaube ich nicht.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Vielen Dank für deinen Beitrag Dieter und einen Gruß aus Rostock  .
> Guten Morgen!
>
> > Untersuchen Sie die folgenden Relationen auf der Menge der
> > natürlichen Zahlen auf ihre Eigenschaften:
> >
> > a)[mm]R_1=\{(a,b) : |a-b|<2\}[/mm]
> > b)[mm]R_2=\{(a,b) : 2| |a-b|\}[/mm]
>
> >
> > c)[mm]R_3=\{(a,b) : 2 teilt nicht |a-b|\}[/mm]
>
> > zur Aufgabe wollte ich nur wissen, ob das was ich gerechnet
> > habe formal OK ist.
> >
> > Für Relationen gelten folgene Axiome:
> >
> > Reflexivität, Irreflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie,
> > Asymmetrie, Transitivität und Linearität.
>
> Das sind keine Axiome, sondern Eigenschaften, die einer
> Relation zukommen können oder auch nicht.
Da hast du recht.
> > zu a)
> >
> > Aus der Vorraussetzung gilt: [mm]a,b \in \{0,1\}[/mm]
>
> richtig: Voraussetzung mit einem r
> Und warum sollte das gelten? Bei mir gehört die 0 nicht
> zu den natürlichen Zahlen, das ist noch das kleinere
> Problem, aber a und b können doch durchaus noch andere
> Werte annehmen.
Eigentlich gebe ich dir hier auch recht. Ich bin auch eher ein Freund davon die 0 rauszulassen. Aber unsere Dozentin will das so :-S.
Wenn |a-b|<2 ist, dann können a bzw. b nur die 0 oder die 1 annehmen. Sonst würde die Ungleichung im Vornherein nicht stimmen. Oder anders: Es gibt ausschließlich nur diese binären Ausdrücke: (1,1), (0,0), (0,1), (1,0).
> > [mm]R_1[/mm] ist nicht transitiv, weil es kein weiterführendes
> > Element gibt (s. o.).
>
> Daß etwas nicht allgemein gilt, zeigt man durch ein
> Gegenbeispiel.
Gegenbeispiel: (0,1) und (1,c)=> (0,c). c muss ebenso wie a bzw. b den Wert 0 oder 1 annehmen. Beide Fälle erfüllen die Transitivität nicht.
> > zu b)
> >
> > Sei nun [mm]a=2n\wedge b=2m \wedge c=2o: 2| |2n-2m| \gdw 2| |2(n-m)| \wedge 2| |2m-2o|\gdw 2| |2(m-o)| => 2| |2n-2o|\gdw 2| |2(n-o)
[/mm]
> > also transitiv
>
> Das ist nur die halbe Wahrheit, a und b müssen nicht
> unbedingt gerade sein.
Da hast du recht. War ein Gedankenfehler von mir. Aber nun weiß ich nicht, wie ich die Transitivität folgern kann. Kannst du mir bitte ein paar Tipps geben?
> > zu c)
> >
> > c) ist analog zu b) bis auf die Transitivität.
>
> Das glaube ich nicht.
Stimmt. Da war ich zu fix. (a,a) ist irreflexiv da 2|0. Immerhin ist die Symmetrieeigenschaft analog zur b).
> Gruß aus HH-Harburg
> Dieter
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> > > Untersuchen Sie die folgenden Relationen auf der Menge der
> > > natürlichen Zahlen auf ihre Eigenschaften:
> > >
> > > a)[mm]R_1=\{(a,b) : |a-b|<2\}[/mm]
> > > b)[mm]R_2=\{(a,b) : 2| |a-b|\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > c)[mm]R_3=\{(a,b) : 2 teilt nicht |a-b|\}[/mm]
> >
> > > zur Aufgabe wollte ich nur wissen, ob das was ich gerechnet
> > > habe formal OK ist.
> > >
> > > Für Relationen gelten folgene Axiome:
> > >
> > > Reflexivität, Irreflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie,
> > > Asymmetrie, Transitivität und Linearität.
> >
> > Das sind keine Axiome, sondern Eigenschaften, die einer
> > Relation zukommen können oder auch nicht.
>
> Da hast du recht.
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> > > zu a)
> > >
> > > Aus der Vorraussetzung gilt: [mm]a,b \in \{0,1\}[/mm]
> >
> > richtig: Voraussetzung mit einem r
> > Und warum sollte das gelten? Bei mir gehört die 0
> nicht
> > zu den natürlichen Zahlen, das ist noch das kleinere
> > Problem, aber a und b können doch durchaus noch andere
> > Werte annehmen.
>
> Eigentlich gebe ich dir hier auch recht. Ich bin auch eher
> ein Freund davon die 0 rauszulassen. Aber unsere Dozentin
> will das so :-S.
>
> Wenn |a-b|<2 ist, dann können a bzw. b nur die 0 oder die
> 1 annehmen.
Hallo,
bist du Dir sicher?
Was ist mit a=4711 und b=4710?
Gruß v. Angela
>Sonst würde die Ungleichung im Vornherein
> nicht stimmen. Oder anders: Es gibt ausschließlich nur
> diese binären Ausdrücke: (1,1), (0,0), (0,1), (1,0).
>
> > > [mm]R_1[/mm] ist nicht transitiv, weil es kein weiterführendes
> > > Element gibt (s. o.).
> >
> > Daß etwas nicht allgemein gilt, zeigt man durch ein
> > Gegenbeispiel.
>
> Gegenbeispiel: (0,1) und (1,c)=> (0,c). c muss ebenso wie a
> bzw. b den Wert 0 oder 1 annehmen. Beide Fälle erfüllen
> die Transitivität nicht.
> > > zu b)
> > >
>
> > > Sei nun [mm]a=2n\wedge b=2m \wedge c=2o: 2| |2n-2m| \gdw 2| |2(n-m)| \wedge 2| |2m-2o|\gdw 2| |2(m-o)| => 2| |2n-2o|\gdw 2| |2(n-o)[/mm]
> > > also transitiv
> >
> > Das ist nur die halbe Wahrheit, a und b müssen nicht
> > unbedingt gerade sein.
>
> Da hast du recht. War ein Gedankenfehler von mir. Aber nun
> weiß ich nicht, wie ich die Transitivität folgern kann.
> Kannst du mir bitte ein paar Tipps geben?
> > > zu c)
> > >
> > > c) ist analog zu b) bis auf die Transitivität.
> >
> > Das glaube ich nicht.
>
> Stimmt. Da war ich zu fix. (a,a) ist irreflexiv da 2|0.
> Immerhin ist die Symmetrieeigenschaft analog zur b).
>
> > Gruß aus HH-Harburg
> > Dieter
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> > > > Untersuchen Sie die folgenden Relationen auf der Menge der
> > > > natürlichen Zahlen auf ihre Eigenschaften:
> > > >
> > > > a)[mm]R_1=\{(a,b) : |a-b|<2\}[/mm]
> > > > b)[mm]R_2=\{(a,b) : 2| |a-b|\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > c)[mm]R_3=\{(a,b) : 2 teilt nicht |a-b|\}[/mm]
> > >
> > > > zur Aufgabe wollte ich nur wissen, ob das was ich gerechnet
> > > > habe formal OK ist.
> > > >
> > > > Für Relationen gelten folgene Axiome:
> > > >
> > > > Reflexivität, Irreflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie,
> > > > Asymmetrie, Transitivität und Linearität.
> > >
> > > Das sind keine Axiome, sondern Eigenschaften, die einer
> > > Relation zukommen können oder auch nicht.
> >
> > Da hast du recht.
> >
> > > > zu a)
> > > >
> > > > Aus der Vorraussetzung gilt: [mm]a,b \in \{0,1\}[/mm]
> > >
> > > richtig: Voraussetzung mit einem r
> > > Und warum sollte das gelten? Bei mir gehört die 0
> > nicht
> > > zu den natürlichen Zahlen, das ist noch das kleinere
> > > Problem, aber a und b können doch durchaus noch andere
> > > Werte annehmen.
> >
> > Eigentlich gebe ich dir hier auch recht. Ich bin auch eher
> > ein Freund davon die 0 rauszulassen. Aber unsere Dozentin
> > will das so :-S.
> >
> > Wenn |a-b|<2 ist, dann können a bzw. b nur die 0 oder die
> > 1 annehmen.
>
> Hallo,
>
> bist du Dir sicher?
> Was ist mit a=4711 und b=4710?
>
> Gruß v. Angela
>
Danke Angela. Das war ein Gedankenfehler. Natürlich hast du Recht. Damit wäre die a) transitiv.
Kannst du mit Tips geben,wie ich bei b) und c) konkret die Transitivität nachweise?
Gruß
Christoph
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Hallo Christoph,
> Kannst du mit Tips geben,wie ich bei b) und c) konkret die
> Transitivität nachweise?
Mal zu b)
Wenn [mm]2\mid |a-b|[/mm] und [mm]2\mid |b-c|[/mm], so ist
[mm]a-b=2k[/mm] für ein [mm]k\in\IZ[/mm] und [mm]b-c=2\ell[/mm] für ein [mm]\ell\in\IZ[/mm]
Dann ist [mm]a-c=...[/mm]
Bringe da diese beiden Bedingungen ein ...
Bist du dir ganz sicher, dass c) transitiv ist?
Das sieht mir nämlich gar nicht so aus ...
>
> Gruß
>
> Christoph
LG
schachuzipus
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Danke für deinen Hinweis. Bei c) ist es nicht Transitiv. Ich habe es probiert an einem Gegenbeispiel.
Außerdem wollte ich wissen, ob ich mit meiner Idee richtig liege. Du sagtest:
|a-b|=2k und |b-c|=2l. Dann würde ich sagen, dass sich |a-c| nur um einen Faktor unterscheidet, der auch gerade sein muss: 2mx=2xm. Ist das korrekt?
Gruß
Christoph
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Hallo nochmal,
> Danke für deinen Hinweis. Bei c) ist es nicht Transitiv.
> Ich habe es probiert an einem Gegenbeispiel.
Gut, gut!
>
> Außerdem wollte ich wissen, ob ich mit meiner Idee richtig
> liege. Du sagtest:
>
> |a-b|=2k und |b-c|=2l.
Hier mit [mm]k,l\in\IN[/mm]. Wenn du die Beträge weglässt, musst du [mm]k,l\in\IZ[/mm] nehmen, es können ja [mm]a-b, b-c[/mm] negativ sein.
> Dann würde ich sagen, dass sich
> |a-c| nur um einen Faktor unterscheidet, der auch gerade
> sein muss: 2mx=2xm. Ist das korrekt?
Das ist kraus formuliert ...
Beweise, Watson!
Schreibe doch einfach [mm]a-c=a\red{-b+b}-c=(a-b)+(b-c)=...[/mm]
>
> Gruß
>
> Christoph
LG
schachuzipus
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Ich hab's glaube ich. [mm]|a-c|=|a+b-b+c|= 2k-2l=2(k-l)[/mm] und das wird von der 2 geteilt. Stimmt's?^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Mo 12.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich hab's glaube ich. [mm]|a-c|=|a+b-b+c|= 2k-2l=2(k-l)[/mm] und das
> wird von der 2 geteilt. Stimmt's?^^
Nein ! Wir hatten:
$a-b=2k$ und $b-c=2l$ mit $k,l [mm] \in \IZ.$
[/mm]
Dann ist
$a-c=(a-b)+(b-c)=2k+2l =2(k+l)$.
Also: $|a-c|=2|k+l|$
FRED
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Danke ich habe es kapiert. Vielen Dank an euch.
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