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| Aufgabe | Geben Sie Beispiele von Relationen auf X={1,2,3,4} an, die
(a) reflexiv, symmetrisch aber nicht transitiv,
(b) symmetrisch, transitiv, aber nicht reflexiv,
(c) reflexiv, transitiv, aber nicht symmetrisch,
(d) weder reflexiv, noch symmetrisch, noch transitiv |
Guten Morgen,
ich wollte wissen, ob meine Ergebnisse so in Ordnung sind. Vielen Dank schon mal für eure Kritiken im Voraus.
a) [mm] $R_1:=\{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (2,1)\}$
[/mm]
b) [mm] $R_2=\{(1,2), (2,1), (2,3)\}$
[/mm]
c) [mm] $R_3=\{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (2,3)\}$
[/mm]
d) [mm] $R_4=\{(1,1)\}$
[/mm]
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo,
ich bin mir nicht ganz sicher, aber ich halte alle Beispiele für falsch:
[mm] R_1: [/mm] ist für mich transitiv.
[mm] R_2: [/mm] weder symmetrisch, noch transitiv. Es müsst bspw. aus (1,2) und (2,3) ja (1,3) folgen und damit auch (3,1).
[mm] R_3: [/mm] auch hier fehlt (1,3) zur Transitivität.
[mm] R_4: [/mm] ist für mich sowohl symmetrisch, als auch transitiv, aber nicht reflexiv.
Gruß, Diophant
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Hallo Diophant,
könntest du begründen, warum meine Beispiele falsch sind? Ich weiß nicht genau, was du meinst.
Liebe Grüße
Christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Fr 09.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Diophant,
>
> könntest du begründen, warum meine Beispiele falsch sind?
> Ich weiß nicht genau, was du meinst.
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
Hallo Namensvetter,
Diophant hat in seiner obigen Antwort doch alles begründet. Was ist unklar ?
FRED
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Hallo Christoph,
warum ist denn nach Diophants Auffassung [mm] $R_1$ [/mm] transitiv? Nach der Definition gilt doch, wenn [mm] $(a,b)\in R\wedge (b,c)\in [/mm] R [mm] \Rightarrow (a,c)\in [/mm] R$ Das ist doch in jenem Beispiel, was ich gewählt habe, gar nicht gegeben. Oder habe ich da einen Gedankenfehler?
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo,
> warum ist denn nach Diophants Auffassung [mm]R_1[/mm] transitiv?
> Nach der Definition gilt doch, wenn [mm](a,b)\in R\wedge (b,c)\in R \Rightarrow (a,c)\in R[/mm]
> Das ist doch in jenem Beispiel, was ich gewählt habe, gar
> nicht gegeben. Oder habe ich da einen Gedankenfehler?
Ja, so ist es, es ist wohl ein Verständnisproblem. Du darfst nur die Elemente betrachten, die zu der Relation gehören, nicht die Elemente bzw. Paare aus X. Es ist bspw. (1,2) [mm] \wedge [/mm] (2,2) [mm] \Rightarrow [/mm] (1,2) und für (2,1) rechnet man das genau so nach. Also ist [mm] R_1 [/mm] transitiv.
Gruß, Diophant
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Hallo Leute,
nach kleiner Abstinenz, beschäftige ich mich wieder mit Mathe und habe mir auch eine paar Gedanken. Zu eueren Anregungen gemacht (fred, diophant).
a) $ [mm] R_1:=\{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)\} [/mm] $ Dies müsste so stimmen.
b) $ [mm] R_2=\{(1,2), (2,1), (2,3), (3,1)\} [/mm] $ Ich frage mich hier, warum ich zwingend (3,1) ergänzen muss. Schließlich muss die Symmetrieeigenschaft , nicht so wie die Reflexivität, nicht alle Elemente, über die die Relation definiert ist, berücksichtigen.
c) $ [mm] R_3=\{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (2,3), (1,3)\}
[/mm]
d) $ [mm] R_4=\{(1,2)\} [/mm] $
c) und d) müssten dann auch so stimmen.
Liebe Grüße
Christoph
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| Aufgabe | Aufgabe
Geben Sie Beispiele von Relationen auf X={1,2,3,4} an, die
(a) reflexiv, symmetrisch aber nicht transitiv,
(b) symmetrisch, transitiv, aber nicht reflexiv,
(c) reflexiv, transitiv, aber nicht symmetrisch,
(d) weder reflexiv, noch symmetrisch, noch transitiv |
> a) [mm]R_1:=\{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)\}[/mm] Dies müsste so
> stimmen.
Hallo,
reflexiv und symmetrisch ist [mm] R_1 [/mm] ohne Zweifel.
Sie ist aber auch transitiv.
Sag mal die Def. für Transitivität auf und versuche in Deiner Relation zwei Paare zu finden, welche die Transitivität verletzen.
>
> b) [mm]R_2=\{(1,2), (2,1), (2,3), (3,1)\}[/mm] Ich frage mich hier,
> warum ich zwingend (3,1) ergänzen muss.
Die Funktion soll transitiv sein.
Wenn (1,2) und (2,3) drin sind, geht's aufgrund der geforderten Transitivität nicht ohne (1,3), was bei Dir leider auch nicht vorkommt, und aufgrund der Symmetrie muß dann auch (3,1) drin sein.
Hättest Du Diophants Beitrag gründlich gelesen und durchdacht, wäre Dir dies nicht passiert.
Bei Deiner Relation [mm] R_2 [/mm] bist Du also so eine Art Elefant im Porzellanladen: die ist weder transitiv noch symmetrisch.
Die einzige geforderte Bedingung, die sie erfüllt, ist, daß sie nicht reflexiv ist.
(Insofern wäre sie natürlich an anderer Stelle zu gebrauchen.)
> Schließlich muss
> die Symmetrieeigenschaft , nicht so wie die Reflexivität,
> nicht alle Elemente, über die die Relation definiert ist,
> berücksichtigen.
Es muß die Symmetrieeigenschaft aber für alle Paare der Relation gelten.
Wenn (3,1) drin ist, erzwingt dies die Anwesenheit von (1,3).
>
> c) $ [mm]R_3=\{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (2,3), (1,3)\}[/mm]
Richtig.
>
> d) [mm]R_4=\{(1,2)\}[/mm]
[mm] R_4 [/mm] ist sicher nicht reflexiv und auch nicht symmetrisch.
Aber sie ist transitiv.
Oder kannst Du mit demonstrieren, wie die Transitivität verletzt wird?
Tip:
Du hast hier Relationen gelistet, und wir sollen gucken, ob Du es richtig gemacht hast. Offenbar sind Dir hierbei noch Fehler unterlaufen.
Diese Fehler hättest Du möglicherweise vermeiden können, indem Du bewiesen/begründet hättest, daß Deine Relationen die geforderten Eigenschaften haben.
[mm] "R_i [/mm] ist symmetrisch, denn..."
[mm] "R_j [/mm] ist nicht symmetrisch, denn..."
LG Angela
>
> c) und d) müssten dann auch so stimmen.
>
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
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Hallo Angela,
> Aufgabe
> Geben Sie Beispiele von Relationen auf X={1,2,3,4} an,
> die
>
> (a) reflexiv, symmetrisch aber nicht transitiv,
> (b) symmetrisch, transitiv, aber nicht reflexiv,
> (c) reflexiv, transitiv, aber nicht symmetrisch,
> (d) weder reflexiv, noch symmetrisch, noch transitiv
>
>
>
> > a) [mm]R_1:=\{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)\}[/mm] Dies müsste so
> > stimmen.
>
> Hallo,
>
> reflexiv und symmetrisch ist [mm]R_1[/mm] ohne Zweifel.
> Sie ist aber auch transitiv.
> Sag mal die Def. für Transitivität auf und versuche in
> Deiner Relation zwei Paare zu finden, welche die
> Transitivität verletzen.
Also nach der Definition der Transitivität muss gelten: [mm] $(a,b)\in R\wedge (b,c)\in [/mm] R [mm] \Rightarrow (a,c)\in [/mm] R $. In [mm] $R_1$ [/mm] sind aber nur (a,a), (b,b) ... aufgeführt. Warum bist du der Ansicht, dass [mm] $R_1$ [/mm] auch transitiv ist?
> >
> > b) [mm]R_2=\{(1,2), (2,1), (2,3), (3,1)\}[/mm] Ich frage mich hier,
> > warum ich zwingend (3,1) ergänzen muss.
>
> Die Funktion soll transitiv sein.
> Wenn (1,2) und (2,3) drin sind, geht's aufgrund der
> geforderten Transitivität nicht ohne (1,3), was bei Dir
> leider auch nicht vorkommt, und aufgrund der Symmetrie muß
> dann auch (3,1) drin sein.
> Hättest Du Diophants Beitrag gründlich gelesen und
> durchdacht, wäre Dir dies nicht passiert.
>
> Bei Deiner Relation [mm]R_2[/mm] bist Du also so eine Art Elefant im
> Porzellanladen: die ist weder transitiv noch symmetrisch.
> Die einzige geforderte Bedingung, die sie erfüllt, ist,
> daß sie nicht reflexiv ist.
> (Insofern wäre sie natürlich an anderer Stelle zu
> gebrauchen.)
OK. Ich habe es verstanden. Also muss ich zu jedem Element was die Transitivität begründet, auch ein symmetrisches "Gegenstück" haben, richtig? Dann wäre [mm] $R_2=\{ (1,2), (2,3), (1,3), (2,1), (3,2),(3,1)\}$
[/mm]
> > Schließlich muss
> > die Symmetrieeigenschaft , nicht so wie die Reflexivität,
> > nicht alle Elemente, über die die Relation definiert ist,
> > berücksichtigen.
>
> Es muß die Symmetrieeigenschaft aber für alle Paare der
> Relation gelten.
> Wenn (3,1) drin ist, erzwingt dies die Anwesenheit von
> (1,3).
>
> >
> > c) $ [mm]R_3=\{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (2,3), (1,3)\}[/mm]
>
> Richtig.
>
> >
> > d) [mm]R_4=\{(1,2)\}[/mm]
>
> [mm]R_4[/mm] ist sicher nicht reflexiv und auch nicht symmetrisch.
> Aber sie ist transitiv.
> Oder kannst Du mit demonstrieren, wie die Transitivität
> verletzt wird?
[mm] $R_4$ [/mm] ist deswegen nicht transitiv, weil es hier kein (b,c) gibt (siehe die obig erwähnte Definition)
> Tip:
> Du hast hier Relationen gelistet, und wir sollen gucken, ob
> Du es richtig gemacht hast. Offenbar sind Dir hierbei noch
> Fehler unterlaufen.
> Diese Fehler hättest Du möglicherweise vermeiden
> können, indem Du bewiesen/begründet hättest, daß Deine
> Relationen die geforderten Eigenschaften haben.
> [mm]"R_i[/mm] ist symmetrisch, denn..."
> [mm]"R_j[/mm] ist nicht symmetrisch, denn..."
>
>
> LG Angela
>
>
> >
> > c) und d) müssten dann auch so stimmen.
> >
> >
> > Liebe Grüße
> >
> > Christoph
>
[b] Liebe Grüße
Christoph [mm] [\b]
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:55 Do 22.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Angela,
>
> > Aufgabe
> > Geben Sie Beispiele von Relationen auf X={1,2,3,4} an,
> > die
> >
> > (a) reflexiv, symmetrisch aber nicht transitiv,
> > (b) symmetrisch, transitiv, aber nicht reflexiv,
> > (c) reflexiv, transitiv, aber nicht symmetrisch,
> > (d) weder reflexiv, noch symmetrisch, noch transitiv
> >
> >
> >
> > > a) [mm]R_1:=\{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)\}[/mm] Dies müsste so
> > > stimmen.
> >
> > Hallo,
> >
> > reflexiv und symmetrisch ist [mm]R_1[/mm] ohne Zweifel.
> > Sie ist aber auch transitiv.
> > Sag mal die Def. für Transitivität auf und versuche
> in
> > Deiner Relation zwei Paare zu finden, welche die
> > Transitivität verletzen.
> Also nach der Definition der Transitivität muss gelten:
> [mm](a,b)\in R\wedge (b,c)\in R \Rightarrow (a,c)\in R [/mm]. In [mm]R_1[/mm]
> sind aber nur (a,a), (b,b) ... aufgeführt. Warum bist du
> der Ansicht, dass [mm]R_1[/mm] auch transitiv ist?
wäre [mm] $R_1$ [/mm] nicht transitiv, so müsste es $a,b,c [mm] \in [/mm] X$ so geben, dass zwar $(a,b) [mm] \in R_1$ [/mm] und $(b,c) [mm] \in R_1\,,$ [/mm] und aber $(a,c) [mm] \notin R_1$ [/mm] gilt. Sowas kann es bei Deiner Relation aber nicht geben, gerade nach Deiner Definition.
Denn:
Nehme ich etwa [mm] $(\blue{1},\red{1}) \in R_1$ [/mm] her. Jetzt suche ich ein Element der Form [mm] $(\red{1},?) \in R_1\,,$ [/mm] so dass [mm] $(\blue{1},?) \notin R_1$ [/mm] gilt. Aber das einzige Element in [mm] $R_1\,,$ [/mm] dass auch die [mm] $1\,$ [/mm] an der ersten Stelle stehen hat, ist wieder [mm] $(1,1)\,.$ [/mm] Also können wir nur sagen, dass [mm] $(\blue{1},\red{1}) \in R_1$ [/mm] und [mm] $(\red{1},\green{1}) \in R_1$ [/mm] gilt und das die einzige "Transitivitätsverknüpfungsmöglichkeit für [mm] $(1,1)\,$ [/mm] ist, die wir zu untersuchen haben". Aber es gilt auch [mm] $(\blue{1},\green{1}) \in R_1\,.$
[/mm]
Analog kannst Du genauso mit den anderen Elementen aus [mm] $R_1$ [/mm] argumentieren.
(Zwei Sachen solltest Du behalten: 1.) Bei der Transitivitäts-Folgerung steht da: Wenn sowohl $(a,b) [mm] \in [/mm] R$ als auch $(b,c) [mm] \in [/mm] R$ gelten, dann ist auch $(a,c) [mm] \in R\,.$ [/mm] Wenn Du natürlich (fast) keine Möglichkeiten in [mm] $R\,$ [/mm] reinstellt, so dass [mm] $(a,b)\,$ [/mm] und [mm] $(b,c)\,$ [/mm] beide in [mm] $R\,$ [/mm] sind, dann können auch nicht viele Paare diese "Trans.-Folgerung" verletzen.
2.) Die (komplette) Diagonale von [mm] $M\,\,,$ [/mm] also [mm] $R:=\{(m,m): m \in M\}$ [/mm] ist eine Äquivalenzrelation!)
Ich überlege gerade, ob es für [mm] $R_1$ [/mm] überhaupt ein Beispiel geben kann, aber sieht schon so aus:
Probier's mal mit
[mm] $$\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,3),(3,2),(2,1)\}\,.$$
[/mm]
Betrachte nun mal [mm] $(1,\red{2}) \in R_1$ [/mm] und [mm] $(\red{2},3) \in R_1\,.$ [/mm] Wäre [mm] $R_1$ [/mm] transitiv, dann...?
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
jetzt fällt der Groschen. Eine Gerade ist ja auch zu sich selbst transitiv bzgl. der Parallelität.
Um Reflexivität zu haben, muss ich alle Paarungen (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), laut Defintion, in meiner Relation sein. Wie schaffe ich nun Transitivität ohne die Reflexivität zu "verletzen"?
Ich will mich hier nicht zu weit aus dem Fenster wagen, aber ich glaube, dass das es dafür keine Lösung gibt oder es müsste etwas spezielles sein.
Liebe Grüße
Christoph
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> Hallo Marcel,
>
> jetzt fällt der Groschen. Eine Gerade ist ja auch zu sich
> selbst transitiv bzgl. der Parallelität.
Hallo,
nein.
"Transitivität" ist keine Eigenschaft von Geraden oder sonstigen Objekten, sondern es ist eine Eigenschaft, die Relationen haben oder nicht haben.
Du darfst die Fachbegriffe nicht nach Deinem Gutdünken verwenden. Sonst kommt Wischiwaschi raus, und damit fällt man in Mathe ganz arg auf die Klappe.
Wenn Du nun als Menge irgendwelche Geraden nimmst und darauf die Relation "ist parallel zu" betrachtest, so stellst Du fest, daß diese Relation transitiv ist.
>
> Um Reflexivität zu haben, muss ich alle Paarungen (1,1),
> (2,2), (3,3), (4,4), laut Defintion, in meiner Relation
> sein.
Ja, genau.
> Wie schaffe ich nun Transitivität ohne die
> Reflexivität zu "verletzen"?
Erstmal ein Paar hinzufügen und dann weitergucken.
>
> Ich will mich hier nicht zu weit aus dem Fenster wagen,
> aber ich glaube, dass das es dafür keine Lösung gibt oder
> es müsste etwas spezielles sein.
Es geht hier nicht um den Glauben. Da wir nicht im Tempel sind, wollen wir beweise. Wenn Du das also glaubst, dann beweise es...
Hast Du Dich überhaupt eingehend mit der von Marcel vorgeschlagenen Menge beschäftigt?
Falls ja, hast Du offenbar herausgefunden, daß sie die in a) geforderten Eigenschaften nicht hat. Vielleicht läßt Du uns an Deinen Überlegungen dazu, warum sie nicht funktioniert, teilnehmen.
Falls nein, so solltest Du das Studieren der Menge nachholen, statt in den Labermodus zu verfallen.
LG Angela
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
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Hallo Angela,
> Falls nein, so solltest Du das Studieren der Menge
> nachholen, statt in den Labermodus zu verfallen.
>
> LG Angela
immer schön geschmeidig bleiben Kleines. 
LG
Christoph
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> Hallo Angela,
>
> > Falls nein, so solltest Du das Studieren der Menge
> > nachholen, statt in den Labermodus zu verfallen.
> >
> > LG Angela
>
> immer schön geschmeidig bleiben Kleines.
Süßer!
Hab' ich den Nerv getroffen? Sowas aber auch...
LG Angela
>
>
> LG
>
> Christoph
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:38 Do 22.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Christoph,
> > Falls nein, so solltest Du das Studieren der Menge
> > nachholen, statt in den Labermodus zu verfallen.
>
> immer schön geschmeidig bleiben Kleines.
Ich finde deine Reaktion ziemlich unverschämt! Angela hat dir umfangreiche Hilfe angeboten. Anstelle eines Dankeschöns kommt von dir eine solch unsachliche und beleidigende Reaktion auf einen zwar kritischen, aber sachlichen Tipp von Angela.
Viele Grüße
Tobias
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Moin Tobi,
mag sein das mein Ton dir despektierlich erschienen ist, aber
1. war es eher scherzhaft gemeint. Ich denke das weiß Angela.
2. Sie ist ja auch nicht gerade zimperlich mit mir, was die Wortwahl angeht.
3. Weiß ich das Angela es gut mit mir meint trotz ihrer Wortwahl.
4. Inwiefern ist denn die Kosung "Kleines" so verwerflich?
Liebe Grüße
Christoph
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:50 Do 22.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Angela,
>
> > Falls nein, so solltest Du das Studieren der Menge
> > nachholen, statt in den Labermodus zu verfallen.
> >
> > LG Angela
>
> immer schön geschmeidig bleiben Kleines.
Die Quitte trägt vier bis acht Jahre nach ihrer Pflanzung die ersten Früchte. Die Vermehrung gelingt nur manchmal.
Bei Dir ist es total in die Hose gegangen !
FRED
>
>
> LG
>
> Christoph
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Hallo Angela,
nach unseren Frotzeleien zurück zum Tagesgeschäft.
Ich denke dass, mein Beweis schon mal in die richtige Richtung geht.
Sei [mm] $X\times X:=\{(x_i, x_i) | i\in \IN\}$ [/mm] Zu zeigen: [mm] $X\times [/mm] X$ ist reflexiv [mm] $\Rightarrow X\times [/mm] X$ ist dann immer symmetrisch und transitiv.
Beweis:
[mm] \forall $(x_i, x_i)$ [/mm] gilt [mm] $(x_i, x_i)\in X\times X\Rightarrow X\times [/mm] X $ ist reflexiv.
[mm] $\Rightarrow X\times [/mm] X$ ist auch symmetrisch, denn [mm] $(x_i, x_i)=(x_i, x_i)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow X\times [/mm] X$ ist auch transitiv, denn [mm] $(x_i, x_i)\wedge $(x_i, x_i)\Rightarrow (x_i, x_i)
[/mm]
Folgerung: Bzgl. a) und c) gibt es keine Relation mit den geforderten Eigenschaften.
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo Christoph,
ich kann deine Folgerung nicht nachvollziehen. Du machst hier im Prinzip nichts anderes, als ein Beispiel zu rechnen, gewisse Eigenschaften festzustellen und dann zu folgern, dies wäre stets so.
Gegenbeispiel:
Auf der Menge [mm] M=\{1;2;3;4\} [/mm] definieren wir eine Relation R. Es gelten
1R1, 2R2, 3R3, 4R4, 1R2, 2R3, 3R4 und 4R1
Diese Relation ist
- reflexiv: für jedes Element gilt aRa
- transitiv: Rür alle Fälle der Form aRb mit [mm] a\ne{b} [/mm] gilt aRb [mm] \wedge [/mm] bRc => aRc
- nicht symmetrisch, da Symmetrie nur bei den Fällen aRa auftritt.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:54 Do 22.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Christoph,
>
> ich kann deine Folgerung nicht nachvollziehen. Du machst
> hier im Prinzip nichts anderes, als ein Beispiel zu
> rechnen, gewisse Eigenschaften festzustellen und dann zu
> folgern, dies wäre stets so.
>
> Gegenbeispiel:
> Auf der Menge [mm]M=\{1;2;3;4\}[/mm] definieren wir eine Relation
> R. Es gelten
>
> 1R1, 2R2, 3R3, 4R4, 1R2, 2R3, 3R4 und 4R1
>
> Diese Relation ist
>
> - reflexiv: für jedes Element gilt aRa
> - transitiv: Rür alle Fälle der Form aRb mit [mm]a\ne{b}[/mm]
wozu diese Forderung? Das wird nicht in der Transitivität verlangt!!
> gilt aRb [mm]\wedge[/mm] bRc => aRc
Nö: Aus $1R2$ und $2R3$ müsste dann ja auch $1R3$ folgen. Aber $1R3$ sehe ich nirgends! (Ebenso gilt nicht $2R4$ etc. pp.)
> - nicht symmetrisch, da Symmetrie nur bei den Fällen aRa
> auftritt.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:53 Sa 24.03.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
@Marcel:
> Nö: Aus [mm]1R2[/mm] und [mm]2R3[/mm] müsste dann ja auch [mm]1R3[/mm] folgen. Aber
> [mm]1R3[/mm] sehe ich nirgends! (Ebenso gilt nicht [mm]2R4[/mm] etc. pp.)
danke für deine Aufmerksamkeit: da war ich wohl mit den Gedanken woanders. Also nochmal:
1R1, 2R2, 3R3, 4R4, 1R2, 2R3, 1R3
jetzt müsste es eine Relation sein, die reflexiv, transitiv aber nicht symmetrisch ist, und damit als Gegenbeispiel taugt (was meine einzige Intention war).
Gruß, Diophant
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> Hallo Angela,
>
> nach unseren Frotzeleien zurück zum Tagesgeschäft.
>
> Ich denke dass, mein Beweis schon mal in die richtige
> Richtung geht.
>
> Sei [mm]X\times X:=\{(x_i, x_i) | i\in \IN\}[/mm] Zu zeigen: [mm]X\times X[/mm]
> ist reflexiv [mm]\Rightarrow X\times X[/mm] ist dann immer
> symmetrisch und transitiv.
Hallo,
ich zerpflücke Deinen Beweis jetzt nicht - ich hab' nämlich nur exakt 4 Minuten Zeit.
Was tust Du? Du sagst, daß eine Relation, in welcher nur Paare mit gleichen Einträgen vorkommen, also Paare der Gestalt (a,a), reflexiv ist, was zweifelsohne richtig ist.
Dann zeigst Du, daß diese sehr spezielle Relation auch symmetrisch und transitiv ist.
Aaaaber: Du kannst daraus nicht schließen, daß JEDE Relation, die reflexiv ist, auch symm. und transitiv ist, denn es gibt doch noch andere reflexive Relationen als die, deren Elemente nur Paare der Gestalt (a,a) sind.
LG Angela
>
> Beweis:
>
> [mm]\forall[/mm] [mm](x_i, x_i)[/mm] gilt [mm](x_i, x_i)\in X\times X\Rightarrow X\times X[/mm]
> ist reflexiv.
>
> [mm]\Rightarrow X\times X[/mm] ist auch symmetrisch, denn [mm](x_i, x_i)=(x_i, x_i)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow X\times X[/mm] ist auch transitiv, denn [mm](x_i, x_i)\wedge[/mm][mm] (x_i, x_i)\Rightarrow (x_i, x_i)[/mm]
>
> Folgerung: Bzgl. a) und c) gibt es keine Relation mit den
> geforderten Eigenschaften.
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
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Hallo Angela und Diophant,
ich habe mir mal ein Beispiel überlegt. Vielleicht ist es hinreichend. [mm] $R_1=\{(a,b):|a-b|+1\leq 3\}$. [/mm] Zumindest haut es nach meinen Rechungen hin. Was sagt ihr dazu?
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo Christoph,
sofern das obige Beispiel sich auf die im Eingangsbeitrag geforderten Eigenschaften (reflexiv, symmetrisch aber nicht transitiv) bezieht, dann ist es richtig, sowohl für die dort angegebene Menge, bspw. aber auch auf ganz [mm] \IR.
[/mm]
Reflexivität und Symmetrie sind hier ja offensichtlich, zum Nachweis, dass Transitivität nicht vorliegt, könntest du noch ein Gegenbeispiel angeben. Es wären nämlich auch Mengen denkbar, auf denen diese Relation transitiv ist (wenn ich mich nicht irre  ).
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Do 22.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Angela und Diophant,
>
> ich habe mir mal ein Beispiel überlegt. Vielleicht ist es
> hinreichend.
für was denn? Dass 2012 die Welt untergeht? Schreib' doch bitte keine leeren Aussagen. Ich sage ja auch nicht: "Die Zahl [mm] $\pi$ [/mm] ist"
> [mm]R_1=\{(a,b):|a-b|+1\leq 3\}[/mm]. Zumindest haut es
> nach meinen Rechungen hin. Was sagt ihr dazu?
Was magst Du eigentlich an meinem einfachen Beispiel nicht? Und warum schreibst Du nicht einfach
[mm] $$R_1=\{(a,b):\;|a-b| \leq 2\}\;\text{?}$$
[/mm]
(Es gilt doch $|a-b|+1 [mm] \le [/mm] 3 [mm] \gdw [/mm] |a-b| [mm] \le [/mm] 2$!)
Mal kurz 'ne Nebenfrage: Auf welcher Menge war [mm] $R_1$ [/mm] nochmal als Relation zu betrachten? War das [mm] $M=\{1,2,3,4\}$?
[/mm]
Ist mir verlorengegangen, und mein Internet ist so lahm, dass mir das anklicken und warten zu lange dauert... kannst Du das nochmal ergänzen? Ist sicher auch für andere interessant/wichtig!
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
ja M ist so definiert. Deswegen habe ich auch [mm] $R_1$ [/mm] so dfinieren wollen, weil die 0 nicht mehr in [mm] $R_1$ [/mm] drin wäre. Ist mein Einwand trotzdem überflüssig?
Liebe Grüße
Christoph
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> ja M ist so definiert. Deswegen habe ich auch [mm]R_1[/mm] so
> dfinieren wollen, weil die 0 nicht mehr in [mm]R_1[/mm] drin wäre.
> Ist mein Einwand trotzdem überflüssig?
Meister,
Du bist 'ne harte Nuß...
Marcel hat Dir doch gerade gesagt - vielleicht nicht deutlich genug, aber wenn man mit der Zaunlatte kommt, freust Du Dich auch nicht richtig... -, daß Du Deine Posts so gestalten sollst, daß man ohne großartiges Geklicksel folgen kann.
Versuche mal kurz, Dich in unsere Lage zu versetzen:
- Deine (und andere) Aufgaben sind für uns in der Regel nicht so spannend, daß sie uns stunden- oder tagelang beschäftigen. Also: wir haben die i.a. grob im Kopf, aber wie die Mengen, Funktionen, Ebenen oder was auch immer genau waren, wissen wir nicht. Es ist dann nicht erfreulich, wenn man sich erstmal durch einen langen Thread klicken muß
- I.d.R. haben wir im Gegensatz zu Dir auch keine Aufzeichnungen auf Papier. Und wenn welche existierten: meine bekritzelten Bons, TK-Verpackungen, Zeitungsränder, Werbeblättchen sammle ich nicht ordentlich für den Fall, daß sich nach Stunden, Tagen, Monaten nochmal jemand interessiert... Bei anderen dürfte das ähnlich sein.
Für mich stellen sich am frühen Morgen diese Fragen:
> ja M ist so definiert.
Aha. Wie denn eigentlich?
> Deswegen habe ich auch [mm] $R_1$ [/mm] so
> dfinieren wollen,
Wie denn?
>weil die 0 nicht mehr in [mm] $R_1$ [/mm] drin wäre.
Hm? Natürlich ist 0 nicht in der Relation. In der Relation sind ja Zahlenpaare.
> Ist mein Einwand trotzdem überflüssig?
Welcher Einwand denn? Worum geht's?
Okay. Weil ich so lieb bin, klicke ich doch:
Es war [mm] M:=\{1,2,3,4\}, [/mm] und Du hattest definiert:
[mm] R_1:=\{(a,b)\red{\in M\times M}|\quad |a-b|\le 2\}.
[/mm]
Es ist also [mm] R_1=\{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,2), (4,3), (4,4)\}.
[/mm]
Die Reflexivität und Symmetrie sind offensichtlich, und wen nDu uns nun mit einem Beispiel, an welchem Du demonstrierst, daß [mm] R_1 [/mm] nicht transitiv ist, zeigst, daß die Relatio nicht transitiv ist, hast Du Aufgabe a) gelöst und hoffentlich etwas gelernt.
Es ist natürlich der Weg, erst mühevoll die Relation in eine Ungleichung zu packen, überflüssig steinig. Normalerweise würde man einfach ein passendes Sortiment Zahlenpaare suchen.
Das hatte übrigens Marcel getan in diesem Post (lies nach 2.)), welches Du, seitdem es geschreiben wurde, so elegant ignorierst. Er hatte Dir dort eine Lösung serviert - wobei eine selbstgefundene natürlich wertvoller ist.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:39 Fr 23.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Angela,
> > ja M ist so definiert. Deswegen habe ich auch [mm]R_1[/mm] so
> > dfinieren wollen, weil die 0 nicht mehr in [mm]R_1[/mm] drin wäre.
> > Ist mein Einwand trotzdem überflüssig?
>
> Meister,
>
> Du bist 'ne harte Nuß...
>
> Marcel hat Dir doch gerade gesagt - vielleicht nicht
> deutlich genug, aber wenn man mit der Zaunlatte kommt,
> freust Du Dich auch nicht richtig... -, daß Du Deine Posts
> so gestalten sollst, daß man ohne großartiges Geklicksel
> folgen kann.
naja, das rumklicken hätte ich auch noch hinbekommen - nur lahmt mein Internet wirklich rum. Ist halt nur ein Internet-Stick!
Generell: Die von Dir vorgeschlagene Form eines Threads würde ich bevorzugen (also am besten eine Möglichkeit, wo man direkt den Ursprungsthread wenigstens nochmal direkt bei jeder Antwort angezeigt bekommen kann - das wäre evtl. ein feature für Marc!).
Gruß,
Marcel
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Wie wäre es mit (4,1). Da kommt dann 3<2 raus.
LG Christoph
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> Wie wäre es mit (4,1). Da kommt dann 3<2 raus.
>
> LG Christoph
Moin,
worum geht's jetzt gerade?
Was willst Du mit (4,1) machen?
Falls Du irgendwie die Transitivität widerlegen möchtest, baue bitte in vollständigen Sätzen eine Argumentation auf.
Ein Zahlenpaar in den Raum zu werfen, welches noch nichteinmal in der Relation enthalten ist, ist zu wenig. Da ist (Apfel, Birne) ja genauso aussagekräftig.
LG Angela
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Hallo Angela,
ich habe nochmal bzgl. [mm] $R_4$ [/mm] nachgedacht. (1,2) und (1,3) müssten doch hinreichend sein, oder?
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo Christoph,
zunächst möchte ich sagen, dass ich die Kritik an deiner Vorgehensweise teile, die hier geäußert wurde. Du machst es denen, die dir helfen möchten nicht gerade einfach.
Wenn ich es richtig verstehe, dann soll diese Relation [mm] R_4 [/mm] sich auf die geforderten Eigenschaften im Eingangsbeitrag unter Punkt d) beziehen.
Hierzu hat Angela dir schon zu einem früheren Versuch den Rat gegeben, ein Gegenbeispiel anzugeben, welches zeigt, dass die Transitivität verletzt ist. Das gilt hier genau so. Du hast es zwar gar nicht versucht, aber es funktioniert auch nicht, da diese Relation nämlich auf {1;2;3;4} transitiv ist.
Gruß, Diophant
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Hallo Diophant,
deine Kritik ist angekommen. Nur wenn ich von der Aufgabenstellung her ein Bsp. finden muss, ist es nicht möglich ein Gegenbsp. zu liefern. Das macht doch keinen Sinn. Deswegen habe ich andere Wege eingeschlagen. Das mache ich nicht, um euch zu ärgern.
Kann ich für [mm] $R_4$ [/mm] auch die leere Menge nehmen? Wenn dies möglich wäre, könnte ich das Problem umgehen, dass ein Element immer eine der Eigenschaften erfüllt.
Liebe Grüße
Christoph
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 So 25.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Diophant,
>
> deine Kritik ist angekommen. Nur wenn ich von der
> Aufgabenstellung her ein Bsp. finden muss, ist es nicht
> möglich ein Gegenbsp. zu liefern. Das macht doch keinen
> Sinn. Deswegen habe ich andere Wege eingeschlagen. Das
> mache ich nicht, um euch zu ärgern.
>
> Kann ich für [mm]R_4[/mm] auch die leere Menge nehmen? Wenn dies
> möglich wäre, könnte ich das Problem umgehen, dass ein
> Element immer eine der Eigenschaften erfüllt.
was war [mm] $R_4$? [/mm] Weder reflexiv, noch symmetrisch, noch transitiv? Die leere Menge ist symmetrisch - wäre sie es nicht, so gäbe es ein Element $(x,y) [mm] \in \emptyset\,,$ [/mm] so dass $(y,x) [mm] \notin \emptyset\,.$ [/mm] Die leere Menge hat aber keine Elemente. Ebenso ist die leere Menge auch transitiv. Einzig reflexiv wäre sie nicht - denn Refl. bedeutet: FÜR JEDES $m [mm] \in [/mm] M$ muss [mm] $(m,m)\,$ [/mm] zur Relation gehören!
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
ich habe mir nochmal ein paar Gedanken gemacht, wie [mm] $R_4$ [/mm] wohl beschaffen sein müsste.
Ich habe mir erst mal ein Beispiel gemacht was alle Eigenschaften erfüllt und dann aussortiert.
[mm] $R_4=\{ (3,3), (1,4), (2,4) \}$
[/mm]
Ist das denn richtig?
Liebe Grüße
Christoph
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Di 27.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> ich habe mir nochmal ein paar Gedanken gemacht, wie [mm]R_4[/mm]
> wohl beschaffen sein müsste.
>
> Ich habe mir erst mal ein Beispiel gemacht was alle
> Eigenschaften erfüllt und dann aussortiert.
>
> [mm]R_4=\{ (3,3), (1,4), (2,4) \}[/mm]
>
> Ist das denn richtig?
Dein [mm] $R_4$ [/mm] ist zwar weder reflexiv (weil etwa $(1,1) [mm] \notin R_4$), [/mm] noch symmetrisch (weil etwa $(1,4) [mm] \in R_4\,,$ [/mm] aber $(4,1) [mm] \notin R_4$), [/mm] aber leider ist Dein [mm] $R_4$ [/mm] transitiv.
Denn: Bzgl. des Paars $(3,3) [mm] \in R_4$ [/mm] kann man nur $(3,3) [mm] \in R_4$ [/mm] benutzen, dann ist aber $(3,3) [mm] \in R_4\,.$ [/mm] Bzgl. $(1,4) [mm] \in R_4$ [/mm] gibt es kein Paar der Form $(4,?) [mm] \in R_4\,,$ [/mm] für das $(1,?) [mm] \in R_4$ [/mm] zu testen wäre.
Analog gibt es zu dem Paar $(2,4) [mm] \in R_4$ [/mm] auch kein Paar der Form $(4,?) [mm] \in R_4\,,$ [/mm] für das $(2,?) [mm] \in R_4$ [/mm] zu prüfen wäre.
Aber:
Das kannst Du leicht beheben! (Tipp: Vertausche die Komponenten bei genau einem Element!)
P.S.
Deine Strategie ist schon ein wenig kompliziert: Es ist meines Erachtens schwerer, erstmal eine Äquivalenzrelation auf [mm] $M:=\{1,2,3,4\}$ [/mm] zu kreieren "und danach dann auszusortieren", als einfach mal irgendeine Teilmenge von $M [mm] \times [/mm] M$ hinzuschreiben und zu schauen, was schon alles verletzt ist und was dann noch abzuändern ist, um wirklich alle Eigenschaften zu verletzen...
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
[mm] $R_4=\{(1,3), (3,4), (2,4)\}$
[/mm]
so macht's Sinn.
Danke für den Tip.
Liebe Grüße
Chrstoph
PS.: In deiner Signatur ist ja ein Zitat von Preda Mihailescu. Das war mal mein Dozent. ^^
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:57 Mi 28.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> [mm]R_4=\{(1,3), (3,4), (2,4)\}[/mm]
>
> so macht's Sinn.
das passt zwar nicht mehr zu meinem Tipp (Du hast Komponenten in mehreren - genauer: zwei - Elementen vertauscht), aber das geht auch.
Bei Deiner vorherigen Version
$$ [mm] R_4=\{ (3,3), (1,4), (2,4) \}$$
[/mm]
hätte ich einfach aus $(2,4)$ dann $(4,2)$ gemacht!
> Danke für den Tip.
>
> Liebe Grüße
> Chrstoph
>
> PS.: In deiner Signatur ist ja ein Zitat von Preda
> Mihailescu. Das war mal mein Dozent. ^^
Sachen gibt's ^^
Gruß,
Marcel
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Vielen Dank an Marcel, Christoph(Fred97), Angela und Diophant.
Der Knoten ist geplatzt.
LG Christoph
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:34 Do 22.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Diophant,
> Hallo,
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> > warum ist denn nach Diophants Auffassung [mm]R_1[/mm] transitiv?
> > Nach der Definition gilt doch, wenn [mm](a,b)\in R\wedge (b,c)\in R \Rightarrow (a,c)\in R[/mm]
> > Das ist doch in jenem Beispiel, was ich gewählt habe, gar
> > nicht gegeben. Oder habe ich da einen Gedankenfehler?
>
> Ja, so ist es, es ist wohl ein Verständnisproblem. Du
> darfst nur die Elemente betrachten, die zu der Relation
> gehören, nicht die Elemente bzw. Paare aus X. Es ist bspw.
> (1,2) [mm]\wedge[/mm] (2,2) [mm]\Rightarrow[/mm] (1,2) und für (2,1) rechnet
bleiben wir doch "pedantisch" und schreiben lieber:
Weil $(1,2) [mm] \in R_1$ [/mm] und $(2,2) [mm] \in R_1$ [/mm] müssen wir, wenn [mm] $R_1$ [/mm] transitiv ist und daher die Folgerung
$$(1,2) [mm] \in R_1 \wedge [/mm] (2,2) [mm] \in R_1 \Rightarrow \blue{(1,2)} \in R_1$$
[/mm]
gelten muss, nur nochmal nachschauen, ob [mm] $\blue{(1,2)} \in R_1$ [/mm] gilt. Das ist hier natürlich langweilig, da selbsterklärend!
Wenn Du das ganze kürzer schreiben willst, dann geht das doch auch:
Es gibt doch die Vereinbarung
$$a [mm] R_1 [/mm] b$$
anstatt $(a,b) [mm] \in R_1$ [/mm] zu schreiben.
Dann steht bei Dir oben:
Wegen [mm] $1R_1 [/mm] 2$ und $2 [mm] R_1 [/mm] 2$ ist noch(mal) $1 [mm] R_1 [/mm] 2$ zu prüfen - aber das ist hier quasi eh schonmal getan!
> man das genau so nach. Also ist [mm]R_1[/mm] transitiv.
Mir wäre es nur Recht, wenn man eine saubere Schreibweise verwendet. Aussagen wie "$(1,1)$ und $(2,2)$" sind irgendwie "nichtssagend"!
Das sind so Aussagen wie "3 und 7". Das wär interessant, wenn es irgendeinen Bezug zu diesem Satz gäbe
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:31 Do 22.03.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo Marcel
ich kenne mich ehrlich gesagt mit vielen Schreibweisen gar nicht so aus und habe einfach diejenige des Fragestellers übernommen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Do 22.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Diophant,
> Hallo Marcel
>
> ich kenne mich ehrlich gesagt mit vielen Schreibweisen gar
> nicht so aus und habe einfach diejenige des Fragestellers
> übernommen.
dann sorry, da hätte ich den Thread nochmal genauer lesen müssen (ich dachte eigentlich, dass er das richtig getan hätte - aber vermutlich erst im Laufe des Threads).
Dann hast Du jetzt auch nochmal ein paar Schreibweisen gelernt
Gruß,
Marcel
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