Relationen: transitiv/reflexiv < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Di 15.11.2005 | | Autor: | Leoric |
Hallo zusammen,
für die meisten von euch wird diese Aufgabe wohl ein leichtes sein.
R und S seien beliebige zweistellige Relationen über M mit |M| [mm] \ge [/mm] 3. Beweisen oder widerlegen Sie:
a)Wenn R und S reflexive Relationen sind, dann ist auch R [mm] \cup [/mm] S reflexiv
b)Wenn R und S symmetrische Relationen sind, dann ist auch R [mm] \cup [/mm] S eine symmetrische Relation.
c)Wenn R und S antisymmetrische Relationen sind, dann ist auch R [mm] \cup [/mm] S antisymmetrisch.
d)Wenn R und S eine transitive Relation ist, dann ist auch R [mm] \cup [/mm] S eine transitive Relation.
e)Wenn R und S Äquivalenzrelationen sind, dann ist auch R [mm] \cup [/mm] S eine Äquivalenzrelation.
Ich hoffe ihr könnt mir ein wenig auf die Sprünge helfen.
Bye,
Leoric
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:46 Di 15.11.2005 | | Autor: | bazzzty |
> für die meisten von euch wird diese Aufgabe wohl ein
> leichtes sein.
[..]
> Ich hoffe ihr könnt mir ein wenig auf die Sprünge helfen.
Okay, ich werde es mal versuchen.
Mein Tipp: Stell Dir eine Relation als Tabelle vor, in diesem Fall für [mm]|M|=3[/mm] eine 3x3-Tabelle mit einem Kreuz in Zeile i, Spalte j, wenn z.B. i R j.
Wenn Du die Tabelle für R und für S hast, wie sieht dann die Tabelle für [mm]R\cup S[/mm] aus? (Die Frage zuerst klären, dann gehts weiter).
> R und S seien beliebige zweistellige Relationen über M mit
> |M| [mm]\ge[/mm] 3. Beweisen oder widerlegen Sie:
>
> a)Wenn R und S reflexive Relationen sind, dann ist auch R
> [mm]\cup[/mm] S reflexiv
Welche Eigenschaft hat die Tabelle bei reflexiven Relationen aus (Tipp: Wie sehen die Einträge auf der Diagonalen aus)?
Was passiert bei Vereinigung?
In derselben Art lassen sich alle diese Aufgaben lösen, bzw. man kann Gegenbeispiele konstruieren. Versuchs mal selbst weiter, bei Fragen helfe ich gerne weiter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:36 Di 15.11.2005 | | Autor: | Leoric |
Hi,
danke erst einmal für deine Antwort. Leider muß ich all diese Behauptungen formal widerlegen bzw. beweisen. D.h. Formeln, Sätze ect.
Grüße,
Leoric
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:54 Di 15.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> danke erst einmal für deine Antwort. Leider muß ich all
> diese Behauptungen formal widerlegen bzw. beweisen. D.h.
> Formeln, Sätze ect.
Bleibt ja trotzdem vor allem [m]deine[/m] Aufgabe. Und der erste Schritt ist erstmal eine Lösung zu erarbeiten - und da hat man dir ja gerade Tips gegeben. Gibt es damit Probleme? Dann solltest du sagen, was du nicht verstehst, wo do du nicht weiterkommst. Als nächstes kann man dann zusammen das ganze noch formalisieren. Ein bißchen Eigeninitiative ist hier schon gefragt, jedenfalls kannst du nicht erwarten, dass jemand die ganz Sache vollständig für dich beweist.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Di 15.11.2005 | | Autor: | Leoric |
Du hast völlig Recht SEcki. einen vollständigen Beweis erwarte ich auch gar nicht. Leider verstehe ich bei Mengen nur noch Bahnhof-Bratkartoffeln.
Das Problem an der Sache ist, daß unser Prof uns die Aufgaben einfach niur hingeknallt hat ohne daß das Thema in der Vorlesung behandelt wurde. In der Schule hatte ich auch niemals damit zu tun. Ergo: ich habe keinen Plan. Die Bücher in der Bibliothek konnten mir auch nicht weiterhelfen. Es wird zwar alles behauptet, aber nichts bewiesen.
Bei der Antwort weiter oben im Thread verstehe ich nicht, wie man von einer 3x3-Matrix auf den formalen Beweis kommt.Außerdem habe ich keine ahnung, wie man von 2 reflexiven/transitiven/symmetrischen Relationen darauf schließen kann, daß auch deren Vereinigung die selben Eigenschaften hat.
MfG,
Leoric
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:54 Mi 16.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> Die
> Bücher in der Bibliothek konnten mir auch nicht
> weiterhelfen. Es wird zwar alles behauptet, aber nichts
> bewiesen.
Bitte? also die Bücher, die ich kenne, beweisen sehr wohl.
> Bei der Antwort weiter oben im Thread verstehe ich nicht,
> wie man von einer 3x3-Matrix auf den formalen Beweis
> kommt.
Was hast du denn ausprobiert? Hast du die Matrix schon gefüllt?
> Außerdem habe ich keine ahnung, wie man von 2
> reflexiven/transitiven/symmetrischen Relationen darauf
> schließen kann, daß auch deren Vereinigung die selben
> Eigenschaften hat.
Das muss ja nicht stimmen. Sind denn die Eigenschaften der Relation klar? also was reflexiv etc pp bedeutet. Das wurde doch bestimmt gesagt? Dann probiert man halt mal an der dreielementigen Menge - und dann kann man auch mal Gegenbeispiele finden, und die angabe eines solchen Gegenbeispiels genügt dann als Beweis. Wenn du allerdings etwas zeigen möchtest das stimmt, zB Symmetrie: Sei [m](x,y)\in R\cup S[/m], dann gilt [m](x,y)\in R[/m] oder [m] (x,y)\in S[/m] - was gilt dann also in R bzw. S? Was gilt dann für die Vereinigung. Refelxivität macht man dann ähnlich. Der Rest ist falsch - also Gegenbeispiele finden.
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 Mi 16.11.2005 | | Autor: | bazzzty |
> Bei der Antwort weiter oben im Thread verstehe ich nicht,
> wie man von einer 3x3-Matrix auf den formalen Beweis
> kommt.
Vielleicht hättest Du Dich darauf mal einlassen sollen. Der formale Beweis steht selten am Anfang. Erstmal muß man selbst verstehen, warum etwas so ist (oder nicht ist), dann kann man gezielt beweisen.
Diese Vorgehensweise würde ich Dir dringend ans Herz legen, wenn Du nicht immer wieder an derselben Stelle stehen willst.
> Außerdem habe ich keine ahnung, wie man von 2
> reflexiven/transitiven/symmetrischen Relationen darauf
> schließen kann, daß auch deren Vereinigung die selben
> Eigenschaften hat.
Vielleicht mußt Du Dir klarmachen, was die Vereinigung zweier Relationen ist. Du hast eine Grundmenge M, z.b. [mm]\{1,2,3\}[/mm], eine Relation ist eine Menge von Paaren daraus (z.B. [mm]\{(1,2), (2,2), (3,1), (3,2)\}[/mm])
Die Verienigung zweier Relationen enthält alle Paare, die in mindestens einer der beiden Relationen vorkommt.
Das sollte Dir klar sein. Ab dann mußt Du Dich erst mal selbst überzeugen, Dir überlegen, was du beweisen willst.
Ich werde für die reflexiven Relationen mal die Idee und die formale Lösung machen, damit Du siehst, was ich meine.
Zur Idee: Faßt man eine Relation R als nxn-Tabelle auf, in der Kreuze in Zeile i, Spalte j sind, wenn [mm]i R j[/mm] (d.h. wenn [mm] (i,j)\in R[/mm], dann bekommt man die Vereinigung zweier Relationen R und S, indem man eine Tabelle ausfüllt, in der ein Kreuz in einem Feld steht, wenn in R oder S (oder beiden) ein Kreuz steht.
Das ist klar, oder? Mathematisch heißt das: [mm](i,j)\in R\cup S \Leftrightarrow (i, j)\in R \vee (i, j)\in S[/mm].
Was heißt Reflexivität: Eine Relation R ist reflexiv, wenn alle [mm](i,i)\in R[/mm]. Also dann, wenn auf der Diagonalen nur Kreuze sind.
Wenn aber bei R und S auf der Diagonalen nur Kreuze sind, gilt das auch für die Vereinigung.
(Interessant: Es würde sogar reichen, wenn R oder S reflexiv ist).
Jetzt sind wir uns sicher, daß die Antwort JA lautet, wir wissen, was wir beweisen wollen, jetzt der formale Teil:
Vorüberlegung: [mm](i,j)\in R\cup S \Leftrightarrow (i,j)\in R \vee (i,j)\in S[/mm]
Zu zeigen: Sind R, S reflexiv, dann auch [mm]R\cup S[/mm].
Beweis: R, S reflexiv [mm]\Rightarrow \forall i: (i, i) \in R \wedge (i, i) \in S [/mm] [mm]\Rightarrow \forall i: (i, i) \in R \vee (i, i) \in S[/mm] [mm]\Leftrightarrow \forall i: (i, i) \in R \cup S[/mm] [mm]\Leftrightarrow R \cup S[/mm] ist reflexiv.
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Und? Ist die Vorgehensweise jetzt klargeworden? Dann versuchs mal mit der Symmetrie. Und wenn Du nicht weiterkommst mit dem formalen Beweis: Schreibe wenigstens, ob und wie Dir klargeworden ist, ob Symmetrie unter Vereinigung erhalten bleibt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:53 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Leoric |
Hey,
ihr gebt euch ja wirklich Mühe, damit auch ich Dummdösel es verstehe. Ich weiß gar nicht, wie ich euch danken soll :-P
Immerhin habe ich jetzt einen guten Ansatz und den Beweis der Reflexivität auch verstanden. Jetzt schaffe ich den Rest der Aufgabe bestimmt !
Bei Problemen frage ich hier gezielt nach. Bis dahin noch mal: Danke !
Ciao,
Leoric
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