Relative und Absolute Extrema < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 So 30.04.2006 | | Autor: | Achim_LP |
| Aufgabe | Folgende Funktion: f(x)= [mm] [x^{3} [/mm] + [mm] 2x^{2} [/mm] - 3 ] [mm] /x^{2}
[/mm]
Aufgabe: Berrechne das Integral für f(x) von z bis 3z. Untersuche dann das Grenzwertverhalten für z -> unendlich und für z -> 0.
Untersuche folgend auf Extrema. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo.
Wir haben folgende Funktion bekommen.
1. Dann das Integral ausgerechnet von z bis 3z. Dabei haben wir folgendes Ergebnis herausbekommen:
F(z) = 2/z
2. z gegen unendlich, dabei ist 0 herausgekommen
3. z gegen 0, dabei ist unendlich herausgekommen
4. Dann haben wir die erste Ableitung der Stammfunktion F'(z)= [mm] -2/z^{2}
[/mm]
Daraus haben wir gefolgert, dass F'(z) für alle z>0 kleiner als 0 wird.
Folgendes Endergebnis hatten wir dann:
F besitzt für z>0 kein relatives Extremum.
-> Aus 2. bis 4. folgt, dass die Funktion F kein absolutes Extremum besitzt.
Meine Frage dazu: Was ist ein relatives Extremum und was ein absolutes?
Was sagt mir das hier in der Aufgabe als Ergebnis und wie kommt man darauf!
Eine Antwort wäre sehr nett, Dienstag Mathe Abitur-Prüfung ;)
Sonst kann ich alles :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 So 30.04.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin achim,
die begriffe relatives bzw. absolutes extremum gehören zur differentialrechnung.
relative Extremwerte = lokale Extrema = Hochpunkte bzw. Tiefpunkte einer Funktion
ein relatives maximum bzw. ein relatives minimum bestimme ich mithilfe der
1. Ableitung einer Funktion und der 2. Ableitung einer Funktion.
z.b. f(x) = [mm] x^2
[/mm]
f'(x)= 2x
f''(x) = 2
Für einen lokalen Extremwert (Du merkst, ich benutze hier immer einen anderen Ausdruck, der aber immer dasselbe meint!)
muss sowohl die notwendige Bedingung für Extremwerte erfüllt sein [nämlich f'(x)=0] als uch die hinreichende Bedingung [nämlich f''(x) <0 für ein lokales Maximum; bzw. f''(x)>0 für ein lokales Minimum].
f'(x)= 2x Bestimmung der Nullstellen der 1. Ableitung / waagerechte Tangenten
0 = 2x
x=0
ergebnis(se) einsetzen in f''
f''(0)=2 > 0 => TP(0/f(0)) lokales Minimum
ein globales bzw. ein absolutes Minimum liegt vor, wenn es für alle x keinen kleineren zugehörigen y-Wert gibt.
In meinem Beispiel ist das lokale Minimum auch gleichzeitig das globale Minimum.
Während es kein lokales Maximum gibt, und auch kein eindeutiges globales Maximum, da die funktionswerte für x gegen +/- unendlich gegen plus uunendlich gehen.
gruss
wolfgang
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