Rentenberechnung mit Dynamik < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:04 Do 12.04.2007 | | Autor: | bluemex |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo miteinander,
ich suche die Formeln für die Rentenberechnung mit dynamischer Rate. Und zwar sowohl für die Einzahlungen (Zinseszinsrechnung) als auch für die Auszahlung (Tilgungsrechnung).
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Fr 13.04.2007 | | Autor: | Josef |
Hallo bluemex,
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> ich suche die Formeln für die Rentenberechnung mit
> dynamischer Rate. Und zwar sowohl für die Einzahlungen
> (Zinseszinsrechnung) als auch für die Auszahlung
> (Tilgungsrechnung).
>
Beispielsaufgabe:
Ottilie zahlt nachschüssig eine jährliche um 10 % steigende Rente auf ein Konto, das mit 4 % verzinst wird. Man berechne das Kapital am Ende des vierten Jahres, wenn die erste Zahlung 1.000 Euro beträgt.
[mm]R_4 = 1.000*\bruch{1,04^4 -1,1^4}{1,04 - 1,1} = 4.904,02[/mm]
Viele Grüße
Josef
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Hallo Josef,
danke für deinen 1. Beitrag bzgl. Rentenberechnung. Habe das mal nachgerechnet und es stimmt natürlich. Was ich jetzt aber für ein Problem ist folgendes: Wie gehe ich bei einer ähnlichen Rechnung vor wenn ich monatliche Beiträge zahle und jährlich eine Dynamik stattfindet... gibt es dafür auch ne Formel?
Beispiel für meine Frage:
Anfangskapital 0 Euro
monatliche Zahlung 100 Euro
Zahlungsweise: nachschüssig
Zinsen: 10%
Laufzeit: 3 Jahre
Zahlungsperioden pro Jahr: 12
Mein Ergebnis ohne Dynamik lautet: 4.178,18 Euro
Aber mit Dynamik komme ich nur über den umständlichen Weg drauf... nämlich indem ich jedes Jahr einzeln berechne und das Ergebnis des Vorjahres stets als Anfangskapital des Folgejahres ansetze wie folgt:
Anfangskapital: 0 Euro
1. Jahr: 12 * 100 zu 10% Zinsen Endkapital: 1.256,56
Anfangskapital: 1.256,56
2. Jahr: 12 * 110 zu 10% Zinsen Endkapital: 2.770,35
Anfangskapital: 2.770,35
3. Jahr: 12 * 121 zu 10% Zinsen Endkapital: 4.580,87
Kann man das nicht bequem in einer Formel komprimieren?
Danke
Gruß
Gordon
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Hallo Josef,
die Frage ist, was bedeutet hier "Dynamik"??
Meinst Du damit das die monatlichen Raten jährlich ansteigen??
Gruß Nicodemus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:18 So 24.08.2008 | | Autor: | Josef |
Hallo Nicodemus,
>
> die Frage ist, was bedeutet hier "Dynamik"??
> Meinst Du damit das die monatlichen Raten jährlich
> ansteigen??
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Josef
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Hallo Josef,
ich habe nun die gesuchte Formel im Internet gefunden. Die Formel findet sich bei Jürgen Tietze, Einführung in die Finanzmathematik, Seite 167.
Leicht zu finden mit der Google-Buchsuche. Einfach eingeben in Google: "Rentenendwert mit Dynamik"
ok?
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Hallo Nicodemus,
danke für deine Antwort die mir schon mal etwas weitergeholfen hat.
In der Tat meine ich dass die Rate konstant gezahlt wird aber die monatlichen Raten jährlich steigen wie man das oft von Versicherungsverträgen kennt.
Ich habe mich hauptsächlich an den Formeln der Seite 166 orientiert in welcher zuerst die Ersatzrate gebildet wird und dann in die Formel eingefügt wird.
Mein Beispiel aktuell lautet wie folgt:
m = 12
Zinssatz = 7%
jährliche Dynamik 10%
Laufzeit = 3 Jahre
Nun berechne ich zuerst die Ersatzrate:
Anmerkung: Klammern setze ich jetzt nicht da sonst unübersichtlich
100 * 1,07 - 1 / 1,07^(1/12) - 1
= 100 * 0,07 / [mm] 1,07^0,08333333 [/mm] -1
= 100 * 0,07 / 0,005654145
= 1.238,0298
Dies ist nun also meine Ersatzrate welche ich nun in die Formel einfüge:
1238,0298 * [mm] 1,07^3 [/mm] - [mm] 1,10^3 [/mm] / 1,07 - 1,10
= 1238,0298 * -0,105957 / -0,03
= 1238,0298 * 3,5319
= 4.372,60 Euro
Wenn ich es jetzt aber manuell nachrechne bekomme ich folgendes Ergebnis:
Jahr 1 zu 100 Euro:
Endbetrag: 1239,26
Jahr 2 zu 110 Euro:
Endbetrag: 2692,03
Jahr 3 zu 121 Euro:
Endbetrag: 4.386,14
Die Differenz beträgt also 13,54. Klar nicht viel aber auf einen langen Zeitraum summiert sich das dann schon massiv. Wo liegt also der Fehler?
Des weiteren frage ich mich bzgl. der beiden Formeln wie ein Ergebnis herauskommen soll wenn Zinssatz gleich Dynamikzinssatz ist. Denn dann kommt im Nenner der zweiten Formel eine "0" raus und durch die darf man ja nicht teilen.... ?
Danke
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:46 So 24.08.2008 | | Autor: | Josef |
Hallo gordonhynes,
> In der Tat meine ich dass die Rate konstant gezahlt wird
> aber die monatlichen Raten jährlich steigen wie man das oft
> von Versicherungsverträgen kennt.
>
> Ich habe mich hauptsächlich an den Formeln der Seite 166
> orientiert in welcher zuerst die Ersatzrate gebildet wird
> und dann in die Formel eingefügt wird.
>
> Mein Beispiel aktuell lautet wie folgt:
> m = 12
> Zinssatz = 7%
> jährliche Dynamik 10%
> Laufzeit = 3 Jahre
>
> Nun berechne ich zuerst die Ersatzrate:
> Anmerkung: Klammern setze ich jetzt nicht da sonst
> unübersichtlich
>
> 100 * 1,07 - 1 / 1,07^(1/12) - 1
> = 100 * 0,07 / [mm]1,07^0,08333333[/mm] -1
> = 100 * 0,07 / 0,005654145
> = 1.238,0298
>
du musst hier mit einfachen, unterjährigen Zinsen rechnen. Dies ist Banküblich!
Die Formel für monatliche, nachschüssige, unterjährige Raten hierzu lautet:
[mm] 100*(12+\bruch{0,07}{2}*11) [/mm] = 1.238,50
> Dies ist nun also meine Ersatzrate welche ich nun in die
> Formel einfüge:
>
> 1238,0298 * [mm]1,07^3[/mm] - [mm]1,10^3[/mm] / 1,07 - 1,10
> = 1238,0298 * -0,105957 / -0,03
> = 1238,0298 * 3,5319
> = 4.372,60 Euro
>
> Wenn ich es jetzt aber manuell nachrechne bekomme ich
> folgendes Ergebnis:
>
> Jahr 1 zu 100 Euro:
> Endbetrag: 1239,26
> Jahr 2 zu 110 Euro:
> Endbetrag: 2692,03
> Jahr 3 zu 121 Euro:
> Endbetrag: 4.386,14
>
> Die Differenz beträgt also 13,54. Klar nicht viel aber
> auf einen langen Zeitraum summiert sich das dann schon
> massiv. Wo liegt also der Fehler?
>
Du hast einen falschen Faktor genommen. Einfache Zinsrechnung und nicht Zinseszins für unterjährige Zahlungen sind üblich.
Bei Versicherungen ist eine monatliche, vorschüssige Zahlungsweise üblich.
Zu deinem Beispiel (manuell):
Zahlung Januar (nachschüssig) = 100,00
Zahlung Februar = [mm] 100*(1+0,07*\bruch{11}{12})) [/mm] = 106,42
Zahlung März = [mm] 100*(1+0,07*\bruch{10}{12}) [/mm] = 105,83
...
Zahlung Dezember = [mm] 100*(1+0,07*\bruch{1}{12}) [/mm] = 100,58
Endsumme (Januar bis Dezember) = 1.238,50
> Des weiteren frage ich mich bzgl. der beiden Formeln wie
> ein Ergebnis herauskommen soll wenn Zinssatz gleich
> Dynamikzinssatz ist. Denn dann kommt im Nenner der zweiten
> Formel eine "0" raus und durch die darf man ja nicht
> teilen.... ?
>
wenn q = g gilt:
[mm] R_n [/mm] = [mm] rnq^{n-1}
[/mm]
Viele Grüße
Josef
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> [mm]100*(12+\bruch{0,07}{2}*11)[/mm] = 1.238,50
--> okay diese Formel ist glaub ich klar: 12 = m und die 11 ist vermutlich m-1????
> Du hast einen falschen Faktor genommen. Einfache
> Zinsrechnung und nicht Zinseszins für unterjährige
> Zahlungen sind üblich.
> Bei Versicherungen ist eine monatliche, vorschüssige
> Zahlungsweise üblich.
>
--> hier setzt es bei mir aus. Ich muss also die Ersatzrate von 1238,50 nehmen und die Formel einsetzen oder? Wenn ich das mache komme ich auf 4.374,26. Ist das dann das richtige Ergebnis und war meine Rechnung vorher nicht korrekt?
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Vielen Dank ich glaube damit sind alle Fragen erledigt bis auf eine.
m-1 = nachschüssig
wenn vorschüssig dann logischerweise nur "m" oder?
Danke für super Support. Zwar ist das ganze nicht Thema in meinem Studium aber wir haben den Bereich mal kurz angeschnitten und ich studiere nicht nur w/ der Note sondern auch um etwas zu verstehen...
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es ist schon zu spät...
richtig müsste es lauten:
nachschüssig: m - 1
vorschüssig: m + 1
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$ [mm] R_n [/mm] $ = $ [mm] rnq^{n-1} [/mm] $
kannst du mir damit noch weiterhelfen? Irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlauch wenn Dynamik genauso hoch ist wie Rendite.
wie rechne ich [mm] rnq^n-1 [/mm] ???
r ist klar. n? für 3 Jahre z.B. 36? Aber da kommen bei mir abenteuerliche Ergebnisse raus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:05 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Josef |
Hallo gordonhynes,
> [mm]R_n[/mm] = [mm]rnq^{n-1}[/mm]
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> kannst du mir damit noch weiterhelfen? Irgendwie stehe ich
> gerade auf dem Schlauch wenn Dynamik genauso hoch ist wie
> Rendite.
>
> wie rechne ich [mm]rnq^{n-1}[/mm] ???
>
> r ist klar. n? für 3 Jahre
r = jährliche Rate 1.200
n = Laufzeit 3 Jahre
q = 1,07 = 7 %
g = Dynamik = 7 %
[mm] 1.200*3*1,07^{3-1} [/mm] = 4.121,64
Viele Grüße
Josef
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wow bei dir sieht das so einfach aus.
Besten Dank für den Support ich glaube es ist verstanden. Werde da jetzt noch ein paar Rechnungen machen und das in mein Hirn einbrennen. 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:52 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Josef |
Hallo gordonhynes,
> richtig müsste es lauten:
>
> nachschüssig: m - 1
> vorschüssig: m + 1
Viele Grüße
Josef
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