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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:15 Mi 04.01.2006 | | Autor: | the-big |
| Aufgabe | Ein Kapital von 100 000,-- Euro sei vom 1.1.2003 an zinseszinslich zu 5 % p. a. angelegt.
Welcher konstante Betrag darf jeweils am Jahresende entnommen werden, wenn am
1.1.2015 noch genau 50 000,-- Euro auf diesem Konto sein sollen ? |
Hallo,
kann jemand von euch bitte mal obenstehende Aufgabe durchrechnen?!
In der Musterlösung steht als Ergebnis 8.141,27, ich habe 5641,27 und wüsste net was falsch sein sollte.
Vielen Dank!
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Hallo,
dann schreib doch mal bitte grob, wie du es gemacht hast. Vielleicht fällt uns ja ein Fehler auf, bevor wir hier mit den ganzen Zahlen jonglieren!
Viele Grüße
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:53 Do 05.01.2006 | | Autor: | Josef |
Hallo the-big,
> Ein Kapital von 100 000,-- Euro sei vom 1.1.2003 an
> zinseszinslich zu 5 % p. a. angelegt.
> Welcher konstante Betrag darf jeweils am Jahresende
> entnommen werden, wenn am
> 1.1.2015 noch genau 50 000,-- Euro auf diesem Konto sein
> sollen ?
> Hallo,
> In der Musterlösung steht als Ergebnis 8.141,27, ich habe
> 5641,27 und wüsste net was falsch sein sollte.
>
Ansatz:
[mm] 100.000*1,05^{12} [/mm] -R*[mm]\bruch{1,05^{12}-1}{0,05}[/mm] = 50.000
R = 8.141,27
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Do 05.01.2006 | | Autor: | the-big |
Danke erstmal für die Antworten.
Ich bin so vorgegangen:
Die ersten 50.000,- werden nur verzinst (sie sollen ja nicht entnommen werden) und die Zinsen werden am Jahresende sofort wieder entnommen, also:
Zinsen = 50.000,- * 0,05 = 2500,-
Die "anderen" 50.000,- werden ja durch die Rentenzahlungen verzehrt, also:
r = R0 * [mm] \bruch{q-1}{q^n * - 1} [/mm] = 50.000,- * [mm] \bruch{1,05-1}{1,05^{12} -1} [/mm] = 3.141,27
Nun addiere ich beide und komme auf 5641,27
Anscheinend fehlt mir da schon die Logik, was mache ich falsch?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Do 05.01.2006 | | Autor: | Josef |
Hallo,
deine Überlegungen sind nicht richtig.
Wird regelmäßig über n Jahren eine Rente R gezahlt, und wird das Guthaben mit p % verzinst, so beträgt der Rentenendwert:
nachschüssiger Rentenendwert: [mm] K_n [/mm] = R * [mm]\bruch{q^n -1}{q-1}[/mm]
Vor Beginn der regelmäßigen Zahlungen kann natürlich ein fester Betrag [mm] K_0 [/mm] bereits eingezahlt sein, so dass die Verzinsung desselben über die Jahre noch zu dem Rentenendwert dazukommt. Man spricht hier von der sogenannten Sparerformel oder Sparkassenformel.
Wird von einem Anfangskapital [mm] K_0 [/mm] eine n-malige Rente - beginnend nach einer Zinsperiode - abgehoben. so ergibt sich als Konotstand [mm] K_n [/mm] am Tage der n-ten Abhebung:
[mm] K_n [/mm] = [mm] K_0 *q^n [/mm] - R * [mm]\bruch{q^n -1}{q-1[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 Do 05.01.2006 | | Autor: | the-big |
Danke für die Antwort. Nachvollziehen kann ich es leider immer noch nicht, weil ich nicht weiss, was an meinen Überlegungen falsch war. Wenn ich 50.000 nur verzinse und die Zinsen gleich wieder abhebe und die anderen 50.000 wie meinen Rentenbarwert behandle, müsste ich meiner Meinung nach auf den selben Rentenbetrag kommen... ich seh den Fehler bei meinem Vorgehen nicht :(
Somit werde ich mir die Formel nun einfach einprägen und stur anwenden, auch wenn ich dabei eigentlich nicht weiss, was ich tue 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Do 05.01.2006 | | Autor: | the-big |
Juhu, bin jetzt selbst darauf gekommen. Hatte nur nicht bedacht, dass meine 50.000 der Rentenbarwert sind und nicht der Rentenendwert, somit ist die Formel ja:
R0 = r * [mm] \bruch{q^n-1}{q^n(q-1)}
[/mm]
also nach Umstellung nach r:
r = R0 * [mm] \bruch{q^n(q-1)}{q^n-1}
[/mm]
Damit komme ich dann auf 5641,27 für meine 50.000 Rente und habe zusätzlich die 2500 Zinsen aus meinen restlichen 50.000.
Also war ich garnet so falsch gelegen, nur hatte ich die Rentenendwertformeln statt der Rentenbarwertformel verwendet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:42 Do 05.01.2006 | | Autor: | Josef |
Hallo the-big,
als Anfangskapital hast du 100.000 Euro, das jährlich zu 5 % verzinst wird für eine Laufzeit von 12 Jahren. Dann erhälst du nach 12 Jahren einschließlich Zinsen:
[mm] 100.000*1,05^{12} [/mm] = 179.585,63 Euro.
Von diesem Betrag musst du nun die 12 jährlichen Ratenzahlungen, die ja auch verzinst wurden, abziehen.
Es wird für die gesamte Laufzeit von 12 Jahren ein Kapital von 100.000 gemindert jeweils um die jährlichen Raten verzinst.
Die Ratenzahlungen ermittelst du mit der Formel:
R * [mm]\bruch{1,05^{12}-1}{1,05-1}[/mm] = R*15,91712652
Du hast dann den Ansatz:
179.585,63 - R*15,91712652
Die Differenz bildet den Restbestand des Kapitals.
Der Restbestand des Kapitals soll jedoch,wie in der Aufgabe gefordert, 50.000 Euro betragen.
Jetzt hast du folgende Gleichung:
179.585,63 - R*15,91712652 = 50.000
Aufgelöst nach R = 8.141,27
Du darfst hier nicht den Rentenbarwert ermitteln. Hier ist der Rentenendwert festzustellen. Du willst ja wissen, wie hoch das zukünfte Kapital nach Abzug der Ratenzahlungen beträgt.
Noch einmal an einem Beispiel erläutert:
Am 1.1.01 beträgt das Guthaben auf einem Konto (10 % p.a.) 400.000 Euro Beginnend am 1.1.2.02 werden 60.000 Euro abgehoben.
Wie lautet der Kontostand nach der 5. Abhebung?
Ansatz:
[mm] K_5 [/mm] = [mm] 400.000*1,10^5 [/mm] - 60.000*[mm]\bruch{1,10^5 -1}{0,10}[/mm]
[mm] K_5 [/mm] = 277.989 Euro.
Extra-Tipp:
Bei solchen Aufgabenstellungen merke dir einfach die Sparkassenformel. Mit ein wenig Übung bekommst du dann das Gefühl für die Lösung solcher Aufgaben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:52 Do 05.01.2006 | | Autor: | the-big |
Hallo nochmal,
vielen Dank für den Tipp, ich versuch mir die Formel einzuprägen! Mir fehlt wirklich noch etwas die Übung, bringe die Formeln leider manchmal etwas durcheinander!
Viele Grüße
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