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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Residuen
Residuen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Residuen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:06 Sa 22.03.2008
Autor: Mr.Teutone

Aufgabe
a) Bestimmen Sie alle isolierten Singularitäten der Funktion

[mm] f(z)=\bruch{z}{e^z-1} [/mm] ,

deren Typ und das Residuum von [mm] \var{f} [/mm] in den entsprechenden Singularitäten.

b) Berechnen Sie [mm] \int_{|z|=7}f(z)dz. [/mm]

Hallo,

ich bin zunächst folgendermaßen vorgegangen:

[mm] e^z=1 ~~\Rightarrow~~ z_0=\ln |1|+2\pi \var{i k}=2\pi\var{i k} [/mm] , [mm] k\in \IZ [/mm]

Da es sich um Polstellen 1. Ordnung handelt, berechne ich die Residuen wie folgt:

[mm] Res_{z_0}f=\limes_{z\rightarrow 2\pi\var{i k}}(z-z_0)f(z)=\limes_{z\rightarrow 2\pi\var{i k}}\bruch{z(z-2\pi\var{i k})}{e^z-1}=\limes_{z\rightarrow 2\pi\var{i k}}\bruch{2z-2\pi\var{i k}}{e^z}=2\pi\var{i k} [/mm] , [mm] k\in \IZ [/mm]

Nach dem Residuensatz müsste ich doch nun einfach alle Residuen in [mm] |z|\leq [/mm] 7 addieren können. Also:

[mm] \int_{|z|=7}f(z)dz=2\pi\var{i}\cdot\summe [/mm] Residuen [mm] =2\pi\var{i}(-2\pi\var{i}+0+2\pi\var{i})=0 [/mm] , [mm] \var{(k=-1,0,1)} [/mm]

Das kann aber nicht sein, da ich ja somit als Spezialfall den Cauchyschen Integralsatz habe und die Funktion holomorph wäre... Wo liegt also mein Denkfehler? Vielen Dank schonmal für eure Hilfe.

        
Bezug
Residuen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:14 Sa 22.03.2008
Autor: Leopold_Gast

Wenn B aus A folgt, heißt das ja nicht, daß B nicht auch unter anderen Umständen eintreten kann. Das Integral ist 0, obwohl die Funktion an den Stellen [mm]-2 \pi \operatorname{i}[/mm] und [mm]2 \pi \operatorname{i}[/mm] Pole hat.

Bezug
                
Bezug
Residuen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:30 So 23.03.2008
Autor: Mr.Teutone

Dann ist die Lösung so in Ordnung. Hätte ich aber nicht gedacht. Also vielen Dank für die Hilfe.

Bezug
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