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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:18 Di 18.11.2008 | | Autor: | Susan86 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie für [mm] n\ge2 \integral_{0}^{\infty}{1/(1+(x^n)) dx} [/mm] = [mm] (\pi)/\(n*sin(\pi/n)) [/mm] |
Hallo,
auch bei dieser Aufgabe komm ich nicht so ganz voran, sie ist so ähnlich , wie eine andere , die ich schon reingestellt habe. Also als HInweis soll man den Rsiduensatz verwenden und den Weg [mm] \partial(r*e^{it} [/mm] | 0 < r < R , 0 < t < [mm] 2\pi/n)
[/mm]
Hab absolut keinen Ansatz und würde michüber jede Hilfe freuen....
Dankeschön schonmal...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Do 20.11.2008 | | Autor: | Susan86 |
Ich habe leider noch ein Problem bei dieser Aufgabe und komme leider nicht weiter.
Klar geht soähnich wie die Aufgabe, die ich zuvor reingestellt habe jedoch hänge ich bei eir Sache.
Zunächst berechne ich die Polstellen in Abhängigkeit von n , wobei diese [mm] e^{(\pi i/n) + (2\pi ik/n)}
[/mm]
Soweit ist das alles okay mein Problem ist jetzt nur wie weitermachen, Tipp von unerem Tutor war zuert für ungerade und dann für gerade n das Residuum auszurechnen. Bei geraden n sei dies Trivial, da ich dann einfach das Integral von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty [/mm] laufen lassen kann und dann * 1/2 wegen der Symetrie, wobei wir dies noch begründen müssen. Für ungerade Hochzahlen sei dies nicht so einfach aber weitere Tips hat er dazu nicht gegeben und ich weis einfach nicht wie weitermachen. Wäre echt lieb wenn mir noch jemand helfen könnte.
Liebe Grüße und danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:38 Sa 22.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich habe leider noch ein Problem bei dieser Aufgabe und
> komme leider nicht weiter.
> Klar geht soähnich wie die Aufgabe, die ich zuvor
> reingestellt habe jedoch hänge ich bei eir Sache.
> Zunächst berechne ich die Polstellen in Abhängigkeit von n
> , wobei diese [mm]e^{(\pi i/n) + (2\pi ik/n)}[/mm]
> Soweit ist das
> alles okay mein Problem ist jetzt nur wie weitermachen,
> Tipp von unerem Tutor war zuert für ungerade und dann für
> gerade n das Residuum auszurechnen. Bei geraden n sei dies
> Trivial, da ich dann einfach das Integral von [mm]-\infty[/mm] bis
> [mm]\infty[/mm] laufen lassen kann und dann * 1/2 wegen der
> Symetrie, wobei wir dies noch begründen müssen. Für
> ungerade Hochzahlen sei dies nicht so einfach aber weitere
> Tips hat er dazu nicht gegeben und ich weis einfach nicht
> wie weitermachen. Wäre echt lieb wenn mir noch jemand
> helfen könnte.
Für gerade Werte von n geht die Aufgabe wirklich genauso wie die vorige, denn für n gerade ist
[mm] \integral_{0}^{\infty}\bruch{1}{1+x^n} dx = \bruch{1}{2} \integral_{-\infty}^{+\infty}\bruch{1}{1+x^n} dx
[/mm] (warum?),
und dieses Integral lässt sich analog ausrechnen, nur dass du jetzt n/2 Pole oberhalb und n/2 Pole unterhalb der reellen Achse hast.
Für ungerade n geht es nicht, denn ein Pol liegt bei x=-1 auf der negativen reellen Achse.
Für beliebige n hilft der Tipp, den du in deinem erstem Post erwähnt hast: Berechne das Kurvenintegral entlang des geschlossenen Weges, der auf diesen drei Stücken besteht:
1. die gerade Strecke von 0 bis R,
2. der Kreisbogen um den Ursprung vom Radius R und Winkel [mm] $\pi/n$, [/mm] also von R bis [mm] $Re^{2\pi i/n}$,
[/mm]
3. die gerade Strecke von [mm] $Re^{\pi i/n}$ [/mm] bis 0.
Das geht wieder einmal mit dem Residuensatz (welche Pole liegen innerhalb des Weges?) und dann auch durch Zerlegung in drei Summanden, die du wieder geschickt bearbeiten musst.
Viele Grüße
Rainer
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