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| Aufgabe | a) Gib die Laurent-Reihe zur Funktion [mm] f(z)=e^{-\bruch{1}{z^2}} [/mm] um den Punkt z=0 an und bestimme das Residuum.
b) cosh z hat bei z= [mm] \bruch{i\pi}{2} [/mm] eine einfache Nullstelle. Wie lautet das Residuum von [mm] f(z)=\bruch{1}{cosh z} [/mm] im Punkt z= [mm] \bruch{i\pi}{2}? [/mm] |
Hallo zusammen,
leider komme ich mit den Aufgaben nicht wirklich voran.
zu a) f(z) = [mm] \summe_{i=o}^{\infty} [/mm] (-1)i [mm] \bruch{z^{-2i} }{i!} [/mm] stimmt die Laurent-Reihe? Wie komme ich hier an das Residuum?
b) .....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 So 27.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> a) Gib die Laurent-Reihe zur Funktion
> [mm]f(z)=e^{-\bruch{1}{z^2}}[/mm] um den Punkt z=0 an und bestimme
> das Residuum.
>
> b) cosh z hat bei z= [mm]\bruch{i\pi}{2}[/mm] eine einfache
> Nullstelle. Wie lautet das Residuum von [mm]f(z)=\bruch{1}{cosh z}[/mm]
> im Punkt z= [mm]\bruch{i\pi}{2}?[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> leider komme ich mit den Aufgaben nicht wirklich voran.
>
> zu a) f(z) = [mm]\summe_{i=o}^{\infty}[/mm] (-1)i [mm]\bruch{z^{-2i} }{i!}[/mm]
> stimmt die Laurent-Reihe? Wie komme ich hier an das
> Residuum?
Als Summationsindex i zu nehmen ist in der komplexen Analysis keine gute Idee !
Es ist
f(z) = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] [mm] (-1)^n[/mm] [mm]\bruch{z^{-2n} }{n!}[/mm]
Diese Reihe ist von der Form
[mm] c_0+c_1/z+c_2/z^2+....
[/mm]
Das Residuum ist [mm] =c_1
[/mm]
FRED
>
> b) .....
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Sorry, ja i als Index zu nehmen war wohl nicht so schlau...
Ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch.....
Ich setzte in die Reihe erst n=0, dann n=1 etc. ein.
Bei z=0 kommt der Wert 1 heraus. Also wäre [mm] c_{0}=1. [/mm]
Nun setzte ich n=1 ein. [mm] (-1)^1 \bruch{z^{-2*1}}{1!} [/mm] = [mm] -1z^{-2} [/mm] ?
[mm] \bruch{-1z^{-2}}{z} =\bruch{c_{1}}{z}
[/mm]
Was mache ich falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:15 So 27.05.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo diemelli1,
bei der Entwicklung der Laurent-Reihe um den Punkt z = 0 herum, entsteht eine Reihe, die auch ein Glied der Potenz -1 besitzt, also [mm] z^{-1} [/mm]. Der Koeffizient dieses Terms, nicht der gesamte Term, ist das Residuum.
Viele Grüße,
Infinit
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wenn für n=-1 einsetze kommt fast das gleiche wie bei n=1 heraus.
[mm] (-1)^{-1}\bruch {z^{(-2)*(-1)}}{-1!} [/mm] = [mm] z^2
[/mm]
.... verstehe das leider nicht
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f(z) = [mm] 1+0*1/z-1*1/z^2+0*1/z^3+\frac{1}{2}*1/z^4+...
[/mm]
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Danke für die Hilfe.
Wie stelle ich bei Aufgabe b) die Laurent Reihe auf? bzw. wie komme ich dort an das Residuum?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:33 Mo 28.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Regel:
Hat f in [mm] z_0 [/mm] einen einfachen Pol, so ist das Residuum von f in [mm] z_0:
[/mm]
[mm] \limes_{z\rightarrow z_0}(z-z_0)f(z)
[/mm]
FRED
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heißt das ich würde folgendes herausbekommen? [mm] z_{o}= \bruch{i\pi}{2}
[/mm]
[mm] \limes_{z\rightarrow\z_{0}} (z-z_{0})f(z) [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{i\pi}{z}coshz^2}{-sinhz} [/mm]
stimmt das? die Ableitung von cosh ist [mm] \bruch{-sinhz}{coshz^2}
[/mm]
Wie kann ich hier kürzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Mo 28.05.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
die Rechenvorschrift hat Fred doch angegeben. Hierbei entsteht ein Ausdruck der Form "0/0". Einmal L'Hosital angewendet ergibt
[mm] \bruch{-i\cdot \bruch{\pi}{2}}{i} = - \bruch{\pi}{2} [/mm]
Viele Grüße,
Infinit
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Also das ist mir noch nicht so ganz klar. Wenn ich in die Berechnungsvorschrift mein f(z) einsetze, dann erhalte ich doch folgendes:
[mm] Res_\left z = z_0 \right [/mm] f(z) = [mm] \limes_{ z \rightarrow \bruch{i\pi}{2} } \left(z - \bruch{i\pi}{2}\right) \cdot \bruch{1}{cosh(z)}
[/mm]
Nur wo setze ich da jetzt genau den L'Hospital an? Das ist doch im Endeffekt komplett 0 wenn ich z gegen die Polstelle laufen lasse, denn die Klammer wird null und somit ist der ganze Ausdruck 0 oder sehe ich das falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Di 29.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Also das ist mir noch nicht so ganz klar. Wenn ich in die
> Berechnungsvorschrift mein f(z) einsetze, dann erhalte ich
> doch folgendes:
> [mm]Res_\left z = z_0 \right[/mm] f(z) = [mm]\limes_{ z \rightarrow \bruch{i\pi}{2} } \left(z - \bruch{i\pi}{2}\right) \cdot \bruch{1}{cosh(z)}[/mm]
>
> Nur wo setze ich da jetzt genau den L'Hospital an?
Lass das mit L'Hospital !
Betrachte doch mal
[mm] \limes_{ z \rightarrow \bruch{i\pi}{2} } \bruch{cosh(z)}{(z - \bruch{i\pi}{2})}=\limes_{ z \rightarrow \bruch{i\pi}{2} } \bruch{cosh(z)-cosh(\bruch{i\pi}{2})}{(z - \bruch{i\pi}{2})}
[/mm]
und denke an Differenzenquotienten !
FRED
> Das ist
> doch im Endeffekt komplett 0 wenn ich z gegen die Polstelle
> laufen lasse, denn die Klammer wird null und somit ist der
> ganze Ausdruck 0 oder sehe ich das falsch?
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