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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:00 Di 28.06.2022 | | Autor: | nkln |
| Aufgabe | Berechne das folgende reelle Integral
[mm] $\int_{-\infty}^{\infty} \! \frac{x^2cos(x)}{x^4-1} \, [/mm] dx$ |
Hallo
Sei zunächst [mm] $R(x):=\frac{x^2cos(x)}{x^4-1}$ [/mm] . Dann ist der Nenner Grad $= 4$ und der Zählergrad $=2$ . Insbesondre ist der Zählergrad um $2$ kleiner als der Nenner Grad.
$R(x)$ hat zwei reelle Polstellen und zwar [mm] $x_1=1$ [/mm] und [mm] $x_2=-1$ [/mm] . Des weiteren hat $R(x)$ die Polstellen [mm] $x_3=i$ [/mm] und [mm] $x_4=-i$. [/mm]
Wie machen ich jetzt weiter? Wir hatten bisher immer den Fall, dass $R(x) $keine reellen Polstellen hatte, was muss ich jetzt machen?
Danke für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:53 Di 28.06.2022 | | Autor: | Chris84 |
Huhuuuu
Wo kommt das Integral denn her?
Das Integral kann doch nicht berechnet werden bzw. konvergiert nicht? Hast du mal den Integranden geplottet? Du integrierst ja tatsaechlich ueber zwei Polstellen (naemlich +1 und -1).
Was man in der Physik manchmal macht, ist die Polstellen in der komplexen Ebene ein wenig nach oben (oder unten) zu heben, also etwa $1+i [mm] \epsilon$, [/mm] und am Ende den Limes [mm] $\epsilon \rightarrow [/mm] 0$ zu betrachten.
Das geht aber nur, wenn das Integral auch konvergiert und das sehe ich hier nicht ;)
Schoene Gruesse,
Chris
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:30 Mi 29.06.2022 | | Autor: | fred97 |
Sei $f(x):= [mm] \frac{x^2cos(x)}{1-x^4} [/mm] $ . Wir betrachten $f$ im Intervall $(0,1)$ und stellen fest:
$x^2f(x) [mm] \to \infty$ [/mm] für $x [mm] \to1 [/mm] -0.$
Also gibt es ein $a [mm] \in [/mm] (0,1)$ mit $x^2f(x) [mm] \ge [/mm] 1$ für alle $x [mm] \in [/mm] [a,1)$. Folglich ist
$f(x) [mm] \ge \frac{1}{x^2}$ [/mm] für $ a [mm] \le [/mm] x <1.$
Damit ist das Integral [mm] $\int_0^1f(x) [/mm] dx$ divergent. Somit ist auch
$ [mm] \int_{-1}^{1} \! \frac{x^2cos(x)}{x^4-1} \, [/mm] dx $ divergent.
Fazit: das Integral
$ [mm] \int_{-\infty}^{\infty} \! \frac{x^2cos(x)}{x^4-1} \, [/mm] dx $ ist divergent.
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> Berechne das folgende reelle Integral
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> [mm]\int_{-\infty}^{\infty} \! \frac{x^2cos(x)}{x^4-1} \, dx[/mm]
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Kann es sein, dass ein Lese- oder Schreibfehler vorliegt und es
[mm]\int_{-\infty}^{\infty} \! \frac{x^2cos(x)}{x^4\red{+}1} \, dx[/mm]
heißen soll? Das gäbe Sinn.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:38 Do 30.06.2022 | | Autor: | fred97 |
> > Berechne das folgende reelle Integral
> >
> > [mm]\int_{-\infty}^{\infty} \! \frac{x^2cos(x)}{x^4-1} \, dx[/mm]
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> Kann es sein, dass ein Lese- oder Schreibfehler vorliegt
> und es
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> [mm]\int_{-\infty}^{\infty} \! \frac{x^2cos(x)}{x^4\red{+}1} \, dx[/mm]
>
> heißen soll? Das gäbe Sinn.
Ja, das könnte gut sein.
Hier: https://www.asc.tuwien.ac.at/~herfort/BAKK/Roetzer.pdf auf Seite 5 findet man in diesem Fall Formeln
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