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Forum "Differentiation" - Restglied & Fehlerabschätzung
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Restglied & Fehlerabschätzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:19 Do 12.03.2009
Autor: DarkCell

Aufgabe
Gegeben sei die durch
f(x)= ln( [mm] \wurzel{2+x}) [/mm] - [mm] \bruch{1}{x+2} [/mm]
definierte reellwertige Funktion.

c)Als Näherungswert für [mm] f(\bruch{-1}{2}) [/mm] bestimme man den Wert des Taylorpolynoms
[mm] T_{3}( \bruch{-1}{2} [/mm] ;−1) und schätze den Fehler nach oben ab.

Das Taylor Polnom zu bilden ist kein Problem:
[mm] T_{3}(x;-1)=-1+\bruch{3}{2}*(x+1)+\bruch{-5}{4}*(x+1)^{2}+\bruch{7}{6}*(x+1)^{3} [/mm]
folglich:
[mm] T_{3}(\bruch{-1}{2};-1)=-\bruch{5}{12} [/mm]

Aber wie schätze ich nun den Fehler ab.
Für das Restglied kenne ich die Lagrangsche Formel. Diese ergibt für das Restglied:
[mm] (\varepsilon [/mm] soll Xi entsprechen also dem griechischen Buchstaben Xi)
[mm] R_{3}(-\bruch{1}{2};-1) =-\bruch{1}{16*24}*(\bruch{3}{(\varepsilon+2)^{4}} [/mm] + [mm] \bruch{24}{(\varepsilon +2)^{5}}) [/mm]

Ich weiß aber nicht was ich mit dem Xi anfangen soll also in der Gleichung mit dem epsilon (hab kein Xi gefunden)

        
Bezug
Restglied & Fehlerabschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:27 Do 12.03.2009
Autor: fred97

Du sollst



$ [mm] |R_{3}(-\bruch{1}{2};-1) |=\bruch{1}{16\cdot{}24}\cdot{}(\bruch{3}{(\varepsilon+2)^{4}} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{24}{(\varepsilon +2)^{5}}) [/mm] $


nach oben abschätzen.

Das solltest Du hinbekommen, wenn Du beachtest:  $-1 [mm] \le \varepsilon \le [/mm]  -1/2$



FRED

Bezug
                
Bezug
Restglied & Fehlerabschätzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:23 Do 12.03.2009
Autor: DarkCell

Wie mach ich das denn wenn ich in einem intervall den Fehler abschätzen soll? Bei beidem also bei x und Xi schaun wann der ganze Term möglichst groß wird?

Bezug
                        
Bezug
Restglied & Fehlerabschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:27 Do 12.03.2009
Autor: fred97

Oben war

             $ -1 [mm] \le \varepsilon \le [/mm] -1/2 $

Dann ist 1 [mm] \le \varepsilon+2 \le3/2, [/mm] also  [mm] \bruch{1}{\varepsilon+2} \le [/mm] 1

Kommst Du jetzt weiter ?

FRED

Bezug
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