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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:49 Mo 24.11.2008 | | Autor: | brichun |
| Aufgabe | Gesucht ist das Restglied für die Funktion [mm] f(x) = \wurzel{x} [/mm]
Entwicklung: xo = 4
Ordnung: n=2
Bereich für 3< x <5 |
Meine Ableitungen:
[mm] f(x)= \wurzel{x} [/mm]
[mm] f^1(x)= \bruch{1}{2*\wurzel{x}} [/mm]
[mm] f^2(x)= -\bruch{1}{4*\wurzel{x^3}} [/mm]
[mm] f^3(x)=f^{n+1}(x)= \bruch{3}{8*\wurzel{x^5}} [/mm]
Restglied nach Lagrange:
[mm] Rn(x) = \bruch{f^{n+1}(\gamma)}{(n+1)!} * (x-xo)^{n+1} [/mm]
Für [mm]\gamma<\left| x-xo \right| [/mm]
[mm] f^{n+1}(x) = \bruch{3}{8*\wurzel{x^5}}[/mm]
Einsetzen in Restgliedformel:
[mm] Rn(x)= \bruch{3}{8*6*\wurzel{\gamma^5}} * (x-4)^3[/mm]
[mm]\gamma=\left| 3-4 \right| = 1 [/mm]
[mm]\gamma=\left| 5-4 \right| = 1 [/mm]
[mm] Rn(x)= \bruch{3}{8*6*\wurzel{1^5}} * (5-4)^3[/mm]
Bei mir kommt da [mm] \bruch {1}{16} [/mm] raus.
im Ergebnis steht bei mir
[mm] Rn(x)<= 0.004 [/mm]
Was ist da falsch?
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> Gesucht ist das Restglied für die Funktion [mm]f(x) = \wurzel{x}[/mm]
>
> Entwicklung: xo = 4
> Ordnung: n=2
> Bereich für 3< x <5
> Restglied nach Lagrange:
>
> [mm]Rn(x) = \bruch{f^{n+1}(\gamma)}{(n+1)!} * (x-xo)^{n+1}[/mm]
>
>
> Für [mm]\gamma<\left| x-xo \right|[/mm]
(???)
> [mm]f^{n+1}(x) = \bruch{3}{8*\wurzel[5]{x}}[/mm]
diese 5.Wurzel ist falsch !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:46 Mo 24.11.2008 | | Autor: | brichun |
Danke Ich hab jetzt meinen Fehler gefunden -> falsche Ableitung ;)
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> Danke Ich hab jetzt meinen Fehler gefunden -> falsche
> Ableitung ;)
ja, und das [mm] \gamma [/mm] in deiner Formel steht in dem Beispiel
natürlich nicht für eine Zahl mit [mm] |\gamma|<1 [/mm] , sondern
für eine Zahl zwischen 3 und 5
Gruß
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Di 25.11.2008 | | Autor: | brichun |
[mm] \gamma [/mm] ist also eine Zahl zwischen dem Bereich 3 - 5
ja dann funktionniert es.
Ich hab in meinem Mathebuch folgendes für Gamma stehen
[mm] x<\gamma
das ist doch nicht der Bereich zwischen 3-5 ?
richt wäre es doch so?
[mm] [mm] \left|x\right|<\gamma
da ja x positiv oder negativ zum Entwicklungspunkt xo den Bereich eingrenzt.
Vielen dank für die Hilfe!
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> [mm]\gamma[/mm] ist also eine Zahl zwischen dem Bereich 3 - 5
>
> ja dann funktionniert es.
>
> Ich hab in meinem Mathebuch folgendes für Gamma stehen
>
> [mm]x<\gamma
>
> das ist doch nicht der Bereich zwischen 3-5 ?
>
> richt wäre es doch so?
>
> [mm][mm]\left|x\right|<\gamma
> da ja x positiv oder negativ zum Entwicklungspunkt xo den Bereich eingrenzt.
Im Beispiel will man eine Obergrenze für den
absoluten Fehler, den man macht, wenn man
für ein beliebiges [mm] x\in[3;5] [/mm] die Wurzelfunktion
durch das Taylorpolynom [mm] T_2(x) [/mm] ersetzt.
[mm] \gamma [/mm] ist für jedes x irgendeine zwischen
[mm] x_0 [/mm] und x liegende Zahl, also ist entweder
[mm] x<\gamma
Um den Betrag des Restgliedes nach oben
abzuschätzen, muss man sich überlegen,
wie gross der Term
[mm] \left|\bruch{f'''(\gamma)}{3!}*(x-4)^3\right|
[/mm]
höchstens werden kann, wenn
$\ x [mm] \in[3;5]$ [/mm] und [mm] $\gamma \in[3;5]$
[/mm]
[mm] \left|f'''(\gamma)\right| [/mm] wird im betrachteten Intervall
am grössten, wenn [mm] \gamma=3, [/mm] |x-4| ist
maximal 1 (falls x=3 oder x=5). Insgesamt
kommt man dann auf die Ungleichung
[mm] |R_2(x)|\le \left| \bruch{f'''(3)}{3!}*1^3\right|\approx\left|\bruch{0.02406}{6}*1 \right| \approx0.004 [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:24 Do 27.11.2008 | | Autor: | brichun |
Jetzt hab ichs verstanden
vielen dank
gruß
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