Restglied von Taylor < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Fr 13.06.2008 | | Autor: | Tobus |
| Aufgabe | f1(x)=sin(x), x1=0,1
Geben sie ein möglichst kleines n1N an, so dass abs(R_(n1)(x1))<=10^(-7).
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Hallo,
mein Restglied lautet ja:
sin(0,1) - [mm] \summe_{j=1}^{n} ((sin(0,1)^j)/j!)*(x-0,1)^j
[/mm]
Wie kann ich aber ein n finden, so dass mein Restglied <=10^-7 ist ?
Bin für jeden Hinweis dankbar!
Tobus
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Hey
Also ich muss sagen, dass deine Aufgabe schwer zu entziffern ist. Versuch sie nochmal neu, klarer und vorallem mit den Sonderzeichen vom Matheraum zu stellen.
An welcher Stelle solltest du z.B. entwickeln und warum steht bei dir in der Summe noch ein sin(0,1)?
Gruß
Woodstock
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:53 Sa 14.06.2008 | | Autor: | Tobus |
| Aufgabe | Für die Funktion
f(x)=sin(x)
soll ein möglichst kleines n [mm] \in [/mm] N gefunden werden, so dass |Rn1(0,1)| <= 10^(-7) |
Das Restglied wird ja so bestimmt:
|f(x)-Tn(x)|
also
|sin(x) - [mm] \summe_{j=0}^{n} \bruch {(sin(0,1)^j}{j!} [/mm] * [mm] (x-0,1)^j|
[/mm]
und dies muss kleiner gleich 10^(-7) sein. Ich weiß aber leider nicht, wie ich ein n bestimmen kann, so dass dies gültig ist.
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> f1(x)=sin(x), x1=0,1
> Geben sie ein möglichst kleines n1N an, so dass
> abs(R_(n1)(x1))<=10^(-7).
>
> Hallo,
> mein Restglied lautet ja:
> sin(0,1) - [mm]\summe_{j=1}^{n} ((sin(0,1)^j)/j!)*(x-0,1)^j[/mm]
>
> Wie kann ich aber ein n finden, so dass mein Restglied
> <=10^-7 ist ?
>
> Bin für jeden Hinweis dankbar!
Hallo,
zunächst kann ich das, was woodstock sagt, nur unterstreichen.
Du hast nun mehr als 30mal in diesem Forum gepostet, und ich würde erwarten, daß Du Dich mit dem Formeleditor inzwischen vertraut gemacht hast, die Eingabehilfen finden sich ja direkt unter dem Eingabefenster, und ein Klick auf "Vorschau" liefert Dir eine Voransicht des Posts.
Durch Klick auf "eigenen Artikel bearbeiten" (oder so ähnlich) kannst Du - Deinen eigenen Artikel bearbeiten.
Da Du Hilfe erwartest (und auch schon allerlei Hilfe im Forum bekommen hast), ist es einfach auch eine Art der Höflichkeit dem potentiellen Antwortgeber gegenüber, wenn Du Dir mit der Abfassung Deines Posts etwas Mühe gibst. Und im eigenen Interesse ist es auch, denn gekrakelte Fragen werden i.d.R. nicht so schnell beantwortet wie leserliche.
Zum eigentlichen Thema: fürs Restglied sollten Dir aus der Vorlesung Restgliedformeln zur Verfügung stehen, z.B. das Lagrangesche Restglied. Schau Dich dort mal um.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Sa 14.06.2008 | | Autor: | Tobus |
Hallo,
ja eine Formel für das Restglied habe ich:
[mm] R_{n}(x) [/mm] = [mm] f(x)-T_{n}(x)
[/mm]
hier gegeben: [mm] x_{0}=0,1
[/mm]
f(x)=sin(x)
[mm] Tn(x)=\summe_{j=0}^{n} \bruch {(sin(0,1)^j}{j!} *(x-0,1)^j
[/mm]
also laut der Formel von oben:
[mm] R_{n}(x) [/mm] = sin(x) - [mm] \summe_{j=0}^{n} \bruch {(sin(0,1)^j}{j!} *(x-0,1)^j
[/mm]
wobei [mm] R_{n}(x)<=10^{-7}
[/mm]
wie kann ich von meiner Formel nun ein n bestimmen, so dass [mm] R_{n}(x)<=10^{-7} [/mm]
?
Ich hoffe die Form stimmt nun ;)
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> Hallo,
> ja eine Formel für das Restglied habe ich:
> [mm]R_{n}(x)[/mm] = [mm]f(x)-T_{n}(x)[/mm]
Hallo,
das ist doch einfach der Rest, die Differenz zwischen der Funktion und dem n-ten Taylorpolynom.
Was Du benötigst, ist eine der Restgliedformeln. [mm] f(x)-T_{n}(x)=...
[/mm]
Es gibt Formeln für [mm] R_n, [/mm] und ich möchte Dir das Suchen in Deinen Unterlagen ungern abnehmen.
Falls Du keine Unterlagen hast, ist auch Wikipedia oft eine gute Freundin.
Hast Du denn mal geschaut, ob Du das Lagrangesche Restglied findest?
Damit kannst Du dann abschätzen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Sa 14.06.2008 | | Autor: | Tobus |
ah ok, das lagragesche restglied lautet:
[mm] R_{n}(x) [/mm] = [mm] \bruch{f^{n+1}(\partial)}{(n+1)!} (x-x_{0})^{n+1}
[/mm]
wobei [mm] \partial [/mm] < [mm] |x-x_{0}|
[/mm]
ich würde nun so vorgehen:
n von 1 ab immer um 1 erhöhen, bis [mm] R_{n}(x) [/mm] <= [mm] 10^{-7}. [/mm] Ist dieses Vorgehen dann richtig ?
Nun habe ich aber noch ein Problem. Ich weiß, dass mein [mm] \partial [/mm] < [mm] |x-x_{0}|. [/mm] Nun weiß ich hier aber nur mein [mm] x_{0}. [/mm] Wie soll ich nun mein [mm] \partial [/mm] bestimmen ?
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> ah ok, das lagragesche restglied lautet:
>
> [mm]R_{n}(x)[/mm] = [mm]\bruch{f^{n+1}(\partial)}{(n+1)!} (x-x_{0})^{n+1}[/mm]
>
> wobei [mm]\partial[/mm] < [mm]|x-x_{0}|[/mm]
Hallo,
nein, Dein [mm] \partial [/mm] muß zwischen x und [mm] x_0 [/mm] liegen.
> Nun habe ich aber noch ein Problem.
Ich auch. Und zwar gibt es ein Problem, welches woodstock ganz am Anfang schon angesprochen hatte:
In welchem Punkt sollst Du eigentlich die Funktion entwickeln?
Ja wohl nicht im Punkt [mm] x_1=0.1.
[/mm]
Denn hier würde sich die Suche nach dem kleinsten n, für welches das Restglied [mm] \le 10^{-7} [/mm] ist, völlig erübrigen, denn im Entwicklungspunkt stimmen Taylorpolynom und Funktion ja überein.
Soll der Entwicklungspunkt vielleicht [mm] x_0=0 [/mm] sein?
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 16:25 Sa 14.06.2008 | | Autor: | Tobus |
Oh ja, tut mir leid, der Entwicklungspunkt soll [mm] x_{0}=0 [/mm] sein, und an der Stelle [mm] x_{1}=1 [/mm] soll der Fehler höchstens [mm] 10^{-7} [/mm] sein.
also wäre:
[mm] R_{n} [/mm] = [mm] \bruch{f^{n+1}(\partial)}{(n+1)!} (x-x_{0})^{n+1}
[/mm]
= [mm] \bruch{f^{n+1}(0,05)}{(n+1)!} (0-0,1)^{n+1}
[/mm]
für n=1: 0,00001
für n=2: -0,00000002
also wäre das ergebnis hier für n=2 ?
edit: mein [mm] \partial [/mm] ist im intervall also frei wählbar ?
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> Oh ja, tut mir leid, der Entwicklungspunkt soll [mm]x_{0}=0[/mm]
> sein, und an der Stelle [mm]x_{1}=1[/mm] soll der Fehler höchstens
> [mm]10^{-7}[/mm] sein.
Aha. Allmählich nimmt die Sache Formen an.
>
> also wäre:
> [mm]R_{n}[/mm] = [mm]\bruch{f^{n+1}(\partial)}{(n+1)!} (x-x_{0})^{n+1}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{f^{n+1}(0,05)}{(n+1)!} (0-0,1)^{n+1}[/mm]
>
> für n=1: 0,00001
> für n=2: -0,00000002
>
> also wäre das ergebnis hier für n=2 ?
>
> edit: mein [mm]\partial[/mm] ist im intervall also frei wählbar ?
Ich bin fast schon nicht mehr daheim und rechne daher im Moment nichts nach.
Nur noch ein Hinweis: Überall, wo [mm] x-x_0 [/mm] steht, hast Du nun x-0=x.
Dein [mm] \partial [/mm] liegt zwischen 0 und 1. Zum Abschätzen wählst Du es so, daß die Abschätzung nicht falsch wird.
Einfach 0,05 dafür einsetzen darfst Du nicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Sa 14.06.2008 | | Autor: | Tobus |
ja, denn mein x=0 und mein [mm] x_{0}=0,1 [/mm] (sorry habe mich oben verschrieben)
deswegen liegt mein [mm] \partial [/mm] zwischen 0 und 0,1. ich habe jetzt einfach 0,05 genommen, ohne weiteren Hintergrund.
Wie müsste ich dies richtig wählen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Sa 14.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Für ne Fehlerabschätzung musst du immer den Wert nehmen, der den größten Fehler in dem Intervall gibt, hier also 0,1.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Sa 14.06.2008 | | Autor: | Tobus |
ok super, vielen dank !!
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