Restglied von Taylor < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:15 Do 17.03.2005 | | Autor: | kruder77 |
Guten Abend zusammen,
Ich habe da eine Frage...
...und zwar, geht es um das Restglied von Taylor. Das wird ja im Allgemeinen nach
Lagrange oder auch Cauchy bzw. Euler bestimmt. Wie das ansich funktioniert ist mir
klar (Zumindest nach Lagrange mit den anderen habe ich noch nichts zu tun gehabt).
Das was ich nicht verstehe ist wie ich mir selber ein am besten geeignetes Intervall
(wie z.B [0<y<1] für die Taylorreihe von [mm] e^{x}) [/mm] wähle. Wo liegen dort die grundlegenden
Überlegungen?
MfG kruder77
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo kuder77,
Mir ist die Frage etwas unklar ich nehme allerdings an das Du [mm] e^x [/mm] numerisch berechnen willst und dazu die Taylorreihe nutzen oder liege ich da falsch? Falls Du noch an einer Antwort interessiert bist solltest Du das etwas näher erläutern.
gruß
mathemaduenn
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 07:59 Sa 19.03.2005 | | Autor: | kruder77 |
hallo mathemaduenn,
nein, es geht mir nicht speziell um die darstellung von $ [mm] e^x [/mm] $, sondern wie ich im allgemeinen beim restglied ein geeignetes intervall zur bestimmung festlege. beim $ [mm] e^x [/mm] $ war das im buch mit [0<y<1] angegeben. und ich habe mich halt gefragt, warum das so festgelegt wurde!??? bzw. was für ein gedanke dort ausschlaggebend ist. aber wenn mir das jemand anhand von $ [mm] e^x [/mm] $ erklären kann, anstatt allgemein, so ist das natürlich auch total ok - bin ja für jeden hint dankbar!
mfg kruder77
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Hallo kuder77,
Wenn man [mm] e^x [/mm] berechnet wird der Restgliedfehler im intervall (0,1) wohl besonders interessieren da
[mm] e^{2.345}=e*e*e^{0.345}
[/mm]
oder anders habe ich e im Intervall (0,1) kann man beliebige e mittels Grundrechenoperationen bestimmen.
gruß
mathemaduenn
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Bei der Taylor-Reihe ist nicht festgelegt, nach welchem Glied du deine Berechnungen abbrechen solltest. Nimm z.B. f(x) = sin(x) und das 1. Glied der Taylor-Reihe: x. Im Bogenmaß stimmen x und sin(x) für ganz kleine x sehr gut überein, aber bei x=Pi ist sin(x)=0, die Übereinstimmung ist völlig im Eimer. Das Fehlerglied gibt dir Auskunft darüber, wie groß dein Fehler maximal ist, wenn du nach dem n-ten Glied abbrichst und den Wert x einsetzt. Exakte Darstellung: Du suchst Dir zunächst einen sogenannten "Entwicklungspunkt" [mm] x_{0} [/mm] aus (das muss nicht immer 0 sein, manchmal geht das gar nicht, z.B. bei [mm] \wurzel{x}).
[/mm]
Dann ist f(x) = [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{f^{(i)}(x_{0})}{i!}*(x-x_{0})^{i} [/mm] + Restglied, wobei das Restglied fast so aussieht wie das allgemeine Glied, nämlich [mm] \bruch{f^{(n+1)}(x_{m})}{(n+1)!}*(x-x_{0})^{n+1}, [/mm] wobei [mm] x_{m} [/mm] ein x-Wert zwischen x und [mm] x_{0} [/mm] ist. Wenn ihr also bei der e-Funktion den Entwicklungspunkt 0 und für [mm] x_{m} [/mm] den Wert 1 gewählt habt, bedeutet das, dass man auch den Wert für [mm] e^{x} [/mm] nur zwischen 0 und 1 berechnen will und dafür den Fehler bestimmen will (man muss sich zur Abschätzung des Fehlers den ungünstigsten Fall für [mm] x_{m} [/mm] aussuchen, bei dem der Fehler also am größten wird. Dann weiß man, dass der tatsächliche Wert günstiger ist).
Willst du also [mm] e^{8} [/mm] ausrechnen, solltest du bei Restglied die Ableitung an der Stelle 8 wählen: [mm] \bruch {8^{n+1}}{(n+1)!}. [/mm] Deshalb musst du n so hoch wählen, dass dieser Term so klein wie gewünscht wird.
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