www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Reihen" - Restgliedabschätzung von Tayl.
Restgliedabschätzung von Tayl. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Restgliedabschätzung von Tayl.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:30 Sa 12.05.2012
Autor: Argot

Aufgabe
Zeigen sie das die Abweichung von [mm] T_2(x) [/mm] zu f(x) im Intervall [0,1] kleiner als 0.125 ist.

Ich habe das Taylorpolynom [mm] T_2(x) [/mm] zu [mm]f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{8}[/mm] berechnet und möchte nun die Abweichung berechnen. Die vorliegenden Daten sind nun folgende:

[mm]T_2(x) = \frac{x}{4}[/mm]

Entwicklungspunkt [mm]x_0 = 0[/mm]

[mm]\tilde{x} \in [0,1][/mm]

Zur Abschätzung möchte ich Lagrange nutzen. Wenn ich nun die Werte einsetze sieht das wie folgt aus:

[mm]R_2(x) = \frac{f^3(\tilde{x})}{3!} * (x-0)^3 = \frac{f^3(\tilde{x})}{6} * x^3[/mm]

Die dritte Ableitung von f(x) lautet [mm]f^3(x) = \frac{1}{8} * (e^x + e^{-x})[/mm]

Nun zu meinem Problem: Wenn ich es richtig verstanden habe wähle ich nun ein x aus dem Intervall [mm][0,1][/mm] sowie einen beliebigen Wert für [mm]\tilde{x}[/mm] zwischen dem gewählten x und dem Entwicklungspunkt [mm]x_0=0[/mm].

Beispielsweise [mm]x=0[/mm] und [mm]\tilde{x}=0[/mm]. Dann ergibt [mm]f^3(\tilde{x})=\frac{1}{4}[/mm] und [mm]R_2(0) = \frac{\frac{1}{4}}{6} * 0^3 = 0[/mm]

Hätte ich [mm]x=1[/mm] gesetzt wäre das Restglied [mm] \frac{1}{24} [/mm] und somit kleiner als erfordert und somit ausreichend genau.

Würde ich [mm]x=1[/mm] setzen und [mm]\tilde{x}=1[/mm], so hätte ich folgendes Ergebnis: [mm]f^3(1) = \frac{1}{8} (e + e^{-1})[/mm]. Das Restglied wäre dann  [mm]R_2(1) = \frac{\frac{1}{8} (e + e^{-1})}{6} * 1^3 = \frac{e + e^{-1}}{48}[/mm] Wie überprüfe ich hier die Genauigkeit ohne Rechner oder ist dieser Fall nicht interessant für das Restglied?

Frage Was habe ich falsch gemacht? Woher weiß ich welche Werte ich wählen soll?

        
Bezug
Restgliedabschätzung von Tayl.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:47 Sa 12.05.2012
Autor: Blech

Hi,

> $ [mm] R_2(x) [/mm] = [mm] \frac{f^3(\tilde{x})}{3!} \cdot{} (x-0)^3 [/mm] = [mm] \frac{f^3(\tilde{x})}{6} \cdot{} x^3 [/mm] $

Die Aussage ist, daß es ein [mm] $\tilde [/mm] x [mm] \in [/mm] [0, x]$ *gibt*, für das das gilt; nicht, daß es für alle gilt, oder was [mm] $\tilde [/mm] x$ ist.

Für eine Abschätzung des maximal möglichen Fehlers brauchst Du also den worst case.

d.h. für x=1 brauchst Du

[mm] $\max_{\tilde x\in [0,1]} \frac [/mm] 16 [mm] f^3(\tilde [/mm] x)$

ciao
Stefan

Bezug
                
Bezug
Restgliedabschätzung von Tayl.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:41 So 13.05.2012
Autor: Argot

Vielen Dank für die gute Antwort Stefan.

Das bedeutet ich suche mir einfach das [mm]\tile{x}[/mm], welches die [mm]f^3(x)[/mm] im angegebenen Intervall maximal werden lässt. Also x=1. Das ergibt 0.064… Das sollte dann als Lösung ausreichen oder übersehe ich noch etwas?

Bezug
                        
Bezug
Restgliedabschätzung von Tayl.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:00 So 13.05.2012
Autor: Blech

denk nicht, sieht richtig aus.

ciao
Stefan

Bezug
        
Bezug
Restgliedabschätzung von Tayl.: zur Abschätzung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:40 So 13.05.2012
Autor: nobsy

Die dritte Ableitung ist bis auf einen positiven Faktor der Cosinushyperbolicus und der ist im besagten Intervall streng monoton zunehmend, hat also bei x=1 seinen größten Wert (im Intervall [0,1]). Damit kann man für die Abschätzung nach oben für x=1 einsetzen, was du getan hast und auch den richtigen Wert liefert.
Dabei kann man sogar [mm] e^x+e^{-x}<3+3=6 [/mm] abschätzen.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de