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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 Di 08.08.2006 | | Autor: | Elbi |
| Aufgabe | [mm]\alpha := [X] = X+(X^2+1) \IF_{3}[X][/mm] bezeichne die Restklasse von X.
Durch [mm]\phi : \IF_{9} \to \IF_{3}^{2 \times2} , x+y \alpha \mapsto \pmat{ x & y \\ -y & x }[/mm] für alle [mm]x,y \in \IF_{3}[/mm].
Zu zeigen: Es ist [mm]\phi(z_1*z_2) = \phi(z_1)*\phi(z_2)[/mm] für alle [mm]z_1,z_2 \in \IF_{9}[/mm] |
Hallo,
falls die Frage bekannt vorkommt, ich hatte die schon mal vorher gestellt, aber da hatte ich zu was anderem an der Aufgabe eine Frage und da hatte ich gedacht es ist einfacher, wenn ich das nochmal hier tippe und frage. Ich hoffe es ist okay, ansonsten tschuldigung!
Aber was ich hierbei einfach nicht verstehe, warum gilt denn, dass
[mm]\alpha^2=-1[/mm] ist?
Kann mir vielleicht einer helfen und mir, dummen kleinem Esel, das erklären?!
LG
Elbi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:52 Mi 09.08.2006 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Christa!
> [mm]\alpha := [X] = X+(X^2+1) \IF_{3}[X][/mm] bezeichne die
> Restklasse von X.
> Durch [mm]\phi : \IF_{9} \to \IF_{3}^{2 \times2} , x+y \alpha \mapsto \pmat{ x & y \\ -y & x }[/mm]
> für alle [mm]x,y \in \IF_{3}[/mm].
> Zu zeigen: Es ist [mm]\phi(z_1*z_2) = \phi(z_1)*\phi(z_2)[/mm]
> für alle [mm]z_1,z_2 \in \IF_{9}[/mm]
> Aber was ich hierbei einfach nicht verstehe, warum gilt
> denn, dass
> [mm]\alpha^2=-1[/mm] ist?
Du bist hier in einem Restklassenring unterwegs, und die Gleichung [mm] \alpha^{2} [/mm] = -1 bedeutet einfach, daß [mm] \alpha^{2} [/mm] und -1 als Restklassen gleich sind.
Es ist doch [mm] \alpha^{2} [/mm] = [mm] [X]^{2} [/mm] = [mm] [X^{2}] [/mm] = [mm] [X^{2} [/mm] + 1 - 1] = [mm] [X^{2} [/mm] + 1] + [-1] = [0] + [-1] = [-1]
und [-1] repräsentieren wir einfach durch einen Vertreter, z. B. -1.
Insofern ist [mm] \alpha^{2} [/mm] = -1 nicht so super hingeschrieben (Bourbaki würde das nicht machen), weil links eine echte Restklasse steht und rechts einfach ihr Vertreter.
Vielleicht solltest du es dir für diese Aufgabe auch erst hypergenau aufschreiben, das übt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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