Restklassen modulo 17 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hallo,
ich hatte eine Aufgabe, die ich bereits gelöst habe, aber geht es noch einfacher? denn ich habe sie recht "unprofessionell" durch Probieren gelöst.
Aufgabe:
Man finde das Inverse zu [mm] [11]_{17} [/mm] bezüglich der Multiplikation.
Ich habe also die Gleichung [mm] [a]_{17} [/mm] * [mm] [11]_{17} [/mm] = [mm] [1]_{17} [/mm] gelöst, indem ich mir einfach der Reihe nach aufgeschrieben habe, was:
[mm] [1]_{17} *[11]_{17} [/mm]
[mm] [2]_{17} *[11]_{17} [/mm]
[mm] [3]_{17} *[11]_{17} [/mm] usw. ist
und dann fesgestellt, dass [mm] [14]_{17} [/mm] * [mm] [11]_{17} [/mm] = [mm] [1]_{17} [/mm] gilt.
also [mm] [14]_{17} [/mm] ist die Inverse zu [mm] [11]_{17} [/mm]
Meine Frage ist nun ob es noch einfacher geht, oder bleibt einem nichts anderes übrig also so vor zu gehen wie ich?
Vielen Danke für Eure Hilfe und ich habe diese Frage nur in diesem Forum gepostet.
mfg michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Sa 30.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Michael!
> Aufgabe:
> Man finde das Inverse zu [mm][11]_{17}[/mm] bezüglich der
> Multiplikation.
Wegen $ggT(11,17)=1$ gibt es nach dem Lemma von Bézout ganze Zahlen $a,b [mm] \in \IZ$ [/mm] mit
$a [mm] \cdot [/mm] 11 + b [mm] \cdot [/mm] 17 = 1$.
Geht man nun zu den Restklassen modulo 17 über, so erhält man wegen [mm] $[17]_{17} [/mm] = [mm] [0]_{17}$:
[/mm]
[mm] $[1]_{17} [/mm] = [a [mm] \cdot 11]_{17} [/mm] = [mm] [a]_{17} \cdot [11]_{17}$.
[/mm]
Demnach ist [mm] $[a]_{17}$ [/mm] das multiplikativ Inverse von [mm] $[11]_{17}$.
[/mm]
Wie kommt man nun an das $a$?
Mit dem (erweiterten) Euklidischen Algorithmus!
Melde dich bei Rückfragen einfach wieder. 
Liebe Grüße
Stefan
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