Restklassen und Determinante < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Do 29.12.2005 | | Autor: | Brillo |
| Aufgabe | Sei p eine Primzahl. Sei A eine n x n-Matrix mit Einträgen [mm] a_{ij} \in \IZ. [/mm] Für jede ganze Zahl k sei [mm] \overline{k} [/mm] der Rest von k bei Division durch p. Dann definieren wir die Matrix [mm] \overline{A} \in \IF_{p}^{nxn} [/mm] durch [mm] \overline{A} [/mm] = [mm] (\overline{a}_{ij}. [/mm] Zeigen Sie:
[mm] det\overline{A} [/mm] = [mm] \overline{detA} [/mm] |
Hallo, ich habe absolut keine Ahnung, wie ich das lösen könnte. Kann mir bitte jemand einen Tip geben
Vielen Dank
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 Do 29.12.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Brillo.
Die Leibnizsche Determinantenformel zeigt, dass zur Berechnung der Determinante einer Matrix nur Addition und Multiplikation als Operationen notwendig sind.
Unter dieser Kenntnis folgt die Aussage dadurch, dass für [mm] $x,y\in \IZ$ [/mm] stets [mm] $\overline{x+y}=\overline{x}+\overline{y}$ [/mm] und [mm] $\overline{xy}=\overline{x}\overline{y}$ [/mm] gilt.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Do 29.12.2005 | | Autor: | Brillo |
Danke, aber woher weiß ich, das [mm] \overline{x+y} [/mm] = [mm] \overline{x}+\overline{y}
[/mm]
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 17:29 Do 29.12.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> Danke, aber woher weiß ich, das [mm]\overline{x+y}[/mm] =
> [mm]\overline{x}+\overline{y}[/mm]
Na, einfach hinschreiben. Nimm doch mal x=a+ib und y=c+id, dann ist [mm] \overline{x+y}=a+c-i(b+d)=\overline{x}+\overline{y}.
[/mm]
Alles klar?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 Do 29.12.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Brillo,
> Danke, aber woher weiß ich, das [mm]\overline{x+y}[/mm] =
> [mm]\overline{x}+\overline{y}[/mm]
Hattet Ihr denn schon die Primzahlkörper [mm] $\IF_p$? [/mm] Deine Schreibweise in der Aufgabe deutet darauf hin, und um die Aufgabe zu lösen, muss man bereits wissen, was [mm] $\overline{x}*\overline{y}=\ldots$ [/mm] und [mm] $\overline{x}+\overline{y}=\ldots$ [/mm] ist; denn wie sollte man sonst die Determinante berechnen?
Schau' mal in deiner Vorlesung nach.
Falls Ihr die Primzahlkörper noch nicht näher untersucht habt (unwahrscheinlich!), dann musst Du folgendes machen:
1. Die Multiplikation und Addition zweier Restklassen selbst definieren (also: [mm] $\overline{x}+\overline{y}:=\overline{x+y}$ [/mm] und [mm] $\overline{x}*\overline{y}=\overline{x*y}$)
[/mm]
2. Zeigen, dass beide Verknüpfungen wohldefiniert sind.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Do 29.12.2005 | | Autor: | Brillo |
Das ist ja meine Frage, denn wenn [mm] \overline{x}+\overline{y}:=\overline{x+y} [/mm] gilt, dann ist die Antwort meiner Aufgabe klar. Aber wie zeige ich, dass [mm] \overline{x}+\overline{y}:=\overline{x+y} [/mm] gilt ?
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(Antwort) fehlerhaft | | Datum: | 20:01 Do 29.12.2005 | | Autor: | GaGa |
Hallo!
Wenn ich deine Frage richtig verstanden habe geht es so,wie oben schon gezeigt, durch einfaches ausrechnen:
Sei [mm] \overline{x}:=a-bi [/mm] und [mm] \overline{y}:=c-di [/mm] dann ist [mm] \overline{x}+\overline{y}=a+c-bi-di=(a+b)-i(b+d)=\overline{x+y}
[/mm]
Hoffe das hilft dir weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Do 29.12.2005 | | Autor: | piet.t |
Hallo zusammen,
offenbar erinnert die Schreibweise mit dem Querstrich doch recht stark an das konjugiert Komplexe, aber das ist her ja leider nicht gemeint.....
Wir wollen jetzt also zeigen, dass die Addition mit den Restklassen bei Division durch p verträglich ist. Da wir die Reste benötigen schreiben wir also erst mal:
x = ap + r und
y = bp + s
wobei die Reste r,s <p sind.
Dann gilt aber:
x + y = ap + r + bp + s = ap + bp + r + s = (a+b)p + r + s
Betrachtet man jetzt nur die "Restterme" rechnet man ja schon in den Klassen von [mm] \IF_p [/mm] und es gilt:
[mm]\overline{x}+\overline{y} \equiv r + s \equiv \overline{x+y}[/mm]
Das wäre das grobe. Wenn r+s > p ist wäre es natürlich noch kein Rest, da müsste man dann nochmal p abziehen (wodurch wir aber in der gleichen Restklasse blieben, aber die Aufgabenstellung ist da auch etwas schwammig.....).
Die Multiplikation müsste sich im großen und ganzen ähnlich zeigen lassen.
Gruß
piet
P.S.: bis zu dieser Stelle haben wir noch nicht benutzt, dass p eine Primzahl ist - das wird erst wichtig wenn man auch noch dividieren müsste.....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Do 29.12.2005 | | Autor: | felixf |
> Das ist ja meine Frage, denn wenn
> [mm]\overline{x}+\overline{y}:=\overline{x+y}[/mm] gilt, dann ist
> die Antwort meiner Aufgabe klar. Aber wie zeige ich, dass
> [mm]\overline{x}+\overline{y}:=\overline{x+y}[/mm] gilt ?
In deinem Original-Posting redest du von [mm] $\IF_p$ [/mm] und [mm] $\det \overline{A}$ [/mm] mit [mm] $\overline{A} \in \IF_p^{n \times n}$. [/mm] Folglich werdet ihr irgendwo in der Vorlesung [mm] $\IF_p$ [/mm] definiert haben inklusiver zweier Operationen $+$ und [mm] $\cdot$ [/mm] auf [mm] $\IF_p$, [/mm] oder? (Ansonsten ist die Aufgabenstellung fehlerhaft, denn sonst macht [mm] $\det \overline{A}$ [/mm] schlichtweg keien Sinn!) Nun, und dann schau mal nach wie ihr $+$ und [mm] $\cdot$ [/mm] definiert habt und wo ihr gezeigt habt, dass $+$ und [mm] $\cdot$ [/mm] wohldefiniert sind. Denn das ist genau das was du gerade suchst. Und da ihr es in der Vorlesung schon hattet duerft ihr das auch benutzen.
Oder falls ihr in der Vorlesung hattet, das die Abbildung [mm] $\IZ \to \IF_p$, [/mm] $x [mm] \mapsto \overline{x}$ [/mm] ein Homomorphismus ist: das ist genau das gleiche.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:57 Fr 30.12.2005 | | Autor: | Brillo |
Ja, stimmt. Wir haben das schon bewiesen, nur etwas sehr unverständlich aufgeschrieben.
Dann ist das eigentlich schon die Antwort zu meiner Aufgabe, oder ? Denn die Determinante berechnet sich nur durch Multiplikation und Addition. und da [mm] \overline{x}+\overline{y}:=\overline{x+y} [/mm] ist es egal, ob man für die Matrix mit Einträgen in [mm] \IF_{3} [/mm] die Determinante ausrechnet oder für Einträge in [mm] \IZ [/mm] und dann den Rest nimmt.
Danke für die Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:38 Fr 30.12.2005 | | Autor: | felixf |
> Ja, stimmt. Wir haben das schon bewiesen, nur etwas sehr
> unverständlich aufgeschrieben.
> Dann ist das eigentlich schon die Antwort zu meiner
> Aufgabe, oder ? Denn die Determinante berechnet sich nur
> durch Multiplikation und Addition. und da
> [mm]\overline{x}+\overline{y}:=\overline{x+y}[/mm] ist es egal, ob
> man für die Matrix mit Einträgen in [mm]\IF_{3}[/mm] die
> Determinante ausrechnet oder für Einträge in [mm]\IZ[/mm] und dann
> den Rest nimmt.
Genau das ist es 
LG Felix
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Hallo zusammen,
die Details zur Aufgabe scheinen bereits hinreichend diskutiert, deshalb erlaubt mir eine
allgemeine Anmerkung:
Es scheint immer wieder Schwierigkeiten zu bereiten, Aussagen ueber Quotientenstrukturen zu beweisen, d.h. man hat im allgemeinen eine Menge A mit einer
- was auch immer das sei - algebraischen Struktur F, und es ist einem eine
Aequivalenzrelation [mm] R\subseteq A\times [/mm] A ueber A gegeben, dann betrachtet man - was sonst sollte man in solch einer Situation tun- die Quotientenmenge [mm] A\slash [/mm] R und
fragt sich, ob die Struktur F auf A auf natuerliche Weise eine entsprechende algebraische
Struktur auf [mm] A\slash [/mm] R induziert.
Natuerlich heisst dabei immer, dass man zB, wenn f eine n-stellige Funktion/Operation auf A ist
(Addition oder Multipl. bei Koerper, die Verknuepfungsop. einer Gruppe,
die infimum-Operation bei einem ordnungstheor. Verband oder was auch immer),
[mm] f^{A\slash R}([a_1],....,[a_n]) [/mm] = [mm] [f^A(a_1,...,a_n)] [/mm] definieren moechte,
und die Frage ist dann immer, ob dies wohldefiniert - d.h. nicht abhaengig von der
Wahl der Repraesentanten der Aequivalenzklassen [mm] [a_i] [/mm] ist.
Es lohnt sich sicherlich, dieses Prinzip in seiner Allgemeinheit fruehzeitig
einmal zu verstehen - auch wenn dies in den Grundvorlesungen meist nicht
allgemein behandelt wird- dann machen einem zB Homomorphie- und Isomorphiesaetze bei Gruppen in der Algebra spaeter kein problem mehr.
Empfehlen kann ich einen Blick in die Universelle Algebra, zB das sehr schoene
und klassische Buch von Burris und Sankappanavar (Schreibweise ???), und dort
den Abschnitt ueber Kongruenzrelationen (das Buch gab es auch mal offiziell
kostenfrei online,
ich denke, auf Anfrage kann ich es gern via Email verschicken).
Herzliche Gruesse an alle und einen guten Start ins neue Jahr !!!
Mathias
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