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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:24 So 02.05.2010 | | Autor: | lubalu |
| Aufgabe | | Wie erkläre ich in einer mündlichen Prüfung, warum [mm] \IZ/m\IZ [/mm] für m [mm] \in \IN, m\ge2 [/mm] ein kommutativer Ring mit 1 ist, aber wenn m eine Primzahl ist, dann ist [mm] \IZ/m\IZ [/mm] ein Körper? |
Wie erkläre ich das am besten morgen in der mdl. Prüfung? Ich hab irgendwas mit Nullteiler gelesen, aber irgendwie nicht ganz verstanden.
Was mir so aufgefallen ist, hat [mm] \IZ/m\IZ [/mm] kein inverses Element bzgl. der Multiplikation, oder? Und das wäre für einen Körper notwendig. Aber was hat das mit einer Primzahl zu tun?
Wäre nett, wenn mir jemand das anschaulich erklären könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:32 So 02.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei Primzahlen hast du zu jedem Element en mult. Inverses, bei Nichtprimen Restkl. haben die Teiler von n kein mult. Inverses.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 So 02.05.2010 | | Autor: | lubalu |
Ich kapiers immer noch nicht. Kannst du mir evtl. ein Beispiel geben, an welchem ich das erklären könnte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:45 So 02.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
such das Inverse zu 2 oder 3 mod 6 und mach dasselbe mod 5 oder mod 7.
Wieviel Zahlen musst du bei Primzahlen hoechstens durchprobieren, bis du ein Inverses hast? was geht bei 6 und einem seiner Teiler schief?
kannst du a*b=0 mod p mit primzahlen haben, wenn [mm] a,b\ne [/mm] 0 mod p
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 So 02.05.2010 | | Autor: | lubalu |
> Hallo
> such das Inverse zu 2 oder 3 mod 6 und mach dasselbe mod 5
> oder mod 7.
Das ist ja mein Problem: was ist das Inverse? Das Inverse von was? Von x [mm] \equiv [/mm] 2 mod 6? Von was muss ich das Inverse suchen?
> Wieviel Zahlen musst du bei Primzahlen hoechstens
> durchprobieren, bis du ein Inverses hast? was geht bei 6
> und einem seiner Teiler schief?
Also ich kann ja schreiben: [mm] 2*3\equiv [/mm] 0 mod 6 und 4*3 [mm] \equiv [/mm] 0 mod 6, also sind 2,3,4 Nullteiler von [mm] \IZ/m\IZ. [/mm] Warum?
Nehmen wir m=5.
Muss ich dann schreiben:
1*5 [mm] \equiv [/mm] 0 mod 5
2*5 [mm] \equiv [/mm] 0 mod 5
3*5 [mm] \equiv [/mm] 0 mod 5
Was hab ich dann damit gezeigt? Sind dann 1,2,3 Nullteiler? Aber das dürfte ja nicht sein, weil m Primzahl.
Hilfe!!! Ich kapier in Zahlentheorie leider irgendwie gar nix.
> kannst du a*b=0 mod p mit primzahlen haben, wenn [mm]a,b\ne[/mm] 0
> mod p
> Gruss leduart
>
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> > Hallo
> > such das Inverse zu 2 oder 3 mod 6 und mach dasselbe
> mod 5
> > oder mod 7.
> Das ist ja mein Problem: was ist das Inverse?
> Das Inverse
> von was? Von x [mm]\equiv[/mm] 2 mod 6? Von was muss ich das Inverse
> suchen?
Hallo,
wenn Du modulo 6 rechnest, dann ist das Inverse von 2 das Element x, für welches gilt [mm] 2*x\equiv [/mm] 1 (mod 6)
Nun, viele Elemente hat [mm] \IZ/6\IZ [/mm] ja nicht, Du kannst also alle durchprobieren und gucken, ob Du ein passendes x findest. das ist dann das Inverse zu 2 (mod 6)
das Spielchen kannst du auch mal mit der 5 treiben: löse 5x=1 (mod 6).
Nun mach das ganze modulo 5. Guck nach, ob jedes Element [mm] \not=0 [/mm] von [mm] \IZ/5\IZ [/mm] ein Inverses hat.
>
> > Wieviel Zahlen musst du bei Primzahlen hoechstens
> > durchprobieren, bis du ein Inverses hast? was geht bei 6
> > und einem seiner Teiler schief?
> Also ich kann ja schreiben: [mm]2*3\equiv[/mm] 0 mod 6 und 4*3
> [mm]\equiv[/mm] 0 mod 6, also sind 2,3,4 Nullteiler von [mm]\IZ/m\IZ.[/mm]
> Warum?
Das hast Du doch gerade vorgerechnet...
> Nehmen wir m=5.
Du möchtest wissen, ob [mm] \IZ/5\IZ [/mm] Nullteiler hat?
Du kannst ja mal sämtliche Produkte, bei denen ein faktor [mm] \not=0 [/mm] ist, ausrechnen, also alle Produkte, die Du aus 1,2,3,4 bilden kannst.
Ist irgendeins [mm] \equiv [/mm] 0 (mod 5)? Warum nicht?
> Muss ich dann schreiben:
> 1*5 [mm]\equiv[/mm] 0 mod 5
> 2*5 [mm]\equiv[/mm] 0 mod 5
> 3*5 [mm]\equiv[/mm] 0 mod 5
> Was hab ich dann damit gezeigt?
Daß "irgendwas mal 0" auch in [mm] \IZ/5\IZ [/mm] Null ergibt. (Es ist doch [mm] 5\equiv [/mm] 0 (mod 6).)
> Sind dann 1,2,3 Nullteiler?
Nein. Denn daß sie mit 0 multipliziert 0 ergeben, hat ja nichts mit "Nullteiler" zu tun.
> Aber das dürfte ja nicht sein, weil m Primzahl.
Ja.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 So 02.05.2010 | | Autor: | lubalu |
Jetzt kommt glaub ich etwas Licht ins Dunkel.
> > > Hallo
> > > such das Inverse zu 2 oder 3 mod 6 und mach dasselbe
> > mod 5
> > > oder mod 7.
> > Das ist ja mein Problem: was ist das Inverse?
>
> > Das Inverse
> > von was? Von x [mm]\equiv[/mm] 2 mod 6? Von was muss ich das Inverse
> > suchen?
>
> Hallo,
>
> wenn Du modulo 6 rechnest, dann ist das Inverse von 2 das
> Element x, für welches gilt [mm]2*x\equiv[/mm] 1 (mod 6)
>
> Nun, viele Elemente hat [mm]\IZ/6\IZ[/mm] ja nicht, Du kannst also
> alle durchprobieren und gucken, ob Du ein passendes x
> findest. das ist dann das Inverse zu 2 (mod 6)
>
> das Spielchen kannst du auch mal mit der 5 treiben: löse
> 5x=1 (mod 6).
Ich hab mal alles durchprobiert. Also aus [mm] \IZ/6\IZ [/mm] = {0,1,2,3,4,5} (oder ist [mm] \IZ/6\IZ={1,2,3,4,5,6}???) [/mm] gibt es keine Zahl, die [mm] 2*x\equiv [/mm] 1 mod 6 erfüllt, also hat 2 mod 6 kein Inverses. Also kann [mm] \IZ/6\IZ [/mm] kein Körper sein, weil es darin kein inverses Element gibt.
>
> Nun mach das ganze modulo 5. Guck nach, ob jedes Element
> [mm]\not=0[/mm] von [mm]\IZ/5\IZ[/mm] ein Inverses hat.
Suche ich von 2 mod 5 nun das Inverse in [mm] \IZ/5\IZ, [/mm] so ergibt sich für
2*3 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 5 als Inverses von 2 mod 6 die Zahl 3. Also sehe ich, dass in [mm] \IZ/5\IZ [/mm] ein Inverses zu ??? existiert und somit ist [mm] \IZ/5\IZ [/mm] ein Körper.
>
> >
> > > Wieviel Zahlen musst du bei Primzahlen hoechstens
> > > durchprobieren, bis du ein Inverses hast? was geht bei 6
> > > und einem seiner Teiler schief?
> > Also ich kann ja schreiben: [mm]2*3\equiv[/mm] 0 mod 6 und 4*3
> > [mm]\equiv[/mm] 0 mod 6, also sind 2,3,4 Nullteiler von [mm]\IZ/m\IZ.[/mm]
> > Warum?
>
> Das hast Du doch gerade vorgerechnet...
>
> > Nehmen wir m=5.
>
> Du möchtest wissen, ob [mm]\IZ/5\IZ[/mm] Nullteiler hat?
>
> Du kannst ja mal sämtliche Produkte, bei denen ein faktor
> [mm]\not=0[/mm] ist, ausrechnen, also alle Produkte, die Du aus
> 1,2,3,4 bilden kannst.
> Ist irgendeins [mm]\equiv[/mm] 0 (mod 5)? Warum nicht?
>
> > Muss ich dann schreiben:
> > 1*5 [mm]\equiv[/mm] 0 mod 5
> > 2*5 [mm]\equiv[/mm] 0 mod 5
> > 3*5 [mm]\equiv[/mm] 0 mod 5
> > Was hab ich dann damit gezeigt?
>
> Daß "irgendwas mal 0" auch in [mm]\IZ/5\IZ[/mm] Null ergibt. (Es
> ist doch [mm]5\equiv[/mm] 0 (mod 6).)
>
> > Sind dann 1,2,3 Nullteiler?
> Nein. Denn daß sie mit 0 multipliziert 0 ergeben, hat ja
> nichts mit "Nullteiler" zu tun.
Brauche ich dann eigentlich eine Argumentation mit Nullteilern (die ich ja nicht kapiere), um zu zeigen, dass [mm] \IZ/m\IZ [/mm] genau dann ein Körper ist, wenn m eine Primzahl ist? Kann ich sagen, dass [mm] \IZ/m\IZ [/mm] ein Körper ist, wenn m eine Primzahl ist, weil wenn m eine Primzahl ist, dann hat [mm] \IZ/m\IZ [/mm] für jedes Element aus [mm] \IZ/m\IZ [/mm] ein Inverses und ist somit ein Körper im Ggs. zu m nicht Primzahl, denn dort gibt es kein Inverses.
Wie kann ich das mit der Primzahl allgemein kurz erklären? Weil ein Beispiel ist ja kein Beweis.
>
> > Aber das dürfte ja nicht sein, weil m Primzahl.
> Ja.
>
> Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 So 02.05.2010 | | Autor: | leduart |
hallo
wenn du mod p prim rechnest und das Inverse zu q suchst, multiplizierst du nacheinander mit 2,3,..p-1 dann hast du lauter verschiedene ergebnisse. p kann nicht vorkommen, weil es ja prim ist, also muss eines 1 sein.
wenn p nicht prim ist findest du dagegen fuer die Teiler von p kein inverses, denn q teiler von p mit q*r=p+0modp
das ist die Kurzversion, Mach dirs aber noch mal an nem Beispiel klar,
Nullteiler ist q dann eben, weil es ein r gibt mit q*r=0 d.h. q ist Teiler von 0 mit einem faktor r ungleich 0. (natuerlich ist r dann auch Nullteiler)
Gruss leduart
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