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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Di 15.11.2005 | | Autor: | Ernesto |
Ich habe ein Paar fragen zum Restklassenring, das sind für mich bömische Dörfer :-(
Sei [mm] \IZ [/mm] / [mm] n\IZ [/mm] und es gilt [a] := a + [mm] n\IZ [/mm] für [mm] a\in \IZ
[/mm]
sei n = 17 , dann ist [7]^-1 gleich ?????
sei n = 1023 dann ist [2]^2005 gleich ???
das sind doch bestimmt nur rechenaufgaben .. aber ich habe keine Ahnung wie
und da ist noch ... wie lautet die letzte dezimalziffer von 3^100810
WÜrde mich sehr freuen
MFG
Thomas as Ernesto
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:49 Di 15.11.2005 | | Autor: | bazzzty |
In einem anderen Thread habe ich zu diesen Fragen schon Tipps geschrieben:
Thread
> sei n = 17 , dann ist [7]^-1 gleich ?????
>
> sei n = 1023 dann ist [2]^2005 gleich ???
>
> und da ist noch ... wie lautet die letzte dezimalziffer von
> 3^100810
zu ersterem wird der Suchraum massiv eingeschränkt, wenn man die Multiple-Choice-Antworten kennt, die zweite Aufgabe habe ich in dem anderen Thread (fast) vollständig beantwortet, die dritte entspricht der zweiten.
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Hallo Ernesto,
> Ich habe ein Paar fragen zum Restklassenring, das sind für
> mich bömische Dörfer :-(
>
> Sei [mm]\IZ[/mm] / [mm]n\IZ[/mm] und es gilt [a] := a + [mm]n\IZ[/mm] für [mm]a\in \IZ[/mm]
>
> sei n = 17 , dann ist [7]^-1 gleich ?????
Gesucht ist hier das multiplikative Inverse zu 7 bezüglich [mm]\IZ[/mm] / [mm]17\IZ[/mm]
Berechne also die Produkte 7 * x bezüglich dieses Restklassenringes (x=0...16). Und für irgendein Produkt gilt dann [mm]7x\;\equiv\;1 (17)[/mm].
> sei n = 1023 dann ist [2]^2005 gleich ???
Beachte hier, daß [mm]2^{10}\;\equiv\;1\;(1023)[/mm] ist.
Spalte hier [mm]2^{2005}[/mm] also auf in [mm](2^{10})^k\;2^{r}[/mm]
Dann ist [mm]2^{2005}\;\equiv\;2^{r}\;(1023)[/mm]
>
> das sind doch bestimmt nur rechenaufgaben .. aber ich habe
> keine Ahnung wie
>
> und da ist noch ... wie lautet die letzte dezimalziffer von
> 3^100810
Berechne hier welchen Rest sämtliche 3er-Potenzen bei Division durch 10 lassen. Dann erkennst Du eine Periode p, bei der sich die Reste wiederholen.
Bestimmt dann, welchen Rest r 100810 bei Division durch p läßt.
Dann gilt:
[mm]3^{100810}\;\equiv\;3^{r}\;(10)[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Olek |
Hallo,
wieso betrachtest du sämtliche 3er-Potenzen bei der Division durch 10? Wie kommst du auf die 10?
Die Periode die bei den Resten auftritt ist doch 7-1-3-9, oder?!
> Bestimmt dann, welchen Rest r 100810 bei Division durch p
> läßt.
>
Das versteh ich leider nicht. Ist p=7139? 100810/7139 ist aber ein seltsamer Rest ...
> Dann gilt:
>
> [mm]3^{100810}\;\equiv\;3^{r}\;(10)[/mm]
Ist das eine andere Schreibweie für [mm] 3^{r}mod(10)? [/mm] Wir haben das immer nur mit mod aufgeschrieben, deshalb verwirrt mich das etwas.
MfG,
Olek
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> Hallo,
> wieso betrachtest du sämtliche 3er-Potenzen bei der
> Division durch 10? Wie kommst du auf die 10?
Weil es um die letzte Ziffer bei Darstellung im Dezimalsystem geht, also um den Rest bei Division durch 10.
> Die Periode die bei den Resten auftritt ist doch 7-1-3-9,
> oder?!
>
> > Bestimmt dann, welchen Rest r 100810 bei Division durch p
> > läßt.
> >
>
> Das versteh ich leider nicht. Ist p=7139? 100810/7139 ist
> aber ein seltsamer Rest ...
Nein! Die Periodenlänge p=4
>
> > Dann gilt:
> >
> > [mm]3^{100810}\;\equiv\;3^{r}\;(10)[/mm]
[mm] 3^{100810}=3^{100800}3^{10}=3^{4*n}3^{2*4}3^2 \equiv 3^2 [/mm] mod 10 f.e. n [mm] \in \IN
[/mm]
>
> Ist das eine andere Schreibweie für [mm]3^{r}mod(10)?[/mm]
Ja.
Wir haben
> das immer nur mit mod aufgeschrieben, deshalb verwirrt mich
> das etwas.
Daran muß man sich gewöhnen, die Schreibweisen sind nicht immer einheitlich, das macht auch die Benutzung mancher Bücher ziemlich anstrengend.
Gruß v. Angela
>
> MfG,
> Olek
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Mitch |
hey, also allmählich bin ich aufm richtigen Dampfer und verstehe die Vorgehensweise beim Rechnen mit Restklassenringen, aber noch ne Frage zu der Rechnung von Angela!
$ [mm] 3^{100810}=3^{100800}3^{10}=3{4\cdot{}n}3^{2\cdot{}4}3^2 \equiv 3^2 [/mm] $ mod 10.
Wieso ziehst du denn gerade die [mm] 3^{10} [/mm] heraus? Und warum schreibst du dann [mm] 3^{10} [/mm] in [mm] 3^{2\cdot 4}3^2 [/mm] um? Und wie kommst du auf 34n?!?! (muss da vllt 3n stehen?) und die letzte Dezimalziffer soll dann [mm] 3^2=9 [/mm] sein!?!
Angenommen es handelt sich nicht um den Exponenten 100810 sondern 120409, dann ist nach meiner Rechnung die letzte Dezimalziffer [mm] 3^1=3 [/mm] oder?!
Gruß Mitch
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> [mm]3^{100810}=3^{100800}3^{10}=3{4\cdot{}n}3^{2\cdot{}4}3^2 \equiv 3^2[/mm]
> mod 10.
Das ist natürlich Quatsch. Ein fehlendes Zeichen, ist inzwischen verbessert.
Es heißt [mm] 3^{100810}=3^{100800}3^{10}=3^{4*n}3^{2*4}3^2 \equiv 3^2 [/mm] mod 10
Da wegen der Periodenlänge 4 (man könnte es auch mit dem satz v. euler begründen) es im Exponenten auf die Reste mod 4 ankommt, hab' ich die Potenz so auseinandergezupft, daß die Teilbarkeit durch 4 möglichst gut ins Auge fällt.
Dies 4*n, welches jetzt da steht, wo es hingehört, soll andeuten, daß 100800 durch 4 teilbar ist.
Weil [mm] 3^{4*n} [/mm] und [mm] 3^{2*4} [/mm] beide äquivalent 1 mod 10, bleibt [mm] 3^2.
[/mm]
>
> Angenommen es handelt sich nicht um den Exponenten 100810
> sondern 120409, dann ist nach meiner Rechnung die letzte
> Dezimalziffer [mm]3^1=3[/mm] oder?!
120409= 120400 + 9= 120400 + 8+1, also letzte Ziffer [mm] 3^1=3. [/mm] Richtig.
Gruß v. Angela
>
> Gruß Mitch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:42 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Mitch |
ASO... na das macht Sinn!
also im Beispiel mit 120409 als Exponent: quasi:
[mm] 3^{120409} = 3^{4\cdot 30102}3^1 \equiv 3^1 mod 10 [/mm]
Danke Angela!!!
Gruß Mitch
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