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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:07 Sa 28.11.2009 | | Autor: | user0009 |
| Aufgabe | Lösen Sie dei RICCATI-Gleichung
[mm] y'-\bruch{y}{x}+\bruch{y^2}{2x}=\bruch{2}{x^3}
[/mm]
unter Verwendung einer Partikulärlösung der Form [mm] yp=a+\bruch{b}{x} [/mm] |
Ich habe begonnen die Gleichung folgendermaßen zu lösen:
yp = [mm] a+\bruch{b}{x}
[/mm]
[mm] yp'=-\bruch{b}{x^2}
[/mm]
[mm] yp^2 [/mm] = [mm] a^2+\bruch{2ab}{x}+\bruch{b^2}{x^2}
[/mm]
Das wiederum habe ich in die Gleichung eingesetzt:
[mm] \bruch{-b}{x^2} [/mm] - [mm] \bruch{ax+b}{x^2} [/mm] + [mm] \bruch{a^2x^2+2abx+b^2}{2x^3} [/mm] = [mm] \bruch{2}{x^3}
[/mm]
Mit Hilfe des Koeffizientenvergleich würde ich auf a = 0 und b= 2 kommen, falls dies korrekt ist.
Weiter: y= u+yp
y = u + [mm] \bruch{2}{x}
[/mm]
y' = u'
[mm] y^2 [/mm] = [mm] u^2+\bruch{4u}{x}+\bruch{4}{x^2}
[/mm]
in DGL eingesetzt:
u' - [mm] \bruch{\bruch{2}{x}+4}{x} [/mm] + [mm] \bruch{u^2+\bruch{4u}{x}+\bruch{4}{x^2}}{2x} [/mm] = [mm] \bruch{2}{x^3}
[/mm]
Nun bin ich mir nicht sicher, ob ich bis hier her richtig gerechnet habe. Denn wenn ich es recht in Erinnerung habe, dann sollten die x alle wegfallen. Allerdings passiert dies nicht. Wo habe ich etwas falsch gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:33 Sa 28.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Lösen Sie dei RICCATI-Gleichung
>
> [mm]y'-\bruch{y}{x}+\bruch{y^2}{2x}=\bruch{2}{x^3}[/mm]
>
> unter Verwendung einer Partikulärlösung der Form
> [mm]yp=a+\bruch{b}{x}[/mm]
> Ich habe begonnen die Gleichung folgendermaßen zu
> lösen:
>
> yp = [mm]a+\bruch{b}{x}[/mm]
> [mm]yp'=-\bruch{b}{x^2}[/mm]
> [mm]yp^2[/mm] = [mm]a^2+\bruch{2ab}{x}+\bruch{b^2}{x^2}[/mm]
>
> Das wiederum habe ich in die Gleichung eingesetzt:
>
> [mm]\bruch{-b}{x^2}[/mm] - [mm]\bruch{ax+b}{x^2}[/mm] +
> [mm]\bruch{a^2x^2+2abx+b^2}{2x^3}[/mm] = [mm]\bruch{2}{x^3}[/mm]
>
> Mit Hilfe des Koeffizientenvergleich würde ich auf a = 0
> und b= 2 kommen, falls dies korrekt ist.
Da hast du dich verrechnet, mit a=0 fallen nicht alle Terme weg. Richtig: a=1.
Dann funktioniert auch der Rest.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 So 29.11.2009 | | Autor: | user0009 |
Könntest du mir bitte zeigen, wo ich mich verrechnet habe. Denn auch nach mehrmaligen Probieren und umformen, komme ich nur auf a=0 und b=2 und nicht auf a=1, wie von dir beschrieben.
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 So 29.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Könntest du mir bitte zeigen, wo ich mich verrechnet habe.
> Denn auch nach mehrmaligen Probieren und umformen, komme
> ich nur auf a=0 und b=2 und nicht auf a=1, wie von dir
> beschrieben.
Sorry, mein Fehler, es ist a=2.
Deine Gleichung:
[mm] \bruch{-b}{x^2} - \bruch{ax+b}{x^2} + \bruch{a^2x^2+2abx+b^2}{2x^3} = \bruch{2}{x^3} [/mm]
Nach Potenzen von x sortiert:
[mm] \bruch{b^2/2}{x^3} + \bruch{ -2b +ab }{x^2} + \bruch{a^2/2 -a }{2x} = \bruch{2}{x^3} [/mm]
Für a=0 ist die linke Seite ungleich der rechten.
Viele Grüße
Rainer
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