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| Aufgabe | Sei C jener Teil des Paraboloids mit Gleichung [mm] x^2+y^2+z<=1 [/mm] der im 1. Oktanten liegt.
Berechnen Sie Dreifachintegral von z dx dy dz. |
Hallo!
1.) Was bedeutet das z im Integral? Ich kenne es sonst nur mit einem Skalar im Dreifachintegral.
2.) Wie Finde ich für so ein Integral die Grenzen?
Ich weiß es ist ein Paraboloid der nach unten offen ist und um 1 nach oben verschoben.
Ich hab paar Integral Möglichkeiten ausprobiert die führen aber alle nicht zum Ziel.
Bin also über jeden Tipp wie man so ein BSP üblicherweise analytisch löst dankbar.
edit: Kann es sein, dass man auch die Integrationsreihenfolge vertauschen muss?
Besten Dank!
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Hiho,
der erste Oktant ist einfach der, wo alle Koordinaten größergleich Null sind.
Du sollst also das Integral:
[mm] $\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\; [/mm] z * [mm] 1_A\; [/mm] dx [mm] \, [/mm] dy [mm] \, [/mm] dz$
mit [mm] $A=\left\{x^2 + y^2 +z \le 1, x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0\right\}$
[/mm]
berechnen.
Der erste Schritt wäre bspw, die Integrationsgrenzen anzupassen, z.B. ausnutzen, dass alle Integrationsvariablen größergleich Null sind:
[mm] $\int_0^\infty\int_0^\infty\int_0^\infty\; [/mm] z * [mm] 1_{\{x^2 + y^2 +z \le 1\}} \;dx\, dy\, [/mm] dz$
Na und nun einfach die Bedingung [mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] +z [mm] \le [/mm] 1$ in den Grenzen verwurschteln und normal integrieren, von innen nach außen.
Die Integrationsreihenfolge kannst du, musst du aber nicht ändern. Musst halt schauen, ob du lösbare Integrale bekommst, wenn du ohne Änderung drauf los integrierst 
Gruß,
Gono.
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Ich hab mir folgende Grenzen überlegt:
bei
[mm] \int_{0}^{1} [/mm] , [mm] \int_{0}^{\wurzel(1-x^2)} \,\int_{0}^{-x^2-y^2+1} z\, [/mm] dzdydx
So gibt es allerdings mit der Wurzel ein Problem und das Integral wird sehr kompliziert.
Wie kann ich es vereinfachen bzw. stimmen meine Grenzen überhaupt?
Wenn ich über dxdydz integriere krieg ich 0 heraus. :/
Ergänzende Frage: Was heißt das, dass ich über z integriere? Wenn ich über 1 integriere ist es ja das Volumen, was ist es bei z?
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Hiho,
> Ich hab mir folgende Grenzen überlegt:
> bei
> [mm]\int_{0}^{1}[/mm] , [mm]\int_{0}^{\wurzel(1-x^2)} \,\int_{0}^{-x^2-y^2+1} z\,[/mm]
> dzdydx
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> So gibt es allerdings mit der Wurzel ein Problem und das Integral wird sehr kompliziert.
Egal wie du die Reihenfolge wählst, wirklich "schöne" Integrale erhälst du nie. Du bekommst immer entweder [mm] \arcsin [/mm] oder [mm] \arctan [/mm] rein.
Ich denke, [mm] \arctan [/mm] ist gängiger. Diesen erhälst du, wenn du als letztes nach z integrierst.
> Wenn ich über dxdydz integriere krieg ich 0 heraus. :/
Dann hast du irgendwo einen Fehler gemacht
> Ergänzende Frage: Was heißt das, dass ich über z integriere? Wenn ich über 1 integriere ist es ja das Volumen, was ist es bei z?
Allgemein ist ein Integral über einen n-dimensionalen Bereich A und einer Funktion f das Volumen des "d+1-Dimensionalen Körpers" mit "Grundfläche A" und "Höhe" f.
Das ist das gleiche wie in [mm] \IR.
[/mm]
Auch wenn du über 1 integrierst erhälst du eigentlich das Volumen des n+1-Dimensionalen Körpers. Da dieser aber Höhe 1 hat, ist der Wert der Gleiche wie das Volumen des Bereichs, über den du integrierst.
MFG,
Gono.
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Wenn die Grenzen stimmen dann bin ich schon einmal beruhigt!
Nur noch zu dem anderen Integral wo der Fehler ist:
[mm] \int_{0}^{1} [/mm] $ [mm] \int_{0}^{\wurzel{1-z}} \,\int_{0}^{\wurzel(1-z-y^2)} [/mm] z [mm] dxdydz\, [/mm] $
Wenn die Grenzen stimmen dann hab ich "nur" falsch integriert.
Vielen Dank schon einmal.
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Hiho,
> Nur noch zu dem anderen Integral wo der Fehler ist:
>
> [mm]\int_{0}^{1}[/mm] [mm]\int_{0}^{\wurzel{1-z}} \,\int_{0}^{\wurzel(1-z-y^2)} z dxdydz\,[/mm]
> Wenn die Grenzen stimmen dann hab ich "nur" falsch integriert.
Vermutlich.
Als Tipp noch: Das z kannst du aus den inneren beiden Integralen rausziehen und spielt erst am Ende eine Rolle
Viel Erfolg.
Gono.
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Passt!
Vielen Dank hast mir sehr geholfen!
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