Richtige oder falsche Aussage? < Prädikatenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Wir betrachten die folgenden Prädikate wahlweise im Bereich der natürlichen Zahlen [mm] \IN, [/mm] der ganzen Zahlen [mm] \IZ [/mm] oder der rationalen Zahlen [mm] \IQ [/mm] :
P(x,y,z) = " x+y=z"
Ist die Aussage richtig oder falsch:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IZ [/mm]
[mm] \forall [/mm] z [mm] \in \IZ [/mm]
[mm] \exists [/mm] y [mm] \in \IZ [/mm] : P(4x,2y,2z) |
Hallo,
ich gehe bei solchen Aufgaben immer so vor: Ich gehe davon aus, dass die Aussage immer falsch ist. Dann negiere ich sie, und wenn die Negation richtig ist, ist die ursprüngliche Aussage falsch gewesen. Wenn die Negation falsch ist, ist die ursprüngliche Aussage richtig gewesen.
Also negieren wir diese Aussage: [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IZ
[/mm]
[mm] \forall [/mm] z [mm] \in \IZ [/mm]
[mm] \exists [/mm] y [mm] \in \IZ [/mm] P(4x,2y,2z)
Negation: [mm] \exists [/mm] x [mm] \in \IZ [/mm]
[mm] \exists [/mm] z [mm] \in \IZ [/mm]
[mm] \forall [/mm] y [mm] \in \IZ: \neg [/mm] P(4x,2y,2z)
So, und nicht P, also [mm] \neg [/mm] P ist 4x+2y [mm] \not= [/mm] 2z
Also, in der Negation haben wir zwei mal den Existenzquantor, sodass der Beweiser ( Beweiser / Gegenspieler) x und z aussuchen darf, der Gegenspieler darf das y aussuchen ( weil Allquantor)
Ich wähle x = 5 und z = 7 , der Gegenspieler nimmt y = t [mm] \in \IZ
[/mm]
so: jetzt:
4*5 + 2t [mm] \not= [/mm] 14
20 + 2t [mm] \not= [/mm] 14
2t [mm] \not= [/mm] -6
t [mm] \not= [/mm] -3
Was bedeutet das nun ? In der negierten Aussage kommt ein t [mm] \not= [/mm] -3 raus.
Das heißt, t ist ungleich -3, also gilt es nicht für alle y ( [mm] \forall [/mm] y), also ist die negierte Aussage falsch, also ist die ursprüngliche Aussage richtig ?
Vielen Dank im Voraus.
|
|
| |
|
Hiho,
grundsätzlich hast du recht, auch wenn deine Vorgehensweise seltsam ist.
Du hast das "Spiel" bereits richtig beschrieben, das kann man aber auch ohne Negation machen, da steht nämlich:
Für alle x und z existiert ein y, so dass $4x + 2y = 2z$.
Oder anders ausgedrückt: Der Spieler gewinnt, wenn er zu gegebenem x und z immer ein y finden kann, so dass $4x + 2y = 2z$.
Jetzt überlegt man sich durch einfaches umformen, dass der Spieler eben nur $y = z - 2x$ wählen braucht, aber auch eben nur das wählen KANN damit die Gleichung stimmt.
Die Frage ist jetzt also ganz einfach: In welchen Fallen [mm] ($\IN,\IZ,\IQ$) [/mm] kann der Spieler immer y aus dem gewählten Zahlenbereich wählen.
Da [mm] $\IZ$ [/mm] und [mm] $\IQ$ [/mm] unter Multiplikation und Subtraktion abgeschlossen sind, ist das bei den beiden eben immer der Fall.
Einzig [mm] $\IN$ [/mm] macht da Probleme und bedarf einer besonderen Untersuchung 
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
Hallo,
vielen lieben Dank für die Antworten, sie waren auf jeden Fall einleuchtend.
Ich habe aber dennoch eine generelle Frage bezüglich solcher Aufgaben: Wenn man sich nicht sicher ist, ob eine Aussage richtig oder falsch ist, wie soll man vorgehen? Soll man dieses "Spiel" durchführen? Wann bietet es sich an, die negierte Aussage zu beachten?
Gilt im Allgemeinen: Wenn die Negation der Aussage RICHTIG ist, kann man dann automatisch schlussfolgern, dass die ursprüngliche Aussage FALSCH ist? Wenn nein, warum ?
Vielen Dank im Voraus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Sa 12.11.2016 | | Autor: | Omega91 |
Hallo,
> Hallo,
> vielen lieben Dank für die Antworten, sie waren auf jeden
> Fall einleuchtend.
>
> Ich habe aber dennoch eine generelle Frage bezüglich
> solcher Aufgaben: Wenn man sich nicht sicher ist, ob eine
> Aussage richtig oder falsch ist, wie soll man vorgehen?
> Soll man dieses "Spiel" durchführen? Wann bietet es sich
> an, die negierte Aussage zu beachten?
Da gibt es im Prinzip kein *allgemeines* Rezept. 'Einfache Spiele' kann man durchführen, um sich ein gewisses Maß an Intuition zu verschaffen.
>
> Gilt im Allgemeinen: Wenn die Negation der Aussage RICHTIG
> ist, kann man dann automatisch schlussfolgern, dass die
> ursprüngliche Aussage FALSCH ist? Wenn nein, warum ?
Das lässt sich ganz einfach anhand der Definition beantworten:
Aussage X.
Die Negation [mm] $\neg [/mm] X$ ist jene Aussage, die genau dann WAHR ist wenn X falsch ist und genau dann FALSCH ist, wenn X wahr ist.
>
> Vielen Dank im Voraus
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 Sa 12.11.2016 | | Autor: | pc_doctor |
Ja, das hatte ich mir auch gedacht. Danke noch mal für die Antwort.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Fr 11.11.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo pc_doctor!
> Ich wähle x = 5 und z = 7 , der Gegenspieler nimmt y = t
> [mm]\in \IZ[/mm]
>
> so: jetzt:
>
> 4*5 + 2t [mm]\not=[/mm] 14
Wenn du das zeigen könntest, hättest du die negierte Aussage bewiesen.
> 20 + 2t [mm]\not=[/mm] 14
> 2t [mm]\not=[/mm] -6
> t [mm]\not=[/mm] -3
>
> Was bedeutet das nun ?
Tja, der Gegenspieler braucht nur t=-3 zu wählen, um deinen Beweisversuch der negierten Aussage zum Scheitern zu bringen.
Deine Beweisstrategie zum Beweis der negierten Aussage war also nicht erfolgreich.
Daraus lässt sich jedoch nicht schlussfolgern, dass die negierte Aussage falsch ist.
Vielleicht gibt es ja eine andere Beweisstrategie zum Nachweis der negierten Aussage?
Oder vielleicht ist die negierte Aussage wirklich falsch und du kannst wie von Gono vorgeschlagen die "un-negierte" Aussage zeigen?
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
|
