Richtung stärkstes Gefälle < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Sa 11.04.2015 | | Autor: | dodo1924 |
| Aufgabe | Man fährt Ski auf einem Berg, welcher zufällig der Graph der Funktion [mm] f:\IR^2->\IR, f(x,y)=10-x^2-y^4 [/mm] ist. Man befindet sich im Punkt (1,1,8). In welche Richtung muss man von diesem Punkt aus starten, wenn man in die Richtung des stärksten Gefälles abfahren will, d.h. für welchen Einheitsvektor v ist [mm] \partial_vf(1,1,8) [/mm] am kleinsten?
Hinweis: Verwenden Sie die Formel des Skalarproduktes für Vektoren [mm] u*v=|u||v|*cos(\alpha), [/mm] wobei [mm] \alpha [/mm] der Winkel zwischen den Vektoren ist. |
Für den Abschluss der Aufgabe fehlt mir igendwie noch der nötige Durchblick!
Für den Vektor [mm] \nabla [/mm] f(x,y) gilt:
[mm] \nabla f(x,y)=\vektor{-2x \\ -4y^3} [/mm]
Hier meine erste Frage: kann ich hier die 3. Komponente meines Punktes (also 8) für weitere vorgehensweisen ignorieren? Keine Ahnung, für was ich die hier noch brauchen könnte?
nun gilt ja: [mm] \partial_vf(1,1,8)=\nabla [/mm] f(1,1,8)*v
[mm] \nabla f(1,1,8)=\vektor{-2 \\ -4 \\ 0} [/mm] #wobei ich keine Ahnung habe, ob ich die 0 hier noch reinbringen muss/darf/soll, da meine Funktion ja nur 2 Variablen hat?
dann würde mit dem Hinweis gelten:
[mm] \nabla f(1,1,8)*v=||\nabla f(1,1,8)||*||v||*cos(\alpha)=||\nabla f(1,1,8)||*cos(\alpha), [/mm] da ||v||=1 weil v ja ein Einheitsvektor ist
Ausgerechnet: [mm] ||\nabla f(1,1,8)||*cos(\alpha)=\wurzel{20}*cos(\alpha)
[/mm]
nun [mm] \partial_vf(1,1,8) [/mm] ja dann am kleinsten, wenn [mm] cos(\alpha)=-1 [/mm] gelten würde!
Aber wie komme ich dadurch jetzt auf die gesuchte Richtung des stärksten Gefälles??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 Sa 11.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Man fährt Ski auf einem Berg, welcher zufällig der Graph
> der Funktion [mm]f:\IR^2->\IR, f(x,y)=10-x^2-y^4[/mm] ist. Man
> befindet sich im Punkt (1,1,8). In welche Richtung muss man
> von diesem Punkt aus starten, wenn man in die Richtung des
> stärksten Gefälles abfahren will, d.h. für welchen
> Einheitsvektor v ist [mm]\partial_vf(1,1,8)[/mm] am kleinsten?
Steht in der Aufgabenstellung wirklich [mm]\partial_vf(1,1,8)[/mm] ? Oder steht da [mm]\partial_vf(1,1)[/mm] ?
Der Punkt (1,1,8) ist ein Punkt auf dem Graph von f, nämlich (1,1,f(1,1)) !!
Die Frage sollte also lauten:
für welchen Einheitsvektor v ist [mm]\partial_vf(1,1)[/mm] am kleinsten?
FRED
>
> Hinweis: Verwenden Sie die Formel des Skalarproduktes für
> Vektoren [mm]u*v=|u||v|*cos(\alpha),[/mm] wobei [mm]\alpha[/mm] der Winkel
> zwischen den Vektoren ist.
> Für den Abschluss der Aufgabe fehlt mir igendwie noch der
> nötige Durchblick!
>
> Für den Vektor [mm]\nabla[/mm] f(x,y) gilt:
> [mm]\nabla f(x,y)=\vektor{-2x \\ -4y^3}[/mm]
>
> Hier meine erste Frage: kann ich hier die 3. Komponente
> meines Punktes (also 8) für weitere vorgehensweisen
> ignorieren? Keine Ahnung, für was ich die hier noch
> brauchen könnte?
>
> nun gilt ja: [mm]\partial_vf(1,1,8)=\nabla[/mm] f(1,1,8)*v
>
> [mm]\nabla f(1,1,8)=\vektor{-2 \\ -4 \\ 0}[/mm] #wobei ich keine
> Ahnung habe, ob ich die 0 hier noch reinbringen
> muss/darf/soll, da meine Funktion ja nur 2 Variablen hat?
>
> dann würde mit dem Hinweis gelten:
>
> [mm]\nabla f(1,1,8)*v=||\nabla f(1,1,8)||*||v||*cos(\alpha)=||\nabla f(1,1,8)||*cos(\alpha),[/mm]
> da ||v||=1 weil v ja ein Einheitsvektor ist
>
> Ausgerechnet: [mm]||\nabla f(1,1,8)||*cos(\alpha)=\wurzel{20}*cos(\alpha)[/mm]
>
> nun [mm]\partial_vf(1,1,8)[/mm] ja dann am kleinsten, wenn
> [mm]cos(\alpha)=-1[/mm] gelten würde!
>
> Aber wie komme ich dadurch jetzt auf die gesuchte Richtung
> des stärksten Gefälles??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Sa 11.04.2015 | | Autor: | dodo1924 |
In der Aufgabenstellung steht [mm] \partial_vf(1,1,8)!
[/mm]
Hab aus Unsicherheit unserer Professorin schon vor ein paar Tagen eine Mail geschrieben, ob es sich hier um einen Fehler handeln könnte!
Ihre Antwort:
Die Definitionsmenge ist [mm] R^2, [/mm] aber der Graph ist in [mm] R^3. [/mm] Wenn man auf dem Berg ist, ist man auf dem Graphen.
Hat mich jedoch nur noch mehr verwirrt als ich zuvor schon war ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Sa 11.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> In der Aufgabenstellung steht [mm]\partial_vf(1,1,8)![/mm]
Das ist Unfug !
>
> Hab aus Unsicherheit unserer Professorin schon vor ein paar
> Tagen eine Mail geschrieben, ob es sich hier um einen
> Fehler handeln könnte!
>
> Ihre Antwort:
> Die Definitionsmenge ist [mm]R^2,[/mm] aber der Graph ist in [mm]R^3.[/mm]
> Wenn man auf dem Berg ist, ist man auf dem Graphen.
>
> Hat mich jedoch nur noch mehr verwirrt als ich zuvor schon
> war ^^
Glaub mir: die einzig sinnvolle Aufgabenstellung lautet: bestimme
$ [mm] \min \{\partial_vf(1,1): v \in \IR^2, ||v||=1\}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Sa 11.04.2015 | | Autor: | dodo1924 |
War dann bestimmt ein Denkfehler von der Professorin...
Dann mal angenomme, ich suche nach [mm] \partial_vf(1,1)!
[/mm]
Dann wäre meine Ansatz (umgeschrieben):
[mm] \nabla f(1,1)=\vektor{-2 \\ -4}
[/mm]
[mm] \partial_vf(1,1)=\nabla f(1,1)\cdot{}v=||\nabla f(1,1)||\cdot{}||v||\cdot{}cos(\alpha)=||\nabla f(1,1)||\cdot{}cos(\alpha)=\wurzel{20}\cdot{}cos(\alpha) [/mm]
wäre am kleinsten, wenn [mm] cos(\alpha)=-1, [/mm] also
[mm] min\{\partial_vf(1,1): v \in \IR^2, ||v||=1\} =-\wurzel(20)
[/mm]
was sagt mir das jetzt dann über die Richtung aus?
bzw. wie komme ich jetzt dadurch auf meinen Vektor v?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Sa 11.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> War dann bestimmt ein Denkfehler von der Professorin...
> Dann mal angenomme, ich suche nach [mm]\partial_vf(1,1)![/mm]
> Dann wäre meine Ansatz (umgeschrieben):
>
> [mm]\nabla f(1,1)=\vektor{-2 \\ -4}[/mm]
>
> [mm]\partial_vf(1,1)=\nabla f(1,1)\cdot{}v=||\nabla f(1,1)||\cdot{}||v||\cdot{}cos(\alpha)=||\nabla f(1,1)||\cdot{}cos(\alpha)=\wurzel{20}\cdot{}cos(\alpha)[/mm]
>
> wäre am kleinsten, wenn [mm]cos(\alpha)=-1,[/mm] also
> [mm]min\{\partial_vf(1,1): v \in \IR^2, ||v||=1\} =-\wurzel(20)[/mm]
>
> was sagt mir das jetzt dann über die Richtung aus?
> bzw. wie komme ich jetzt dadurch auf meinen Vektor v?
Für [mm] $\alpha \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi]$ [/mm] haben wir
[mm] cos(\alpha)=-1 \gdw \alpha= \pi [/mm] (=180°)
Das bedeutet: der von v und [mm] \nabla [/mm] f(1,1) eingeschlossene Winkel ist 180°.
In welche Richtung zeigt also v ?
Da ||v||=1, ist v= ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Sa 11.04.2015 | | Autor: | dodo1924 |
Naja, ich hätte dann einen vektor [mm] v_f [/mm] mit [mm] v_f=\vektor{2 \\ 4}, [/mm] also ein vektor der in die entgegengesetzte Richtung von [mm] \nabla [/mm] f(1,1) zeigt!
Nun muss ich diesen Vektor noch normieren, also [mm] \bruch{v_f}{|v_f|} [/mm] wobei [mm] |v_f|=\wurzel{20}
[/mm]
Damit erhalte ich [mm] v=\vektor{\bruch{2}{\wurzel{20}} \\ \bruch{4}{\wurzel{20}}}!
[/mm]
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:12 So 12.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Naja, ich hätte dann einen vektor [mm]v_f[/mm] mit [mm]v_f=\vektor{2 \\ 4},[/mm]
> also ein vektor der in die entgegengesetzte Richtung von
> [mm]\nabla[/mm] f(1,1) zeigt!
>
> Nun muss ich diesen Vektor noch normieren, also
> [mm]\bruch{v_f}{|v_f|}[/mm] wobei [mm]|v_f|=\wurzel{20}[/mm]
>
> Damit erhalte ich [mm]v=\vektor{\bruch{2}{\wurzel{20}} \\ \bruch{4}{\wurzel{20}}}![/mm]
>
> Richtig?
Ja
FRED
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