Richtungsableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Mi 18.03.2015 | | Autor: | LGS |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Sei $f:\IR^2 -> \IR $ gegeben durch
$f(x,y):= \begin{cases} xy\cdot{}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \mbox{für } (x,y)=(0,0) } \end{cases}$
Bestimmen sie alle Richtungsableitungen $D_{v}f(0,0), v\in \IR^2$ ohne $(0,0)$. Ist $f$ stetig? ist $f$ differenzierbar? Begründe |
also erstmal $D_{v}f(0,0)= \limes_{h\rightarrow0} \frac{(\vektor{0 \\ 0}+h\cdot{}v) - f(0,0)}{h}= \limes_{h\rightarrow0} \frac{h\cdot{}v)}{h}= = \limes_{h\rightarrow0} v = v$
stetig:
außer in $ (0,0)$ stetig , da die funktion ein kompositum von funktionen ist.
Fall $ (0,0)$
$ |f(x,y)-f(0,0)| = |xy\cdot{}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}| \le | xy\cdot{}\frac{x^2-y^2}{2x^2}|= |\frac{y\cdot{}(x^2-y^2)}{x}| $
jetzt $\limes_{x,y\rightarrow0} |\frac{y\cdot{}(x^2-y^2)}{x}| = 0$ also ist es stetig
wie mach ich jetzt diff'barkeit?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Mi 18.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f:\IR^2 -> \IR[/mm] gegeben durch
>
> [mm]f(x,y):= \begin{cases} xy\cdot{}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \mbox{für } (x,y)=(0,0) } \end{cases}[/mm]
>
> Bestimmen sie alle Richtungsableitungen [mm]D_{v}f(0,0), v\in \IR^2[/mm]
> ohne [mm](0,0)[/mm]. Ist [mm]f[/mm] stetig? ist [mm]f[/mm] differenzierbar? Begründe
> also erstmal [mm]D_{v}f(0,0)= \limes_{h\rightarrow0} \frac{(\vektor{0 \\ 0}+h\cdot{}v) - f(0,0)}{h}= \limes_{h\rightarrow0} \frac{h\cdot{}v)}{h}= = \limes_{h\rightarrow0} v = v[/mm]
Das ist völliger Murks ! Sei [mm] v=(v_1,v_2)
[/mm]
Dann ist [mm] D_{v}f(0,0)= \limes_{h\rightarrow0}\frac{f(hv_1,hv_2)}{h}
[/mm]
Berechne diesen Grenzwert
>
> stetig:
>
> außer in [mm](0,0)[/mm] stetig , da die funktion ein kompositum von
> funktionen ist.
>
> Fall [mm](0,0)[/mm]
>
> [mm]|f(x,y)-f(0,0)| = |xy\cdot{}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}| \le | xy\cdot{}\frac{x^2-y^2}{2x^2}|= |\frac{y\cdot{}(x^2-y^2)}{x}|[/mm]
>
Wie kommst Du auf das " [mm] \le [/mm] " ??
>
> jetzt [mm]\limes_{x,y\rightarrow0} |\frac{y\cdot{}(x^2-y^2)}{x}| = 0[/mm]
Wieso ?
Du bist ja ein Witzbold ! Warum schreibst Du nicht gleich [mm] \limes_{x,y\rightarrow0}f(x,y)=0 [/mm] ??
Nee, so einfach lässt Dir das niemand durchgehen.
> also ist es stetig
>
>
> wie mach ich jetzt diff'barkeit?
Darum kümmern wir uns später.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Mi 18.03.2015 | | Autor: | LGS |
$ [mm] D_{v}f(0,0)= \limes_{h\rightarrow0}\frac{f(hv_1,hv_2)}{h}= \limes_{h\rightarrow0} \frac{hv_1*hv_2\cdot{}\frac{(hv_1)^2-(hv_2)^2}{(hv_1)^2+(hv_2)^2}}{h} \le \frac{hv_1*hv_2\cdot{}\frac{(hv_1)^2-(hv_2)^2}{2(hv_1)^2}}{h} \le \frac{(hv_1)^2\cdot{}\frac{(hv_1)^2-(hv_2)^2}{2(hv_1)^2}}{h} [/mm] = [mm] \frac{\frac{(hv_1)^2-(hv_2)^2}{(hv_1)^2}}{h} \le \frac{1}{h} \to [/mm] 0 ( h [mm] \to [/mm] 0) $
kann man das so machen?
neuer versuch stetigkeit
$ |f(x,y)-f(0,0)| = [mm] |xy\cdot{}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}| \le [/mm] | [mm] x^2\cdot{}\frac{x^2-y^2}{2x^2}|= |\frac{(x^2-y^2)}{x^2}| [/mm] $
jetzt komm ich nciht weiter :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Mi 18.03.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
setze x=r*cos(t), y=r*sin(t) und zeige dass für r gegen0 lim=0 unabhängig von t.
aber warum du <= schreibst, wenn du y durch x ersetzt ist mir nicht klar.
Gruß ledum
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Mi 18.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> [mm]D_{v}f(0,0)= \limes_{h\rightarrow0}\frac{f(hv_1,hv_2)}{h}= \limes_{h\rightarrow0} \frac{hv_1*hv_2\cdot{}\frac{(hv_1)^2-(hv_2)^2}{(hv_1)^2+(hv_2)^2}}{h} \le \frac{hv_1*hv_2\cdot{}\frac{(hv_1)^2-(hv_2)^2}{2(hv_1)^2}}{h} \le \frac{(hv_1)^2\cdot{}\frac{(hv_1)^2-(hv_2)^2}{2(hv_1)^2}}{h} = \frac{\frac{(hv_1)^2-(hv_2)^2}{(hv_1)^2}}{h} \le \frac{1}{h} \to 0 ( h \to 0) [/mm]
Jedes [mm] "\le [/mm] " da oben ist völlig aus der Luft gegriffen, absolut abenteuerlich. Wie kommst Du denn auf sowas ?
Dann steht da [mm] \frac{1}{h} \to [/mm] 0 ( h [mm] \to [/mm] 0) ! Oha ! Siehst Du nicht, dass das blanker Unsinn ist ?
>
> kann man das so machen?
Nein, nee , nö, nie und nimmer !
In [mm] \frac{hv_1*hv_2\cdot{}\frac{(hv_1)^2-(hv_2)^2}{(hv_1)^2+(hv_2)^2}}{h} [/mm] kannst Du doch die h's kürzen was das Zeug hält. Mach das mal.
>
>
> neuer versuch stetigkeit
>
> [mm]|f(x,y)-f(0,0)| = |xy\cdot{}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}| \le | x^2\cdot{}\frac{x^2-y^2}{2x^2}|= |\frac{(x^2-y^2)}{x^2}|[/mm]
>
> jetzt komm ich nciht weiter :/
Dazu hat leduart schon was gesagt.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Mi 18.03.2015 | | Autor: | LGS |
$ [mm] \frac{hv_1\cdot{}hv_2\cdot{}\frac{(hv_1)^2-(hv_2)^2}{(hv_1)^2+(hv_2)^2}}{h} =v_1\cdot{}hv_2\cdot{}\frac{(v_1)^2-(v_2)^2}{(v_1)^2+(v_2)^2} [/mm] $ so gut?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:33 Do 19.03.2015 | | Autor: | fred97 |
>
> [mm]\frac{hv_1\cdot{}hv_2\cdot{}\frac{(hv_1)^2-(hv_2)^2}{(hv_1)^2+(hv_2)^2}}{h} =v_1\cdot{}hv_2\cdot{}\frac{(v_1)^2-(v_2)^2}{(v_1)^2+(v_2)^2} [/mm]
> so gut?
Ja.
Weiter ?
FRED
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