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| Aufgabe | [mm] f:\IR^{2} \to \IR f(x,y)=\begin{cases} 1, & \mbox{falls} 0
Beh: alle Richtungsabl. in (0,0) existieren, aber f nicht stetig in (0,0)
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Guten Abend!
Ich bin mal wieder an einer Aufgabe beid er ich etwas Hilfe benötigen könnte =) Also, wo soll ich beginnen?
Nun erstmal muss ich ja zeigen, das alle Richtungsableitungen in (0,0) existieren. Wir sind ja in [mm] \IR^{2} [/mm] reicht es deswegen die Richtungsabl nach x und y zu prüfen?
Das würde heissen:
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{1}{h}=\infty
[/mm]
Oder nicht? Und dann gäb es da ja ein Problem...
Mache ich bei der Überlegung etwas falsch?
Bin sehr dankbar um Tipps/Korrekturen..
Herzlichst, euer Ersti
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Warum untersuchst Du nicht einfach die Richtungsableitung (bei Annäherung an den Ursprung unter dem Winkel [mm]\varphi[/mm]), indem Du den entsprechenden Grenzwert
[mm]\lim_{r\rightarrow 0+}\frac{f(r\cos \varphi, r\sin\varphi)-f(0,0)}{r}[/mm]
hinschreibst und genauer anschaust?
Bem: Aus der Existenz der partiellen Ableitungen folgt nur unter der zusätzlichen Annahme, dass die partiellen Ableitungen stetig sind, dass die Ableitung und demzufolge auch alle Richtungsableitungen existieren. Du müsstest also zuerst die Stetigkeit der partiellen Ableitungen zeigen, bevor Du daraus auf die Existenz aller Richtungsableitungen schliessen kannst.
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